فيديو: مساحات الدوائر

تعريف مساحة الدائرة. إيجاد مساحة الدائرة بمعلومية نصف قطرها أو قطرها. إيجاد قطر دائرة أو نصف قطرها بمعلومية مساحتها. إيجاد الحل بالتقريب إلى عدد معين من المنازل العشرية، أو كتابة الحل بدلالة ‪𝜋‬‏.

١٧:٥٩

‏نسخة الفيديو النصية

سنرى في هذا الفيديو كيفية حساب مساحة الدائرة. عند حساب مساحة الدائرة، ننظر إلى مقدار المساحة ثنائية الأبعاد داخل حدود الدائرة نفسها. ثمة قياسان لا بد أن نكون على دراية بهما أثناء التعامل مع الدوائر. الأول هو قطر الدائرة، وهو خط يبدأ عند نقطة على المحيط، أي حافة الدائرة، ويمتد إلى الجانب الآخر، مرورًا بمركز الدائرة. مثال على ذلك الخط الذي رسمته هنا، ونرمز إليه بالحرف ﻕ للدلالة على القطر. والقياس الآخر الذي علينا معرفته هو طول الخط الذي يبدأ من الحافة الخارجية للدائرة وينتهي عند مركز الدائرة.

ومثال على ذلك الخط الذي رسمته هنا؛ هو نصف قطر الدائرة، ونرمز إليه بـ نق. ونريد حساب المساحة. وهناك صيغة يمكننا استخدامها للقيام بذلك، وهي هذه الصيغة هنا، التي تخبرنا أن مساحة الدائرة تساوي 𝜋 مضروبًا في نق تربيع، حيث نق يمثل نصف القطر كما ذكرنا. إن العدد 𝜋 عدد مميز للغاية في الرياضيات، وذلك بسبب علاقته بالدوائر. ويعد عددًا غير نسبي، ما يعني أن صورته العشرية تحتوي على سلسلة لا نهائية من الأرقام التي لا تتبع نمطًا متكررًا. وإذا حاولت كتابته في صورة عدد عشري، فلن أنتهي أبدًا. لكن يكفي أن نعرف أن 𝜋 يساوي تقريبًا ٣٫١٤. وفي بعض الأحيان، سيطلب منك استخدام هذه القيمة، ٣٫١٤، باعتبارها قيمة تقريبية، بدلًا من القيمة الكاملة لـ 𝜋.

بالنظر إلى الصيغة، من المهم أن ننتبه إلى أن التربيع لنصف القطر فقط. إنها ليست 𝜋 مضروبًا في نصف القطر ثم مربع الناتج. وإنما مربع نصف القطر ثم مضروبًا في 𝜋. باسترجاع ترتيب إجراء العمليات الحسابية، نجد أن الأسس تأتي قبل عمليات الضرب. إذن هذه هي الصيغة. وسنرى الآن كيف يمكننا استخدامها لحل بعض المسائل. لدينا هنا دائرة، ونريد إيجاد مساحتها. نصف قطر الدائرة مكتوب عليها، وهو ٥٫٢ سنتيمترات، وما علينا إلا أن نتذكر صيغة المساحة. صيغة المساحة هي 𝜋نق تربيع. إذن، علينا فقط أن نعوض بالقيمة ٥٫٢ في صيغة المساحة هذه.

ومن ثم فإن المساحة تساوي 𝜋 في ٥٫٢ تربيع. تذكر أن التربيع على ٥٫٢ فقط، وليس على 𝜋. فنحصل من ذلك مبدئيًا على القيمة ٢٧٫٠٤‏𝜋‏. وهذا ما يسمى كتابة الإجابة بدلالة 𝜋، أو في صورة مضاعف 𝜋، وهو أمر مفيد في كثير من الأحيان إذا لم يكن لدينا آلة حاسبة. لكنني سأمضي قدمًا وأحسب ذلك؛ سأضرب ٢٧٫٠٤ في 𝜋. فنحصل على القيمة ٨٤٫٩، بالتقريب إلى أقرب منزلة عشرية. ولاحظ أن الوحدات بالسنتيمتر المربع؛ لأن ما نحسبه هنا هو المساحة. والآن ننتقل إلى المسألة الثانية.

لدينا دائرة أخرى. ومرة أخرى، نريد حساب المساحة.

لاحظ أننا لم نعط نصف القطر هذه المرة. لكن أعطينا القطر، وهو المسافة الممتدة عبر الدائرة. وتذكر أن صيغة مساحة الدائرة تتضمن نصف القطر. المساحة تساوي 𝜋نق تربيع. تذكر أنه إذا كان قطر الدائرة يساوي خمسة، فإن نصف القطر هو نصف هذا العدد. إذن فهو ٢٫٥؛ لأن نصف القطر دائمًا يكون نصف طول القطر. لذلك، نق يساوي ٢٫٥ سنتيمتر.

والآن يمكننا التعويض بهذه القيمة في صيغة المساحة. المساحة تساوي 𝜋 مضروبًا في ٢٫٥ تربيع. وإذا أردت أن أكتب الإجابة في صورة مضاعف 𝜋، فستكون ٢٫٥‏𝜋‏ على أربعة، أو يمكنني إيجاد قيمة ذلك في صورة عدد عشري. ونحصل من ذلك على ١٩٫٦ سنتيمترًا مربعًا، بالتقريب إلى أقرب منزلة عشرية. إذن، إذا كان لديك في المسألة دائرة، ركز جيدًا في قراءة رأس المسألة: هل المعطى هو القطر أم نصف القطر؟ وتذكر أن نصف القطر هو ما تحتاجه للحل باستخدام صيغة المساحة. والآن ننتقل إلى نوع آخر من المسائل.

تقول المسألة إن لدينا دائرة مساحتها ٢٨٫٣ سنتيمترًا مربعًا. أوجد قطر الدائرة، بالتقريب إلى أقرب سنتيمتر.

ويعد هذا مثالًا على المسائل التي تعمل فيها بطريقة عكسية؛ باستخدام المساحة المعطاة لحساب نصف القطر أو القطر. فلنكتب صيغة المساحة ونبدأ الحل. تذكر أن المساحة تساوي 𝜋نق تربيع، ونعلم من رأس المسألة أن قيمتها ٢٨٫٣. وهذا يعني أنه يمكنني كتابة معادلة باستخدام مساحة الدائرة المعطاة وصيغة المساحة. إذن، ها هي المعادلة: 𝜋نق تربيع يساوي ٢٨٫٣. وما علي فعله الآن هو حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة نق. ولم يطلب منا إيجاد نق، وإنما إيجاد القطر، لكن تذكر أنهما مرتبطان ارتباطًا وثيقًا. فإذا حصلت على نصف القطر، فيمكنني إيجاد القطر من خلال مضاعفة نصف القطر.

لذا فإن أول شيء علي فعله هو قسمة طرفي هذه المعادلة على 𝜋. وهذا سوف يعطيني نق تربيع يساوي ٢٨٫٣ على 𝜋. في الخطوة التالية، لدي نق تربيع، وأرغب في إيجاد قيمة نق، لذلك علي أخذ الجذر التربيعي لإيجاد قيمة نق. إذن، سآخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة، لدي الآن نق يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٨٫٣ على 𝜋، وعلي استخدام الآلة الحاسبة لحساب هذه القيمة. تأكد عند كتابة ذلك على الآلة الحاسبة من أنك تأخذ الجذر التربيعي للكسر كله، وليس فقط الجذر التربيعي لـ ٢٨٫٣، ثم قسمة الناتج على 𝜋. لا بد من أخذ الجذر التربيعي للكسر كله. ويمكنك استخدام الأقواس في الآلة الحاسبة أو زر الكسر للتأكد من قيامك بذلك بشكل صحيح.

وبحساب ذلك، نحصل على القيمة ٣٫٠٠١٣٦، وهكذا مع توالي الأرقام، لنصف القطر. تذكر أن المطلوب هو القطر، ومن ثم علينا مضاعفة ذلك الناتج للحصول على الإجابة. بمضاعفة الناتج، نحصل على ٦٫٠٠٢٧، والمطلوب في رأس المسألة هو تقريب القيمة إلى أقرب سنتيمتر. بذلك تكون الإجابة هي أن قطر الدائرة يساوي ستة سنتيمترات، بالتقريب لأقرب سنتيمتر.

ويمكنك الحل بأي من الطريقتين. يمكنك حساب مساحة الدائرة بمعلومية نصف قطرها أو قطرها، أو الحل بطريقة عكسية باستخدام المساحة المعطاة لحساب نصف القطر أو القطر. وفي هذه الحالة، تصبح المسألة مجرد مسألة تكوين معادلة باستخدام المعلومات المعطاة. حسنًا. ننتقل الآن إلى مسألة كلامية.

تقول هذه المسألة إنه من المتوقع أن تهب عاصفة من مسافة سبعة أميال من كل اتجاه على بلدة صغيرة. بدلالة 𝜋، احسب المساحة الكلية التي ستضربها العاصفة.

ثمة أمر مهم علينا ملاحظته في هذه المسألة، وهو أنها تطلب منا كتابة الإجابة بدلالة 𝜋؛ ما يعني أن الإجابة النهائية يجب ألا تكون عددًا عشريًا، وإنما يجب أن تتضمن 𝜋. عادة يكون مفيدًا أن نرسم شكلًا توضيحيًا. فها هي المدينة، ونعلم أن العاصفة ستهب من مسافة سبعة أميال من كل اتجاه. ومن ثم فإنها تشكل دائرة، نصف قطرها سبعة، حول هذه المدينة. وها هي صيغة المساحة: المساحة تساوي 𝜋نق تربيع. إذن، يصبح لدينا 𝜋 مضروبًا في سبعة تربيع في هذه الحالة. إذن، المساحة تساوي 𝜋 في سبعة تربيع. سبعة تربيع يساوي ٤٩، ومن ثم فإن المساحة تساوي ٤٩‏𝜋‏. وسأتوقف هنا، لأن المطلوب في رأس المسألة هو أن نكتب الإجابة بدلالة 𝜋.

قد تكون هذه المسألة من النوع الذي يمكن حله دون استخدام الآلة الحاسبة؛ إذ إنك لا تحتاج إلى آلة حاسبة لحساب سبعة تربيع. وبما أنك لن تضرب ٤٩ في 𝜋، فيمكنك أن تترك إجابتك على هذه الصورة. وعلينا كتابة الوحدات، وبما أن الوحدات كانت في المسألة بالأميال. فإن الإجابة ستكون بالميل المربع لهذه المساحة. إذن، الإجابة بدلالة 𝜋 هي ٤٩‏𝜋‏ ميلًا مربعًا للمساحة التي ستضربها العاصفة.

والآن ننتقل إلى المسألة التالية.

لدينا قلادة من الفضة. احسب مساحة سطح القلادة. أمامنا شكل توضيحي، وفيه تمثل القلادة الجزء المظلل هنا.

إذن، هذه القلادة عبارة عن دائرة كبيرة، وهناك دائرة أصغر مقتطعة من منتصفها. وهذا الشكل الدائري المجوف المتبقي هنا هو ما نريد إيجاد مساحته. ويمكننا القيام بذلك عن طريق حساب مساحة الدائرة الأكبر، ثم طرح مساحة الدائرة الأصغر. بالنظر إلى الدائرة الأكبر، نجد أن نصف قطرها هو هذا، ويساوي سنتيمترين زائد سنتيمتر واحد. إذن، هذه الدائرة الأكبر نصف قطرها ثلاثة سنتيمترات. وصيغة المساحة هي 𝜋نق تربيع. وسنطرح المساحة الصغيرة من المساحة الكبيرة. لذلك، علينا التعويض بنصفي القطر.

بالنسبة للدائرة الأكبر، سيكون 𝜋 مضروبًا في ثلاثة تربيع، وبالنسبة للدائرة الأصغر، سيكون 𝜋 مضروبًا في اثنين تربيع. وبإيجاد قيمة كل منهما، يصبح لدينا تسعة 𝜋 ناقص أربعة 𝜋. وتسعة 𝜋 ناقص أربعة 𝜋 يساوي خمسة 𝜋. لم يطلب منا ترك الإجابة بدلالة 𝜋، لذلك سنوجد القيمة في صورة عدد عشري. وباستخدام الآلة الحاسبة، نحصل على الناتج ١٥٫٧ سنتيمترًا مربعًا، بالتقريب لأقرب منزلة عشرية. إذن فهذه هي مساحة سطح هذه القلادة.

ننتقل الآن إلى المسألة الأخيرة التي سنتناولها في هذا الفيديو.

يظهر الشكل التوضيحي مربعًا طول ضلعه ١٢ سنتيمترًا، ومضاف نصف دائرة إلى أحد الأضلاع، وربع دائرة إلى ضلع آخر. والمطلوب منا هو حساب المساحة الإجمالية لهذا الشكل.

حسنًا، لدينا مربع طول ضلعه ١٢ سنتيمترًا، فلنكتب هذه المعلومة على الشكل. حسنًا. علينا إيجاد المساحة الكلية، ومن ثم علينا حساب مساحات ثلاثة أجزاء: المربع ونصف الدائرة وربع الدائرة. المربع هو الأسهل، فلنبدأ به. لإيجاد مساحة المربع، كل ما علينا فعله هو أن نضرب ١٢ في ١٢. إذن، فمساحة هذا الجزء ١٤٤ سنتيمترًا مربعًا. والآن لنفكر في نصف الدائرة هذا. علينا استخدام صيغة المساحة، التي تنص على أن المساحة تساوي 𝜋نق تربيع. ولذلك علينا التفكير في نصف قطر هذه الدائرة. الطول الإجمالي لضلع المربع ١٢ سنتيمترًا. ومن ثم فإن نصف قطر الدائرة، وهو هذا الجزء هنا، يساوي ستة سنتيمترات.

ولحساب مساحة نصف الدائرة هذا، يمكننا حساب مساحة الدائرة الكاملة التي نصف قطرها ستة، لكن علينا بعد ذلك أن نقسمها على اثنين لأننا نريد نصف تلك الدائرة فقط. إذن، لدينا أن مساحة نصف الدائرة تساوي 𝜋 مضروبًا في ستة تربيع الكل مقسومًا على اثنين. وإذا حسبت ذلك مبدئيًا في صورة مضاعف 𝜋، فسيكون الناتج ١٨‏𝜋‏ لمساحة نصف الدائرة هذا. لنحول انتباهنا الآن إلى ربع الدائرة. لحساب مساحة ربع الدائرة، يمكننا إيجاد مساحة الدائرة الكاملة ثم قسمتها على أربعة. ونصف قطر ربع الدائرة، أي هذا الجزء هنا، هو نفسه طول ضلع المربع. إذن، نصف القطر هذه المرة هو ١٢ سنتيمترًا. ولحساب المساحة، نضرب 𝜋 في ١٢ تربيع، ثم علينا قسمة ذلك على أربعة؛ لأننا نريد مساحة ربع دائرة فقط. ومرة أخرى، سأحسب المساحة مبدئيًا بدلالة 𝜋. وهذا يعطيني مساحة مقدارها ٣٦‏𝜋‏ لربع الدائرة هذا.

والخطوة الأخيرة بعد ذلك هي حساب المساحة الكلية بجمع هذه المساحات الثلاث معًا. إذن، لدينا ١٤٤ زائد ١٨‏𝜋‏ زائد ٣٦‏𝜋‏، فنحصل على الإجابة ١٤٤ زائد ٥٤‏𝜋‏ سنتيمترًا مربعًا، وذلك إذا كنت سأترك الإجابة بدلالة 𝜋. لكنني أريد قيمتها في صورة عدد عشري، ومن ثم نحصل على الإجابة النهائية ٣١٣٫٦ سنتيمترًا مربعًا، بالتقريب إلى أقرب منزلة عشرية.

بذلك نكون قد تناولنا حساب مساحة الدائرة بمعلومية نصف القطر أو القطر. وأجرينا الحل أيضًا بطريقة عكسية باستخدام المساحة المعطاة لحساب نصف القطر أو القطر، ثم حللنا بعض المسائل المتعلقة بمساحات الدوائر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.