فيديو: امتحان الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال التاسع عشر

امتحان الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال التاسع عشر

٠٦:٤٢

‏نسخة الفيديو النصية

المستوى تلاتة س زائد اتنين ص زائد أربعة ع يساوي اتناشر يقطع محاور الإحداثيات الثلاثة في النقاط أ وَ ب وَ ج. احسب مساحة المثلث أ ب ج.

يبقى دلوقتي معطى عندنا في السؤال معادلة المستوى اللي بيقطع محاور الإحداثيات التلاتة في التلات نقط أ وَ ب وَ ج. والمطلوب مننا إن إحنا نحسب مساحة المثلث أ ب ج الناتج عن توصيل تلات نقط التقاطُع دول.

فأول حاجة هفكَّر فيها هي القاعدة اللي بنحسب منها مساحة المثلث عبارة عن إيه. خلِّينا نفتكر المعنى الهندسي لمعيار حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين. معيار حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين يا إمَّا بيكون بيساوي مساحة متوازي الأضلاع اللي المتجهين فيه دول ضلعين متجاورين. أو … وده الجزء اللي هيهمّنا هنا … أو بيساوي ضعف مساحة المثلث اللي بيكون فيه المتجهين اللي عندنا ضلعين. فبالتالي أنا عندي متجهين أ ب وَ أ ج. لو قدرت أعرف المتجهين دول، هوجد حاصل الضرب الاتجاهي ليهم، وبعدين هجيب معيار حاصل الضرب الاتجاهي ده. ده هيبقى بيساوي ضعف مساحة المثلث المطلوب. يعني كده هنبقى قدرنا نحصل من العلاقة دي على مساحة المثلث أ ب ج.

يبقى أول حاجة عشان نقدر نوجد المتجهين أ ب وَ أ ج، محتاجين نعرف إحداثيات النقاط أ وَ ب وَ ج. اللي همَّ نقاط تقاطُع المستوى اللي عندنا مع محاور الإحداثيات. هنقسم طرفَي المعادلة اللي عندنا بتاعة المستوى على اتناشر. عشان نخلّي معادلة المستوى اللي عندنا على الصورة دي. اللي هي بتعبّر عن معادلة المستوى مكتوبة بدلالة الأجزاء المقطوعة من محاور الإحداثيات. حيث س واحد وصفر وصفر دي نقطة تقاطُع المستوى مع المحور س. وصفر وَ ص واحد وصفر دي نقطة تقاطُع المستوى مع المحور ص. وصفر وصفر وَ ع واحد هتبقى نقطة تقاطُع المستوى مع المحور ع.

فبالتالي لما نخلّي معادلة المستوى اللي عندنا على الصورة دي. هنقدر من خلال تحديد س واحد وَ ص واحد وَ ع واحد معرفة إحداثيات نقط التقاطُع بتاعة المستوى مع المحاور التلاتة.

هنرجع بقى لمعادلة المستوى. بعد ما نقسم الطرفين بتوع المعادلة على اتناشر، هتبقى المعادلة بالشكل ده. هنختصر الحد الأول بقسمة البسط والمقام على تلاتة. فكده هيبقى الحدّ الأول س على أربعة. والحد التاني … هنقسم البسط والمقام على اتنين. فكده هيبقى الحدّ التاني ص على ستة. والحد التالت … هنقسم البسط والمقام على أربعة، فهيبقى ع على تلاتة. والحد الأيسر … اتناشر على اتناشر هتساوي واحد.

دلوقتي بعد ما أصبحت المعادلة على الشكل ده. هنقدر نستنتج منها إن س واحد هتساوي أربعة، وَ ص واحد هتساوي ستة، وَ ع واحد هتساوي تلاتة. يبقى كده نقدر نكتب إحداثيات نقاط التقاطُع. هنعوَّض عن س واحد بأربعة. ودي هتبقى إحداثيات النقطة أ. وهنعوَّض عن ص واحد بستة. ودي هتبقى إحداثيات النقطة ب. وهنعوَّض عن ع واحد بتلاتة. ودي هتبقى إحداثيات النقطة ج.

دلوقتي بقى عايزين نوجد المتجهين أ ب وَ أ ج. هنبدأ بالمتجه أ ب، اللي هيساوي المتجه ب ناقص المتجه أ؛ يعني إحداثيات النقطة ب ناقص إحداثيات النقطة أ. فهيبقى بيساوي سالب أربعة وستة وصفر. دلوقتي هنوجد المتجه أ ج، اللي هيساوي متجه الموضع للنقطة ج، وهنعوَّض عنها بإحداثيات النقطة ج. ناقص متجه الموضع للنقطة أ، اللي هنعوَّض عنه بإحداثيات النقطة أ. فهنحصل على المتجه أ ج، اللي هيساوي سالب أربعة وصفر وتلاتة.

يبقى دلوقتي بعد ما أوجدنا المتجهين أ ب وَ أ ج، عايزين نوجد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين. وبعدين نوجد معيار حاصل الضرب الاتجاهي لنفس المتجهين. دلوقتي هنوجد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب وَ أ ج. اللي بيساوي محدِّد أول صفّ فيه بيبقى عبارة عن متجه وحدة في اتجاه المحور س. متجه وحدة في اتجاه المحور ص. ومتجه وحدة في اتجاه المحور ع. والصفّ التاني بيبقى عبارة عن إحداثيات المتجه الأول، اللي هو أ ب، اللي هو سالب أربعة وستة وصفر. والصفّ التالت بيبقى عبارة عن إحداثيات المتجه التاني، أو المتجه أ ج، اللي إحداثياته بتساوي سالب أربعة وصفر وتلاتة.

هنوجد قيمة المحدِّد ده باستخدام عناصر الصفّ الأول. وما ننساش قاعدة إشارات المحدِّد. فهيبقى عندنا أول حدّ اللي إشارته موجبة عبارة عن متجه الوحدة في اتجاه المحور س، مضروب في، ستة في تلاتة. بعد كده الحدّ التاني هتبقى إشارته سالبة. فكده هيبقى الحدّ التاني عبارة عن متجه الوحدة في اتجاه المحور ص، مضروب في، سالب أربعة في تلاتة. وما ننساش الإشارة السالبة. أمَّا الحدّ التالت، فهتبقى إشارته موجبة. وهيبقى عبارة عن متجه وحدة في اتجاه المحور ع، مضروب في، أربعة في ستة.

وبعد التبسيط هنوصل لأن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب وَ أ ج. هيبقى بيساوي تمنتاشر في اتجاه متجه الوحدة س، زائد اتناشر في اتجاه متجه الوحدة ص، زائد أربعة وعشرين في اتجاه متجه الوحدة ع.

دلوقتي بقى عايزين نوجد معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب وَ أ ج. اللي هيساوي الجذر التربيعي لتمنتاشر تربيع زائد اتناشر تربيع زائد أربعة وعشرين تربيع. وبعد التبسيط هنلاقي إنه بيساوي ستة في الجذر التربيعي لتسعة وعشرين. ومن العلاقة اللي عندنا دي بما إن معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين اللي عندنا أ ب وَ أ ج عبارة عن ضعف مساحة المثلث المطلوب. فده معناه إن مساحة المثلث المطلوب، اللي هو أ ب ج، هي عبارة عن نصّ معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب وَ أ ج.

يعني نقدر نقول: إن مساحة المثلث أ ب ج هتساوي نصّ في معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب وَ أ ج. اللي أوجدناه إنه بيساوي ستة في الجذر التربيعي لتسعة وعشرين. أو بيساوي تلاتة في الجذر التربيعي لتسعة وعشرين.

وبكده يبقى قدرنا نستنتج مساحة المثلث أ ب ج.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.