فيديو السؤال: تحديد نوع مصفوفة معطاة الرياضيات

انظر المصفوفة الآتية: ﺃ = [١‎، ٠‎، ٠; ٤‎، ٠‎، ٠ ; ١‎، ٠‎، ٣]. أي من الآتي يعتبر نوع المصفوفة ﺃ؟ [أ] مصفوفة وحدة [ب] مصفوفة صف [ج] مصفوفة قطرية [د] مصفوفة مثلثية سفلى [هـ] مصفوفة مثلثية عليا

٠٥:١٩

‏نسخة الفيديو النصية

انظر المصفوفة الآتية: ﺃ، والتي تساوي المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة: واحد، صفر، صفر، أربعة، صفر، صفر، واحد، صفر، ثلاثة. أي من الآتي يعتبر نوع المصفوفة ﺃ؟ (أ) مصفوفة وحدة، أم (ب) مصفوفة صف، أم (ج) مصفوفة قطرية، أم (د) مصفوفة مثلثية سفلى؟ أم (هـ) مصفوفة مثلثية عليا؟

في هذا السؤال، لدينا المصفوفة ﺃ، وعلينا أن نحدد نوع المصفوفة ﺃ من بين خمسة أنواع. سنفعل ذلك باستعراض كل نوع من أنواع المصفوفات الخمس المعطاة. لنبدأ بالخيار (أ)، وهو مصفوفة الوحدة. أولًا، عندما نقول مصفوفة الوحدة، نعني مصفوفة الوحدة لعملية الضرب. وهناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي: تكون 𝐼 مصفوفة وحدة، إذا كانت 𝐼 مصفوفة مربعة، وبالنسبة إلى أي مصفوفة ﺏ، وهي أيضًا مصفوفة مربعة، فإن ﺏ في 𝐼 يساوي 𝐼 في ﺏ يساوي ﺏ. وبالنسبة إلى أي مصفوفة ﺏ لها نفس رتبة 𝐼، عندما نضرب في اليسار أو في اليمين في 𝐼، نحصل في النهاية على ﺏ. إذن 𝐼 هي مصفوفة الوحدة في عملية الضرب.

وبسبب هذه الخواص، تكون مصفوفات الوحدة جميعها على الصورة نفسها. أولًا، لا بد أن تكون مصفوفات مربعة، وهو ما يعني أنها تحتوي على نفس عدد الصفوف والأعمدة. ويمكننا ملاحظة أن هذا ينطبق على المصفوفة ﺃ. فالمصفوفة ﺃ تحتوي على ثلاثة صفوف، وثلاثة أعمدة. ثانيًا، كل عنصر في القطر الرئيسي لمصفوفة الوحدة يجب أن يساوي واحدًا. إنها العناصر التي يكون رقم الصف عندها يساوي رقم العمود. القطر الرئيسي للمصفوفة ﺃ هو العناصر الثلاثة: واحد، وصفر، وثلاثة، وهذه كلها لا تساوي واحدًا. لذا، المصفوفة ﺃ ليست مصفوفة وحدة. ولكن، قد يكون من المفيد الانتهاء من باقي خواص مصفوفة الوحدة. جميع العناصر غير الموجودة في القطر الرئيسي لمصفوفة الوحدة يجب أن تساوي صفرًا. وبالطبع، يمكننا ملاحظة أن هذا لا ينطبق على المصفوفة ﺃ. فالعنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الأول يساوي واحدًا.

فلننتقل إذن إلى الخيار (ب). علينا التحقق إذا ما كانت المصفوفة ﺃ مصفوفة صف أو لا. لعلنا نتذكر أننا نطلق على المصفوفة مصفوفة صف إذا كان بها صف واحد فقط. لكننا حددنا بالفعل عدد صفوف المصفوفة ﺃ. للمصفوفة ﺃ ثلاثة صفوف. لذلك، فإن المصفوفة ﺃ ليست مصفوفة صف.

فلننتقل إذن إلى الخيار (ج). علينا التحقق إذا ما كانت المصفوفة ﺃ مصفوفة قطرية أو لا. ولمساعدتنا على تعريف المصفوفة القطرية، لننظر مرة أخرى إلى مصفوفة الوحدة من الرتبة ﻥ. نعرف هذه المصفوفة على أنها مصفوفة مربعة حيث كل عنصر فيها رقم صفه مساو لرقم عموده سيساوي واحدًا. يسمى هذا أحيانًا القطر الرئيسي للمصفوفة. ونعرف المصفوفة القطرية بأنها مصفوفة يكون فيها كل عنصر غير موجود في القطر الرئيسي مساويًا لصفر. على سبيل المثال، مصفوفة الوحدة من الرتبة ﻥ هي مصفوفة قطرية من الرتبة ﻥ في ﻥ، حيث كل عنصر في القطر الرئيسي يساوي واحدًا.

إذن، لتوضيح أن المصفوفة ﺃ ليست قطرية، علينا فقط إيجاد عنصر ليس في قطرها الرئيسي، ولا يساوي صفرًا. وقد وجدنا هذا العنصر بالفعل عندما أوضحنا أن المصفوفة ﺃ ليست مصفوفة وحدة. فالعنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الأول يساوي واحدًا. ولكي تكون ﺃ مصفوفة قطرية، لا بد أن يساوي صفرًا.

هيا نتناول الآن الخيارين (د) و(هـ). علينا تحديد إذا ما كانت المصفوفة ﺃ مصفوفة مثلثية عليا أو سفلى. لكي تكون المصفوفة مصفوفة مثلثية سفلى، لعلنا نتذكر أن جميع العناصر الموجودة أعلى القطر الرئيسي يجب أن تساوي صفرًا. وبالمثل، لكي تكون المصفوفة مصفوفة مثلثية عليا، يجب أن تكون جميع العناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي مساوية لصفر. وهذا يعني أنه يمكننا استبعاد الخيار (هـ) على الفور؛ لأننا نذكر أننا أوضحنا أن العنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الأول لا يساوي صفرًا. وهو يقع أسفل القطر الرئيسي. لذا، لا يمكن أن تكون المصفوفة ﺃ مصفوفة مثلثية عليا. لكن إذا نظرنا إلى العناصر الثلاثة الموجودة أعلى القطر الرئيسي، يمكننا ملاحظة أن جميعها يساوي صفرًا.

إذن، بما أن كل عنصر أعلى القطر الرئيسي للمصفوفة ﺃ يساوي صفرًا، فقد تمكنا من إثبات أن المصفوفة ﺃ مصفوفة مثلثية سفلى، وهو الخيار (د).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.