فيديو السؤال: تحديد تقعر الدالة واطرادها من شكلها البياني الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

لدينا رسم بياني للدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ. عند أي نقطة تكون ﺩﺹ على ﺩﺱ سالبة، وتكون ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع موجبة؟

من هذا الشكل، نلاحظ أن هناك خمس نقاط، هي ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ وﻫ. وعلينا تحديد عند أي من هذه النقاط الخمس تنطبق هاتان الحقيقتان. لنفكر أولًا في النقاط التي تكون عندها ﺩﺹ على ﺩﺱ سالبة. حسنًا، ﺩﺹ على ﺩﺱ هي المشتقة الأولى لهذه الدالة. ونحن نعرف أن المشتقة الأولى لأي دالة تعطينا ميل منحناها. بالنظر إلى الشكل، يمكننا ملاحظة النقاط التي يميل عندها المنحنى لأسفل. أو يمكننا رسم مماسات عند كل نقطة لمساعدتنا في ذلك.

أولًا: عند رسم مماس عند النقطة ﺃ، يمكننا ملاحظة أنه يميل بالفعل لأسفل. إذن، ﺩﺹ على ﺩﺱ تكون سالبة عند النقطة ﺃ. أما عند النقطتين ﺏ وﺟ، فإن المماسين كليهما يميلان لأعلى، وهو ما يعني أن ﺩﺹ على ﺩﺱ تكون موجبة عند هاتين النقطتين. عند النقطة ﺩ، يبدو المماس أفقيًا، وهو ما يعني أن ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي صفرًا عند النقطة ﺩ؛ أي ليست سالبة. وأخيرًا، نرسم المماس عند النقطة ﻫ. ونجد أنه يميل بالفعل لأسفل. إذن، ﺩﺹ على ﺩﺱ تكون سالبة عند النقطة ﻫ. من ثم، يتبقى لدينا احتمالان فقط، وهما النقطة ﺃ والنقطة ﻫ.

الشرط الثاني هو أن ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع؛ أي المشتقة الثانية للدالة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، لا بد أن تكون موجبة. ترتبط إشارة المشتقة الثانية للدالة بتقعر المنحنى. من ذلك، نتذكر أنه عندما يكون المنحنى مقعرًا لأعلى، فإن مشتقته الأولى ﺩﺹ على ﺩﺱ تتزايد. ويمكننا ملاحظة ذلك من الرسم. يتغير ميل المماسات من قيمة سالبة إلى صفر ثم إلى قيمة موجبة. ومن ثم، تتزايد قيمته. إذن، إذا كانت ﺩﺹ على ﺩﺱ تتزايد، فهذا يعني أن مشتقتها ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع لا بد أن تكون موجبة.

والعكس صحيح عندما يكون المنحنى مقعرًا لأسفل. ففي هذه الحالة، تتناقص مشتقته الأولى. ومن ثم، ستكون مشتقته الثانية سالبة. كما نلاحظ أنه عندما يكون المنحنى مقعرًا لأعلى، فإن مماسات المنحنى تقع أسفل المنحنى نفسه. إذن، إذا كنا نبحث عن الموضع الذي تكون فيه المشتقة الثانية موجبة، ومن ثم الموضع الذي يكون عنده المنحنى مقعرًا لأعلى، فيمكننا تحديد النقطة التي تقع عندها المماسات أسفل المنحنى.

تذكر أنه لتحقيق الشرط الأول، حصرنا الاختيارات في النقطتين ﺃ وﻫ. ومن الشكل، يمكننا ملاحظة أن المماس يقع بالفعل عند النقطة ﺃ أسفل المنحنى. ومن ثم، يكون المنحنى مقعرًا لأعلى عند النقطة ﺃ. وبذلك، تكون المشتقة الثانية موجبة. لكن عند النقطة ﻫ، يقع المماس أعلى المنحنى. ومن ثم، يكون المنحنى مقعرًا لأسفل عند النقطة ﻫ، وهو ما يعني أن المشتقة الثانية ستكون سالبة. إذن، بالنظر إلى ميل المنحنى ثم تقعره، وجدنا أن النقطة الوحيدة التي تكون عندها ﺩﺹ على ﺩﺱ سالبة، وتكون ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع موجبة هي النقطة ﺃ.