نسخة الفيديو النصية
إذا كانت 𝐴 مصفوفة مربعة غير منفردة، فهل صحيح أن حاصل ضرب معكوس 𝐴 في معكوس 𝐴 يساوي مصفوفة الوحدة؟
قبل الإجابة عن هذا السؤال، لنبدأ بتعريف بعض المصطلحات الرئيسية.
أولًا: دعونا نتذكر ما نعنيه بمصطلح «غير منفردة». يقال: إن المصفوفة غير منفردة إذا كان بإمكاننا إيجاد معكوس لها. بعبارة أخرى: تكون المصفوفة غير منفردة إذا كان المعكوس موجودًا. وبسبب طريقة حساب المعكوس، يكون معكوس المصفوفة موجودًا فقط إذا كانت المصفوفة مربعة، وقيمة محددها لا تساوي صفرًا.
بعد ذلك، دعونا نتذكر ما نعنيه بمصفوفة الوحدة. مصفوفة الوحدة مصفوفة مربعة، كل عناصرها صفر ما عدا قطرها الرئيسي؛ حيث تساوي عناصره واحدًا. على سبيل المثال، مصفوفة الوحدة من الرتبة اثنين في اثنين مصفوفة عناصرها واحد، صفر، صفر، واحد، كما هو موضح.
بمراعاة ذلك، إذا كان لدينا مصفوفة مربعة غير منفردة 𝐴، فهل سيساوي حاصل ضرب معكوس 𝐴 في نفسه مصفوفة الوحدة؟ سنحاول الآن إثبات إذا ما كان هذا ينطبق على جميع المصفوفات المربعة غير المنفردة الممكنة. قبل أن نفعل ذلك، دعونا نتناول مصفوفة بسيطة من الرتبة اثنين في اثنين، 𝐴 تساوي واحدًا، اثنين، ثلاثة، أربعة. سنوجد معكوس هذه المصفوفة 𝐴، ثم نوجد حاصل ضرب معكوس 𝐴 في نفسه ونرى إذا ما كان هذا ينطبق عليها.
لفعل ذلك، نبدأ بإيجاد قيمة محدد 𝐴. ولإيجاد قيمة محدد 𝐴، نضرب العنصر العلوي الأيسر في العنصر السفلي الأيمن، ثم نطرح منه حاصل ضرب العنصر العلوي الأيمن في العنصر السفلي الأيسر. إذن، قيمة محدد 𝐴 تساوي واحدًا في أربعة ناقص اثنين في ثلاثة. وهذا يساوي سالب اثنين.
لإيجاد معكوس المصفوفة 𝐴، نضرب واحدًا على قيمة محدد 𝐴 في مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين. إذن، سنضرب واحدًا على سالب اثنين في تلك المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين. بالطبع، هذا يكافئ الضرب في سالب نصف. نوجد بعد ذلك المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين التي نضرب فيها هذه القيمة بتبديل العنصرين العلوي الأيسر والسفلي الأيمن وتغيير إشارة العنصرين الآخرين. إذن، معكوس المصفوفة 𝐴 هو سالب نصف مضروبًا في المصفوفة التي عناصرها أربعة، سالب اثنين، سالب ثلاثة، واحد.
بعد ذلك، نضرب كل عنصر داخل المصفوفة في سالب نصف لإيجاد معكوس 𝐴 لتصبح عناصر المصفوفة سالب اثنين، واحد، ثلاثة على اثنين، سالب نصف. الآن بعد أن أصبح لدينا معكوس 𝐴، دعونا نوجد حاصل ضرب معكوس 𝐴 في نفسه.
دعونا نبدأ بإيجاد العنصر الذي سيوجد في الصف الأول والعمود الأول. لإيجاد هذا العنصر، نوجد حاصل ضرب سالب اثنين، واحد في سالب اثنين، ثلاثة على اثنين. لعلنا نتذكر أنه لإيجاد حاصل الضرب هذا، نضرب سالب اثنين في سالب اثنين، ثم نجمع واحدًا مضروبًا في ثلاثة على اثنين. هذا يساوي أربعة زائد ثلاثة على اثنين، وهو ما يساوي 11 على اثنين.
في الواقع، ليس علينا الاستمرار في إيجاد عناصر المصفوفة الناتجة عن ضرب معكوس 𝐴 في نفسه. لقد تناولنا سابقًا مصفوفة الوحدة من الرتبة اثنين في اثنين. ورأينا أن العنصر الأول في الصف الأول والعمود الأول يجب أن يكون واحدًا. العنصر الأول لدينا هنا يساوي 11 على اثنين، وهو بالطبع ليس واحدًا. ومن ثم، نعرف أن هذه المصفوفة لا يمكن أن تكون مصفوفة الوحدة.
بما أن هذا لا ينطبق على المصفوفة التي عرفناها بأنها 𝐴، فلا يمكننا القول: إن هذا ينطبق على جميع المصفوفات. إذن، الإجابة هي لا. ليس صحيحًا أن حاصل ضرب معكوس 𝐴 في نفسه يساوي مصفوفة الوحدة.
