نسخة الفيديو النصية
خزان ماء به ١٧٧٨ لترًا. انخفض حجم الماء بداخله بمقدار ١٤ و٢٨ و٥٦ لترًا خلال ثلاثة أيام تالية، على الترتيب. إذا استمر انخفاض منسوب الماء داخل الخزان بنفس المعدل، فما الزمن الذي يستغرقه الخزان ليصبح فارغًا؟
علمنا من السؤال أن هناك خزانًا به ١٧٧٨ لترًا من الماء. وحجم الماء ينخفض بمقدار ١٤ و٢٨ و٥٦ لترًا خلال ثلاثة أيام تالية. مطلوب منا حساب الزمن الذي يستغرقه الخزان ليصبح فارغًا. نبدأ بملاحظة أن القيم ١٤، و٢٨، و٥٦، وهكذا، تكون متتابعة هندسية. ولأي متتابعة هندسية توجد نسبة مشتركة، تسمى «أساس المتتابعة الهندسية»، بين أي حدين متتاليين فيها. وبما أن ١٤ مضروبًا في اثنين يساوي ٢٨، و٢٨ مضروبًا في اثنين يساوي ٥٦، فإن هذه المتتابعة لها نسبة مشتركة تساوي اثنين.
لعلنا نتذكر أنه يمكن حساب مجموع أول ﻥ من الحدود في المتتابعة الهندسية باستخدام الصيغة ﺃ مضروبًا في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد الكل مقسوم على ﺭ ناقص واحد. وبالتعويض بقيمتي ﺃ وﺭ من المتتابعة لدينا، نحصل على ١٤ مضروبًا في اثنين أس ﻥ ناقص واحد الكل مقسوم على اثنين ناقص واحد. يبسط المقام إلى واحد. وعليه، نجد أن هذا المقدار يساوي ١٤ مضروبًا في اثنين أس ﻥ ناقص واحد.
بما أننا نريد معرفة الزمن الذي يستغرقه الخزان ليصبح فارغًا، وحجم الماء في الخزان في البداية هو ١٧٧٨ لترًا، يمكننا مساواة هذا المقدار بـ ١٧٧٨. بعد ذلك، يمكننا قسمة الطرفين على ١٤، فيصبح لدينا اثنان أس ﻥ ناقص واحد يساوي ١٢٧. وبإضافة واحد إلى طرفي هذه المعادلة، يصبح لدينا اثنان أس ﻥ يساوي ١٢٨. نحن نعلم أن ١٢٨ هو قوة للعدد اثنين. ومن ثم، فإن ﻥ قيمة عدد صحيح. اثنان أس سبعة يساوي ١٢٨. وهذا يعني أن ﻥ يساوي سبعة. وبما أن الوحدة لدينا هي الأيام، يمكننا استنتاج أن الخزان يستغرق سبعة أيام ليصبح فارغًا.
يمكننا التحقق من صحة هذه الإجابة بحساب حجم الماء في الخزان في نهاية كل يوم. لحساب حجم الماء في الخزان في نهاية اليوم الأول، نطرح ١٤ من ١٧٧٨. وهذا يعطينا ١٧٦٤. بعد ذلك، نطرح ٢٨ من هذا الناتج؛ وذلك لأن ٢٨ هو العدد الثاني في المتتابعة. وهذا يعطينا ١٧٣٦. نكرر هذه العملية للأيام الثالث والرابع والخامس والسادس والسابع. وهذا يؤكد لنا أنه في نهاية اليوم السابع، يصبح خزان الماء فارغًا.
