فيديو الدرس: جمع وطرح المتجهات في بعدين

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتناول ما يحدث عند جمع متجهات بعضها مع بعض أو طرحها. نعلم أنه يمكن تمثيل المتجهات بخطوط مستقيمة ذات طول واتجاه محددين، وسيساعدنا استخدام ذلك كثيرًا في تصور جمع المتجهات وطرحها.

تجرى عملية الجمع بوضع أطراف المتجهات أحدها على الآخر وحساب مركبات المتجه الناتج عن طريق حساب الفرق بين إحداثيات نقطة البداية للمتجه الأول ونقطة النهاية للمتجه الأخير في السلسلة. فلنأخذ مثالًا على ذلك.

لدينا ﺃ، وهو المتجه ثلاثة واثنان، وﺏ، وهو المتجه أربعة وسالب واحد. ونريد جمع هذين المتجهين معًا. إذن سنرسم هذين المتجهين سريعًا، ونحصل على المتجه ﺃ الذي له مركبة ﺱ تساوي موجب ثلاثة ومركبة ﺹ تساوي موجب اثنين – أي إننا تحركنا بمقدار ثلاثة في هذا الاتجاه، واثنين في هذا الاتجاه – والمتجه ﺏ، الذي له مركبة ﺱ تساوي أربعة ومركبة ﺹ تساوي سالب واحد.

إذا جمعنا هذين المتجهين معًا، فسيكون الأمر كما لو كنا نضع طرفي هذين المتجهين أحدهما على الآخر، ثم نوجد كيفية الانتقال من بداية المتجه الأول إلى نهاية المتجه الأخير. إذن للانتقال من هنا إلى هنا، قطعنا مسافة مقدارها ثلاثة في اتجاه المحور ﺱ وأربعة أخرى في اتجاه المحور ﺱ هنا. إذن لإيجاد مركبة ﺱ للمتجه الناتج، ﺃ زائد ﺏ، نجمع مركبة ﺱ للمتجه ﺃ مع مركبة ﺱ للمتجه ﺏ.

والآن لننظر إلى مركبتي ﺹ. للانتقال من هنا إلى هنا مرة أخرى، سنكون قد تحركنا بمقدار موجب اثنين لننتقل إلى أعلى المخطط لكننا عدنا مرة أخرى إلى الوراء بمقدار واحد. علينا إذن جمع هاتين المركبتين معًا. إذن، اثنان زائد سالب واحد. وثلاثة زائد أربعة يساوي سبعة، إذن مركبة ﺱ الناتجة تساوي سبعة. واثنان زائد سالب واحد يساوي واحدًا، إذن مركبة ﺹ الناتجة تساوي واحدًا.

إذن، جمع المتجهات عبارة عن جمع مركبات ﺱ وجمع مركبات ﺹ.

والآن، لنجمع ثلاثة متجهات معًا.

لدينا المتجه ﺃ، الذي يساوي أربعة وسالب اثنين؛ والمتجه ﺏ، الذي يساوي واحدًا وستة؛ والمتجه ﺟ، الذي يساوي سالب خمسة وسالب أربعة. وعلينا جمع هذه المتجهات الثلاثة معًا.

فلنرسم مخططًا أولًا. حسنًا، ها هو المتجه ﺃ موجب أربعة في اتجاه المحور ﺱ وسالب اثنين في اتجاه المحور ﺹ. ثم المتجه ﺏ موجب واحد في اتجاه المحور ﺱ وموجب ستة في اتجاه المحور ﺹ. وأخيرًا، نرسم المتجه ﺟ عند نهاية المتجه ﺏ، ويساوي سالب خمسة في اتجاه المحور ﺱ وسالب أربعة في اتجاه المحور ﺹ. ويمكننا ملاحظة أنه عند جمع ﺃ وﺏ وﺟ معًا، تكون نقطة البداية للمتجه الأول ﺃ هي نفسها نقطة نهاية المتجه الأخير ﺟ.

إذن، على الرغم من المسافة التي تحركناها، بدأنا من هنا وانتهى بنا المطاف في الموضع نفسه هنا. حسنًا، لنجمع مركبات ﺱ معًا. إذن فقد تحركنا بمقدار أربعة ثم واحد آخر، ثم طرحنا خمسة. وفي اتجاه المحور ﺹ، تحركنا بمقدار سالب اثنين ثم أضفنا ستة، ثم طرحنا أربعة في النهاية. وأربعة زائد واحد ناقص خمسة يساوي صفرًا، وسالب اثنين زائد ستة ناقص أربعة يساوي صفرًا أيضًا.

وعليه، فإن المتجه الناتج عن جمع المركبات هو صفر، صفر. وهذا يتفق مع ما نعرفه من البداية: أننا بدأنا وانتهينا في الموضع نفسه تمامًا. إذن المتجه الناتج أننا لم نتحرك في الاتجاه ﺱ ولم نتحرك في الاتجاه ﺹ؛ إذ إن نقطة البداية ونقطة النهاية متطابقتان.

بعدما تناولنا بعض عمليات الجمع الأساسية للمتجهات، دعونا نلق نظرة سريعة على عمليات الجمع المتكرر للمتجهات، أو ما يسمى بشكل أنسب بضرب المتجهات في كميات قياسية. ولنبدأ بـ ﺃ الذي يساوي المتجه اثنين، وثلاثة. لنفترض أننا نريد إيجاد قيمة اثنين ﺃ. حسنًا، اثنان ﺃ يساوي ﺃ زائد ﺃ. وكما رأينا توًا، لجمع متجهين معًا، كل ما علينا فعله هو جمع المركبات معًا، أي اثنين زائد اثنين وثلاثة زائد ثلاثة.

نعم، إننا نكرر النقطة نفسها مرة أخرى. ولكن، هذا يعني أن لدينا قيمتين من مركبة ﺱ وقيمتين من مركبة ﺹ، أي هذين هنا. لقد ضربنا كلًا من المركبتين في اثنين، وهو ما يعطينا المتجه أربعة، وستة. حسنًا، لنفكر الآن في ثلاثة ﺃ، أي ﺃ زائد ﺃ زائد ﺃ.

حسنًا، سأنتقل مباشرة إلى المرحلة الأخيرة. عندما نضرب المركبات، ولأنها ثلاثة ﺃ، فإننا نضرب مركبة ﺱ في ثلاثة، ومركبة ﺹ في ثلاثة، ما يعطينا ستة، وتسعة. ولنلق نظرة على مثال آخر: قيمة قياسية كسرية، وهي ربع. إذن، لدينا ربع ﺃ، سنضرب كلًا من المركبتين في ربع. إذن، هذا يساوي ربع اثنين وربع ثلاثة. ومن ثم، نحصل على نصف وثلاثة أرباع كمركبتين.

إذن، تلخيصًا لذلك، في عملية ضرب متجه في كمية قياسية، نأخذ الكمية القياسية ونضرب كلًا من مركبتي المتجه في تلك القيمة القياسية فنحصل على مركبتي المتجه الناتج. لنبدأ إذن بالمتجه نفسه ﺃ. ولننظر إلى عملية ضرب القيم القياسية السالبة، ونطبق الطريقة نفسها. لنأخذ مثالين على ذلك.

حسنًا، نحاول إيجاد قيمة سالب ﺃ. هذا يعني سالب واحد في ﺃ، ولذا سنأخذ القيمة القياسية سالب واحد، ونضرب كلتا المركبتين في سالب واحد. وهذا يعطينا الناتج سالب اثنين وسالب ثلاثة. حسنًا، لننظر إلى سالب اثنين ﺃ. هذه المرة، القيمة القياسية هي سالب اثنين، وسنضرب كلًا من المركبتين ﺱ وﺹ في سالب اثنين. وهذا يعطينا الناتج سالب أربعة، وسالب ستة.

والآن، يجدر بنا أن نتوقف لحظة وننظر إلى ﺃ وسالب ﺃ : للمركبتين الأعداد نفسها، اثنان واثنان لمركبتي ﺱ، وثلاثة وثلاثة لمركبتي ﺹ. ولكن في سالب ﺃ، تكون الإشارات معكوسة. في واقع الأمر، ما سنفعله هو أننا سنتحرك في الاتجاه المعاكس تمامًا. مع المتجه ﺃ، نتحرك بمقدار موجب اثنين في اتجاه المحور ﺱ وموجب ثلاثة في اتجاه المحور ﺹ؛ هذه المسافة هنا. ومع سالب ﺃ، نتحرك بمقدار سالب اثنين في اتجاه المحور ﺱ وسالب ثلاثة في اتجاه المحور ﺹ.

إذن، فقد تحركنا حركة عكسية في الاتجاه السالب، في الاتجاه المعاكس. موجب ﺃ وسالب ﺃ لهما الطول نفسه، وزاوية المتجه نفسها، لكنهما يشيران إلى اتجاهين متعاكسين.

حسنًا، لننظر إلى مثال أو مثالين سريعًا عن طرح بعض المتجهات.

لدينا المتجه ﺃ يساوي اثنين، وثلاثة، والمتجه ﺏ يساوي أربعة، وسالب واحد. ونريد حساب المتجه الناتج عن طرح المتجه ﺃ والمتجه ﺏ. حسنًا، هناك طرق مختلفة، يمكنك أخذ مركبة ﺱ للمتجه ﺃ وتطرح منها مركبة ﺱ للمتجه ﺏ، ومركبة ﺹ للمتجه ﺃ ناقص مركبة ﺹ للمتجه ﺏ، فتحصل على المتجه الناتج. لكنني أود أن أقترح النظر إلى الأمر بطريقة مختلفة قليلًا، حيث ﺃ ناقص ﺏ هي نفسها ﺃ زائد سالب ﺏ.

عندما نكتب ذلك، يصبح لدينا اثنان زائد سالب أربعة، وثلاثة زائد سالب سالب واحد، وهو ما يبدو غريبًا بعض الشيء عند كتابته. ولكننا كتبناه بالفعل. إذن اثنان زائد سالب أربعة يساوي سالب اثنين، وثلاثة زائد سالب سالب واحد، أي موجب واحد، يساوي أربعة.

يبدو أننا بتحويل ﺃ ناقص ﺏ إلى ﺃ زائد سالب ﺏ كما لو كنا نزيد الأمر تعقيدًا. لكن دعونا نلق نظرة على ذلك أولًا، ونر ماذا سيحدث. لدينا هنا المتجه ﺃ، والذي سأرسمه بمقدار اثنين أفقيًا وثلاثة رأسيًا. إذا جمعنا المتجه ﺏ، فسأتحرك إلى اليمين بمقدار أربعة ثم لأسفل بمقدار واحد، ولكني أجمع سالب المتجه ﺏ. جمع سالب المتجه ﺏ ينقلني من طرف المتجه ﺃ إلى اليسار بمقدار أربعة، إذن سنتحرك بمقدار أربعة في هذا الاتجاه. وبالنسبة إلى سالب سالب واحد، فإننا نتحرك لأعلى بمقدار واحد في هذا الاتجاه.

إذن، هذه هي فكرة وضع المتجهات بحيث يكون طرف أحدها فوق الآخر، وإن طرح المتجه ﺏ هو نفسه جمع سالب المتجه ﺏ، ما يعني أنه يمكننا وضع المتجه السالب عند طرف المتجه ﺃ، ثم يمكننا البحث عن المتجه الناتج، مع التحرك من بداية المتجه ﺃ إلى نهاية المتجه ﺏ هنا. وعندما نفعل ذلك، فإننا نتحرك بمقدار سالب اثنين في هذا الاتجاه، وفي الأعلى هنا بمقدار موجب أربعة في هذا الاتجاه. ولذا عند طرح المتجهات، يمكننا طرح المركبتين إذا أردنا، أو جمع سالب مركبتي المتجه الثاني، وهو ما يساعدنا على تصور مخطط المتجه بسهولة أكبر.

لنلق نظرة على مثال آخر. سنبدأ بالمتجهين ﺃ وﺏ نفسيهما.

لكن هذه المرة سنحسب ﺏ ناقص ﺃ، وهو ما يساوي ﺏ زائد سالب ﺃ، ما يعطينا أربعة زائد سالب اثنين وسالب واحد زائد سالب ثلاثة. إذن، هذا متجه ناتج يساوي اثنين، وسالب أربعة.

لننظر إلى المخطط مجددًا. أولًا، المتجه ﺏ، نتجه نحو موجب أربعة في اتجاه المحور ﺱ وسالب واحد في اتجاه المحور ﺹ ثم نضيف سالب ﺃ، أي سالب اثنين في الاتجاه ﺱ، إذن نعود مرة أخرى بمقدار سالب اثنين. وسالب ثلاثة أي نتحرك إلى أسفل بمقدار ثلاثة — واحد، اثنان، ثلاثة — في الاتجاه ﺹ.

نبدأ من نقطة البداية للمتجه ﺏ؛ ثم نضيف سالب المتجه ﺃ؛ وننتهي عند نقطة نهاية المتجه ﺃ. إذن، ستكون النتيجة هي هذا المسار هنا. وبإكمال هذا المسار، تحركنا بمقدار موجب أربعة في الاتجاه ﺱ، ولكننا عدنا إلى اثنين، ما يعطينا مركبة ﺱ تساوي اثنين. إذن، هذه المسافة تساوي اثنين. ثم انتقلنا لأسفل بمقدار واحد، ثم انتقلنا لأسفل مرة أخرى بمقدار ثلاثة، ما يعطينا مركبة ﺹ تساوي سالب أربعة، وهو ما يعني أننا انتقلنا هنا بمقدار أربعة. إذن هذا المتجه هنا هو ﺏ مطروحًا منه ﺃ، أو ﺏ ناقص ﺃ، أو ﺏ زائد سالب ﺃ.

عند وضع هذين الناتجين جنبًا إلى جنب، نجد أن ﺃ ناقص ﺏ يساوي سالب اثنين أربعة، وﺏ ناقص ﺃ يساوي اثنين سالب أربعة. إذن كلا المتجهين يقعان في الموضع نفسه هنا، هذا هو الموضع. وهذا طول المتجه، لكن أحدهما يشير إلى هذا الاتجاه والآخر يشير إلى ذلك الاتجاه.

إذن كلاهما المتجه نفسه، ولكن في اتجاهين متعاكسين؛ أي إن أحد المتجهين هو سالب المتجه الآخر. المتجه ﺃ ناقص ﺏ هو سالب المتجه ﺏ ناقص ﺃ. وهذا أمر منطقي؛ لأن سالب المتجه ﺏ يساوي المتجه سالب ﺏ وسالب سالب المتجه ﺃ يساوي المتجه موجب ﺃ. إذن، جبريًا، كلاهما هو المتجه نفسه؛ وبصيغة المتجهات، كلاهما هو المتجه نفسه أيضًا.

والآن لننظر إلى المسألة الأخيرة.

لدينا شكل سداسي منتظم ﺃﺏﺟﺩﻫﻭ، وﻡ هي نقطة منتصفه، وعلينا التعبير عن ﺃﻫ بدلالة المتجهين ﺵ وﻁ. المتجه ﻁ يمتد من النقطة ﻡ إلى النقطة ﺟ، والمتجه ﺵ يمتد من النقطة ﺩ إلى النقطة ﺟ. وبما أن هذا شكل سداسي منتظم، نعلم أن بعض هذه الأضلاع ستكون متوازية. إذن، الأضلاع ﺃﺏ وﻫﺩ وﻭﻡ وﻡﺟ متوازية؛ والأضلاع ﺃﻭ وﺏﻡ وﻡﻫ وﺟﺩ متوازية؛ والأضلاع ﻫﻭ وﺩﻡ وﻡﺃ وﺟﺏ جميعها متوازية.

نعرف، على سبيل المثال، أن المتجه ﺵ يمتد من ﺩ إلى ﺟ، أو يمكننا وضع المتجه ﺵ في مواضع مختلفة أيضًا. إذن هذه المسافات متوازية، لكنها متساوية في الطول أيضًا. إذن، يمكننا أخذ المتجه ﺵ ووضعه في كل موقع من هذه المواقع. وبالمثل، في حالة المتجه ﻁ، الذي يمتد من ﻡ إلى ﺟ، هذا أيضًا سيكون المتجه ﻁ؛ وهذا أيضًا سيكون المتجه ﻁ؛ وهذا أيضًا سيكون المتجه ﻁ.

إذن لدينا بضع فجوات في الشكل السداسي. كيف يمكنني، على سبيل المثال، الانتقال من ﻡ إلى ﺩ على طول هذا المتجه؟ كان بإمكاني التحرك في خط مستقيم، إلا أن هذا لا يخبرني بأي شيء بدلالة ﺵ وﻁ. ويمكنني أيضًا التحرك في هذا الاتجاه الآخر؛ فيمكنني الانتقال من ﻡ إلى ﺟ، وهو المتجه ﻁ، ويمكنني الانتقال من ﺟ إلى ﺩ، وهو المسار المعاكس للمتجه ﺵ، أي سالب ﺵ.

إذن المتجه ﻡﺩ، كما قلنا، هو ﻡﺟ زائد ﺟﺩ، وهو ما يساوي ﻁ زائد سالب ﺵ. بعبارة أخرى، ﻁ ناقص ﺵ. فلنرسم ذلك ونوضحه على المخطط: ﻡﺩ يساوي ﻁ ناقص ﺵ. وبالمثل، ﻭﻫ مواز وله الطول نفسه، إذن، هذا أيضًا يساوي ﻁ ناقص ﺵ؛ وكذلك ﺃﻡ؛ وكذلك ﺏﺟ.

إذن، عندما نحاول تلخيص المسار من ﺃ إلى ﻫ بدلالة ﺵ وﻁ، فإننا نجد أن كل هذه المسارات بين نقطتين مفردتين على الشكل السداسي تكون بدلالة ﺵ وﻁ بالفعل، ومن ثم، فإن كل ما علينا فعله هو اختيار مسار مناسب. فلنبدأ من هنا، سالب ﺵ — أي الاتجاه المعاكس للمتجه ﺵ — ثم لأسفل هنا، ﻁ ناقص ﺵ. وسيكون من الأفضل أن ننظمهما. عند كتابة ذلك، نحصل على ﺵ زائد ﻁ ناقص ﺵ. وعند كتابة ذلك، نحصل على سالب ﺵ زائد ﻁ ناقص ﺵ. ولا يهم المسار الذي نتخذه؛ لأنه مهما كان معقدًا، فإننا نحصل على النتيجة نفسها فيما يخص ﺃﻫ.