فيديو السؤال: اشتقاق خارج قسمة دوال تتضمن دوال أسية ومثلثية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ تساوي ﻫ أس خمسة ﺱ مقسومًا على سبعة في ظا ثمانية ﺱ.

لدينا الدالة ﺹ، وهي خارج قسمة دالتين. وعلينا إيجاد المشتقة الأولى لـ ﺹ. بما أن ﺹ هي دالة في المتغير ﺱ، فهذه المشتقة ستكون المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ.

توجد عدة طرق مختلفة للتعامل مع ذلك. على سبيل المثال، يمكننا محاولة استخدام المتطابقات المثلثية لإعادة كتابة هذه الدالة في صورة دالة يسهل اشتقاقها. باستخدام هذه المتطابقات، يمكننا إعادة كتابة ﺹ على صورة ﻫ أس خمسة ﺱ في ظتا ثمانية ﺱ، الكل مقسوم على سبعة. ويمكننا بالطبع إيجاد قيمة مشتقة هذا المقدار بالنسبة إلى ﺱ باستخدام قاعدة الضرب.

ولكن هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا استخدامها لحل هذه المسألة. فيمكننا أيضًا اشتقاق ذلك باستخدام قاعدة القسمة. الطريقتان صحيحتان. ويمكننا استخدام الطريقة التي نفضلها. في هذا الفيديو، سنستخدم قاعدة القسمة.

نتذكر هنا أن قاعدة القسمة تنص على أن مشتقة خارج قسمة دالتين قابلتين للاشتقاق ﻉ على ﻕ تساوي ﻉ شرطة ﻕ ناقص ﻕ شرطة ﻉ، الكل مقسوم على ﻕ تربيع. وبما أنه لا يمكننا القسمة على صفر، فلن يكون ذلك صحيحًا إلا إذا كان المقام ﻕ تربيع لا يساوي صفرًا. ومن ثم، لتطبيق قاعدة القسمة، سنجعل ﻉ ﺱ هي الدالة في البسط، والتي تساوي ﻫ أس خمسة ﺱ؛ وﻕ ﺱ هي الدالة في المقام، والتي تساوي سبعة ظا ثمانية ﺱ.

لتطبيق قاعدة القسمة، علينا إيجاد مقدارين يعبران عن ﻉ شرطة ﺱ وﻕ شرطة ﺱ. لنبدأ بـ ﻉ شرطة ﺱ. وهي مشتقة ﻫ أس خمسة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. لإيجاد قيمة هذه المشتقة، علينا أن نتذكر إحدى القواعد القياسية لاشتقاق الدوال الأسية. لأي ثابت حقيقي ﺃ، مشتقة ﻫ أس ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃ في ﻫ أس ﺃﺱ.

إذن لاشتقاق ﻉ ﺱ، نلاحظ أن قيمة ﺃ تساوي خمسة. فنجعل ﺃ يساوي خمسة، ونحصل على ﻉ شرطة ﺱ يساوي خمسة في ﻫ أس خمسة ﺱ. بعد ذلك، علينا إيجاد مقدار يعبر عن ﻕ شرطة ﺱ. وهو مشتقة سبعة في ظا ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ولإيجاد قيمة هذه المشتقة، علينا أن نتذكر إحدى نتائج المشتقات المثلثية القياسية. لأي ثابت حقيقي ﺃ، مشتقة ظا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃ في قا تربيع لـ ﺃﺱ.

هذه المرة، قيمة ﺃ، وهي معامل ﺱ، تساوي ثمانية. لذا، فإن مشتقة ظا ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ثمانية في قا تربيع لثمانية ﺱ. علينا ضرب هذا المقدار في سبعة لإيجاد ﻕ شرطة ﺱ. وفي هذا المقدار، يمكننا تبسيط سبعة في ثمانية لنحصل على ٥٦.

أصبحنا جاهزين لإيجاد مقدار يعبر عن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ باستخدام قاعدة القسمة. فهي تساوي ﻉ شرطة ﺱ في ﻕ ﺱ ناقص ﻕ شرطة ﺱ في ﻉ ﺱ، الكل مقسوم على ﻕ ﺱ الكل تربيع. بالتعويض بالمقادير التي تعبر عن ﻉ ﺱ وﻉ شرطة ﺱ وﻕ ﺱ وﻕ شرطة ﺱ، نحصل على دﺹ على دﺱ يساوي خمسة في ﻫ أس خمسة ﺱ في سبعة ظا ثمانية ﺱ ناقص ٥٦ في قا تربيع لثمانية ﺱ في ﻫ أس خمسة ﺱ، الكل مقسوم على سبعة ظا ثمانية ﺱ الكل تربيع.

ويمكننا تبسيط هذا المقدار بأخذ العامل المشترك ﻫ أس خمسة ﺱ في البسط. وهذا يعطينا ﻫ أس خمسة ﺱ في ٣٥ ظا ثمانية ﺱ ناقص ٥٦ قا تربيع لثمانية ﺱ، الكل مقسوم على سبعة ظا ثمانية ﺱ الكل تربيع.

يمكننا أن نترك الإجابة بهذا الشكل. ولكن يمكننا أيضًا تبسيطها أكثر. سنبدأ بتوزيع الأس بالمقام. وهذا سيعطينا مقامًا جديدًا، وهو سبعة تربيع في ظا تربيع لثمانية ﺱ. وسبعة تربيع يساوي ٤٩. نلاحظ الآن أن البسط والمقام يشتركان في العامل سبعة. لذا، سنقسم كلًّا من البسط والمقام على سبعة. وهذا يعطينا الإجابة النهائية.

بمعلومية أن الدالة ﺹ تساوي ﻫ أس خمسة ﺱ مقسومًا على سبعة في ظا ثمانية ﺱ، تمكنا من توضيح أن المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻫ أس خمسة ﺱ في خمسة في ظا ثمانية ﺱ ناقص ثمانية في قا تربيع لثمانية ﺱ، الكل مقسوم على سبعة في ظا تربيع لثمانية ﺱ.