تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: إيجاد حجم المُجسَّم الناتج عن دوران المنطقة المُحدَّدة بمنحنى دالة أسية حول محور السينات

أحمد لطفي

أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحدودة بالمنحنى ﺹ = ٣ﻫ^ﺱ والخطوط المستقيمة ﺹ = ٠، ﺱ = −١، ﺱ = ١ حول محور السينات، لأقرب رقمين عشريين.

٠٤:١١

‏نسخة الفيديو النصية

اوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحدودة بالمنحنى ص بتساوي تلاتة ﻫ أُس س. والخطوط المستقيمة ص بتساوي صفر، وَ س بتساوي سالب واحد، وَ س بتساوي واحد. حول محور السينات لأقرب رقمين عشريين.

في البداية لو عايزين نمثّل المنطقة المحدودة بالمنحنى ص بتساوي تلاتة ﻫ أُس س، والخطوط المستقيمة س بتساوي صفر، وَ س بتساوي سالب واحد، وَ س بتساوي واحد، من خلال الرسم. فهيكون بالشكل ده.

وعشان نقدر نوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحدودة حول محور السينات. هنفترض مثلًا عندنا دالة د س متصلة عَ الفترة المغلقة من أ إلى ب. وَ د س بتكون أكبر من أو بتساوي صفر لكل س بتنتمي إلى الفترة المغلقة من أ إلى ب، يعني لجميع قيم س بداخل الفترة. لازم تكون قيمة الدالة موجبة أو بتساوي صفر.

فإن الجسم الناشئ من دوران المساحة المحددة بالمنحنى ص بتساوي د س، ومحور السينات اللي بتكون معادلته ص بتساوي صفر، والمستقيمين س بتساوي أ وَ س بتساوي ب؛ دورة كاملة حول محور السينات. هي إن الحجم بيساوي 𝜋 مضروب في تكامل د س تربيع، بالنسبة لـ س من أ إلى ب. وبالتالي بما إن معطى المنحنى ص بيساوي تلاتة ﻫ أُس س، ومعطى الخطوط المستقيمة س بتساوي صفر، وس بتساوي سالب واحد، وَ س بتساوي واحد. فهنفرض لمّا الـ س بتكون بتساوي سالب الواحد إن هي قيمة أ. ولمّا الـ س تكون بتساوي واحد هتكون قيمة ب.

وبالتالي لو عايزين نوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ص بتساوي تلاتة ﻫ أُس س حول محور السينات. فهيكون بيساوي 𝜋 مضروب في تكامل … د س اللي هي الدالة ص بتساوي تلاتة ﻫ أُس س. فهنكتب تلاتة ﻫ أُس س … الدالة بتكون تربيع، وبنكامل بالنسبة لـ س من عند قيمة أ اللي هي س بتساوي سالب واحد، يعني هنعوّض مكان أ بسالب واحد. لحد قيمة ب اللي هي س بتساوي واحد. فهنعوّض عن ب بواحد. يعني الحجم بيساوي 𝜋 مضروب في تكامل … تلاتة ﻫ أُس س الكل تربيع د س من سالب واحد إلى واحد.

يعني الحجم هيساوي … 𝜋 مضروبة في تكامل تلاتة ﻫ أُس س تربيع … هيكون عندنا تسعة ﻫ أُس اتنين س. بالنسبة لـ س من سالب واحد إلى واحد. ويبقى الحجم هيساوي 𝜋 مضروبة في … تكامل تسعة ﻫ أُس اتنين س، هنكتب تسعة زي ما هي. تكامل ﻫ أُس اتنين س بيساوي … ﻫ أُس اتنين س زي ما هي، مقسومة على تفاضل الأس، وتفاضل اتنين س بيساوي اتنين. من سالب واحد إلى واحد.

يعني الحجم هيساوي 𝜋 مضروبة في … هنعوّض الأول عن س بواحد، فهيكون عندنا تسعة ﻫ أُس اتنين مضروبة في واحد الكل مقسوم على اتنين. ناقص … هنعوّض عن س بسالب واحد، فهيكون عندنا تسعة في ﻫ أُس اتنين في سالب واحد، الكل مقسوم على اتنين.

يعني الحجم بيساوي 𝜋 مضروبة في … تسعة على اتنين ﻫ أُس اتنين، ناقص تسعة على اتنين ﻫ أُس سالب اتنين.

يعني الحجم تقريبًا هيساوي مية واتنين وخمسة وخمسين من مية.

يبقى كده قدرنا نوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحدودة بالمنحنى ص بتساوي تلاتة ﻫ أُس س، والخطوط المستقيمة س بتساوي صفر، وَ س بتساوي سالب واحد، وَ س بتساوي واحد. حول محور السينات لأقرب رقمين عشريين. وكان تقريبًا بيساوي مية واتنين وخمسة وخمسين من مية.