تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: دراسة حركة جسمين مُعلَّقين رأسيًّا موصولَيْنِ بخيط يمر فوق بكرة

أحمد لطفي

جسمان كتلتاهما ك_١، ك_٢، حيث ك_١ > ك_٢. رُبطا بطرفي خيط طويل خفيف غير مرِن يمر فوق بكرة ملساء. عندما تُرك النظام ليتحرك، هبط الجسم الأكبر مسافة ٣٧١ سم في ثانيتين. بعد ذلك أُضيف جسم كتلته ١٠٥ جم إلى الجسم الأصغر. عندما ترك النظام أيضًا ليتحرك هبط الجسم المركّب مسافة ٤١٤ سم في ٣ ثوان. احسب مقدار كتلة كل جسم، علمًا بأن د = ٩٫٨ م/ث^٢.

١٧:٠٧

‏نسخة الفيديو النصية

جسمان كتلتاهما ك واحد وَ ك اتنين، حيث ك واحد أكبر من ك اتنين. رُبطا بطرفي خيط طويل خفيف غير مرِن يمر فوق بكرة ملساء. عندما تُرك النظام ليتحرك هبط الجسم الأكبر مسافة تلتمية واحد وسبعين سنتيمتر في ثانيتين. بعد ذلك أُضيف جسم كتلته مية وخمسة جرام إلى الجسم الأصغر. عندما ترك النظام أيضًا ليتحرك هبط الجسم المركّب مسافة ربعمية وأربعتاشر سنتيمتر في تلات ثواني. احسب مقدار كتلة كل جسم، علمًا بأن د بتساوي تسعة وتمنية من عشرة متر عَ الثانية تربيع.

لو عايزين نتخيل النظام في الحالة الأولى، فهيكون بالشكل ده. معطى إن ك واحد أكبر من ك اتنين. فهنفرض إن عندنا ك واحد وَ ك اتنين. وعندما تُرك النظام ليتحرك، هبط الجسم الأكبر مسافة تلتمية واحد وسبعين سنتيمتر في ثانيتين. يعني النظام هيتحرك في الاتِّجاه ده. والجسم اللي كتلته ك واحد هيهبط مسافة تلتمية واحد وسبعين سنتيمتر في ثانيتين.

وبالتالي لو عايزين نوجد علاقة بين ك واحد وَ ك اتنين من الحالة الأولى. عشان نقدر نوجد علاقة بين ك واحد وَ ك اتنين، فهنستخدم إن القوة بتساوي الكتلة مضروبة في العجلة. ويبقى القوة المؤثّرة على جسم بتساوي كتلة الجسم مضروبة في العجلة التي يتحرك بها الجسم.

في البداية هنوجد القوة المؤثرة عل الجسم اللي كتلته ك واحد. فهنلاحظ إن عندنا القوة الناتجة من وزن الجسم ك واحد، اللي هي هتكون ك واحد مضروبة في د. وهتكون في الاتِّجاه لأسفل. وهنجد أيضًا عندنا قوة أخرى، وهي قوة الشد في الخيط، وهتكون اتجاهها لأعلى، وهنرمز لها بالرمز ش. واتجاه الحركة هيكون هو الاتِّجاه الموجب.

وبالتالي بالنسبة للقوى المؤثرة على الجسم اللي كتلته ك واحد، هيكون عندنا أول قوة هي القوة الناتجة من وزن الجسم، اللي هي هتكون ك واحد مضروبة في د. وهتكون إشارتها موجبة؛ عشان هتكون في نفس اتجاه الحركة. تاني قوة هي القوة ش، وهتكون إشارتها سالبة؛ عشان هتكون عكس اتجاه الحركة.

ويبقى كده القوى المؤثرة على الجسم اللي كتلته ك واحد، بتساوي كتلة الجسم اللي هي ك واحد، مضروبة في العجلة اللي بيتحرك بيها الجسم. وهنرمز للعجلة بالرمز ج. يبقى كده قدرنا نوجد أول معادلة. بالنسبة للمعادلة التانية وهي القوة المؤثرة على الجسم اللي كتلته ك اتنين فهنلاحظ إن عندنا القوة الناتجة من وزن الجسم اللي كتلته ك اتنين، فهتكون لأسفل، وهتكون قيمتها ك اتنين مضروبة في د. وهنجد إن عندنا قوة الشد في الخيط وهتكون لأعلى وهنرمز لها بالرمز ش.

وبالتالي القوى المؤثرة على الجسم اللي كتلته ك اتنين. أول حاجة عندنا القوة الناتجة من وزن الجسم اللي كتلته ك اتنين، وهي ك اتنين مضروبة في د. بس إشارتها هتكون سالبة؛ عشان هتكون عكس اتجاه الحركة. وتاني قوة هي القوة ش، وهتكون إشارتها موجبة؛ عشان هتكون في نفس اتجاه الحركة. هيساوي كتلة الجسم اللي هي ك اتنين، مضروبة في العجلة اللي بيتحرك بيها الجسم وهي ج. ويبقى كده قدرنا نوجد تاني معادلة.

هنجمع المعادلتين المعادلة الأولى والمعادلة التانية، فهيكون عندنا … وبالتالي هيكون عندنا ك واحد مضروبة في د، ناقص ش، ناقص ك اتنين مضروبة في د، زائد ش، هيساوي ك واحد مضروبة في ج، زائد ك اتنين مضروبة في ج.

نقدر نختصر. سالب ش زائد ش هيساوي صفر، وبالتالي هيكون عندنا في الطرف الأيمن ك واحد د ناقص ك اتنين د بيساوي ك واحد ج زائد ك اتنين ج.

هنجمع على الطرفين ك اتنين د. فهيكون عندنا ك واحد د، بيساوي ك واحد ج، زائد ك اتنين ج، زائد ك اتنين د. هنطرح من الطرفين ك واحد ج، فهيكون عندنا ك واحد د ناقص ك واحد ج، بيساوي ك اتنين ج زائد ك اتنين د.

من الطرف الأيمن هناخد ك واحد عامل مشترك. فهيكون د ناقص ج هيساوي … من الطرف الأيسر هناخد ك اتنين عامل مشترك، فهيكون عندنا ج زائد د.

هنقسم الطرفين على د ناقص ج. فهيكون عندنا ك واحد بتساوي ك اتنين مضروبة في ج زائد د، مقسومة على د ناقص ج.

يبقى كده قدرنا نحصل على علاقة بين ك واحد وَ ك اتنين. وهنسمي المعادلة رقم تلاتة. يبقى كده قدرنا نستخدم الحالة الأولى عشان نقدر نوجد علاقة بين ك واحد وَ ك اتنين.

بالنسبة للحالة التانية، عندما نضيف جسم كتلته مية وخمسة جرام إلى الجسم الأصغر. فلو عايزين نمثّل النظام من خلال الرسم، فهيكون بالشكل ده. ومعطى عندما تُرك النظام ليتحرك هبط الجسم المركّب مسافة ربعمية وأربعتاشر سنتيمتر في تلات ثواني. وبالتالي اتجاه الحركة هيكون في الاتجاه ده. وهنفترض إن اتجاه الحركة هيكون هو الاتجاه الموجب.

وبالتالي عايزين نوجد القوى المؤثرة على الجسم اللي كتلته ك واحد، والقوى المؤثرة على الجسم المركب اللي كتلته ك اتنين زائد مية وخمسة. ويبقى القوى المؤثرة على الجسم بتساوي كتلة الجسم مضروبة في العجلة اللي هيتحرك بيها الجسم.

بالنسبة للجسم اللي كتلته ك واحد، هنجد إن عندنا القوة الناتجة من وزن الجسم، وهتكون ك واحد مضروبة في د، وهيكون اتجاهها لأسفل. وعندنا القوى الناتجة من الشد في الخيط فهتكون اتجاهها لأعلى، وهنرمز لها بالرمز ش شرطة.

وبالتالي القوى المؤثرة على الجسم اللي كتلته ك واحد هتكون، عندنا ج واحد مضروبة في د وإشارتها هتكون سالبة؛ عشان هتكون عكس اتجاه الحركة. وتاني قوة هي القوة ش شرطة، وهتكون إشارتها موجبة؛ عشان هتكون مع اتجاه الحركة. هيساوي كتلة الجسم اللي هي ك واحد، مضروبة في العجلة اللي بيتحرك بيها الجسم هنرمز لها بالرمز ج شرطة؛ عشان نميز العجلة اللي بيتحرك بها الجسم في الحالة الأولى، والعجلة اللي بيتحرك بيها الجسم في الحالة التانية. وبالتالي يكون عندنا أول معادلة.

وبالنسبة للقوة المؤثّرة على الجسم المركب اللي هو ك اتنين زائد مية وخمسة جرام. فهنجد إن عندنا القوة الناتجة من وزن الجسم المركب، اللي هتكون ك اتنين زائد مية وخمسة مضروبة في د، وهيكون اتجاهها لأسفل. وهنجد إن عندنا قوة الشد في الخيط، فهتكون اتجاهها لأعلى، وهنرمز لها بالرمز ش شرطة.

وبالتالي القوة المؤثرة على الجسم المركب. هيكون عندنا ك اتنين زائد مية وخمسة الكل مضروب في د، وهتكون إشارتها موجبة عشان هتكون مع اتجاه الحركة. وتاني قوة مؤثرة على الجسم المركب هي القوة ش شرطة، وهتكون إشارتها سالبة عشان هتكون عكس اتّجاه الحركة. هيساوي كتلة الجسم المركب اللي هي ك اتنين زائد مية وخمسة، مضروبة في العجلة ج شرطة. يبقى كده قدرنا نوصل لتاني معادلة.

هنجمع المعادلتين واحد واتنين، فهيكون عندنا … هيكون عندنا سالب ك واحد مضروبة في د، زائد ش شرطة، زائد، ك اتنين زائد مية وخمسة الكل مضروب في د، ناقص ش شرطة، هيساوي ك واحد مضروبة في ج شرطة زائد، ك اتنين زائد مية وخمسة الكل مضروب في ج شرطة.

هنختصر ش شرطة ناقص ش شرطة هيساوي صفر. فهيكون عندنا سالب ك واحد في د، زائد ك اتنين، زائد مية وخمسة الكل مضروب في د، بيساوي ك واحد في ج شرطة، زائد ك اتنين زائد مية وخمسة الكل مضروب في ج شرطة.

هنجمع ك واحد في د على الطرفين، فهيكون عندنا ك اتنين زائد مية وخمسة الكل مضروب في د، بيساوي ك واحد في ج شرطة، زائد ك اتنين زائد مية وخمسة الكل مضروب في ج شرطة، زائد ك واحد د.

هنطرح ك اتنين زائد مية وخمسة الكل مضروب في ج شرطة من الطرفين. فهيكون عندنا ك اتنين زائد مية وخمسة الكل مضروب في د، ناقص ك اتنين زائد مية وخمسة الكل مضروب في ج شرطة، بيساوي ك واحد ج شرطة، زائد ك واحد د.

من الطرف الأيمن هناخد ك اتنين زائد مية وخمسة عامل مشترك. فهيكون عندنا ك اتنين زائد مية وخمسة الكل مضروب في، د ناقص ج شرطة. بيساوي … مِ الطرف الأيسر هناخد ك واحد عامل مشترك. فهيكون عندنا ك واحد مضروبة في ج شرطة زائد د.

هنقسم الطرفين على ج شرطة زائد د. فهيكون عندنا ك واحد بتساوي ك اتنين زائد مية وخمسة الكل مضروب في، د ناقص ج شرطة مقسوم على ج شرطة زائد د.

وبالتالي نكون قدرنا نوجد العلاقة التانية بين الكتلتين ك واحد وَ ك اتنين.

والعلاقتين هم: أول علاقة إن ك واحد بتساوي ك اتنين مضروبة في، ج زائد د الكل مقسوم على د ناقص ج. وتاني علاقة إن ك واحد بتساوي ك اتنين زائد مية وخمسة الكل مضروب في، د ناقص ج شرطة مقسوم على ج شرطة زائد د.

هنلاحظ إن عندنا في العلاقتين ك واحد بتساوي … وبالتالي نقدر نقول إن ك اتنين مضروبة في، ج زائد د الكل مقسوم على د ناقص ج، بتساوي ك اتنين زائد مية وخمسة الكل مضروب في، د ناقص ج شرطة مقسوم على ج شرطة زائد د.

يعني الطرف الأيمن هيساوي … الطرف الأيسر هيكون عندنا ك اتنين مضروبة في، د ناقص ج شرطة مقسوم على ج شرطة زائد د، زائد مية وخمسة مضروبة في، د ناقص ج شرطة مقسوم على ج شرطة زائد د.

هنطرح من الطرفين ك اتنين مضروبة في، د ناقص ج شرطة مقسوم على ج شرطة زائد د. فهيكون عندنا الطرف الأيمن ك اتنين مضروبة في، ج زائد د مقسوم على د ناقص ج؛ ناقص ك اتنين مضروبة في، د ناقص ج شرطة مقسوم على ج شرطة زائد د. بيساوي الطرف الأيسر مية وخمسة مضروبة في، د ناقص ج شرطة مقسوم على ج شرطة زائد د.

هناخد ك اتنين عامل مشترك مِ الطرف الأيمن فهيكون عندنا ك اتنين مضروبة في، ج زائد د مقسومة على د ناقص ج؛ ناقص د ناقص ج شرطة مقسومة على ج شرطة زائد د. بيساوي مية وخمسة مضروبة في، د ناقص ج شرطة مقسوم على ج شرطة زائد د.

هنقسم الطرفين على ج زائد د مقسومة على د ناقص ج، ناقص د ناقص ج شرطة مقسومة على ج شرطة زائد د. فهيكون عندنا ك اتنين بيساوي … ك اتنين بتساوي مية وخمسة مضروبة في، د ناقص ج شرطة مقسوم على ج شرطة زائد د؛ الكل مقسوم على، ج زائد د مقسومة على د ناقص ج، ناقص د ناقص ج شرطة مقسوم على ج شرطة زائد د.

وعشان نقدر نوجد قيمة ك اتنين، محتاجين نوجد قيمة ج وَ ج شرطة.

عشان نقدر نوجد ج اللي هي العجلة اللي بيتحرك بيها النظام في الحالة الأولى. فمعطى إن عندما ترك النظام ليتحرك، هبط الجسم الأكبر مسافة تلتمية واحد وسبعين سنتيمتر في ثانيتين. أول حاجة بما إن النظام ترك ليتحرك يعني السرعة الابتدائية للنظام اللي هي ع صفر بتساوي صفر سنتيمتر ع الثانية. والجسم تحرك مسافة اللي هي هنرمز لها بالرمز ف تلتمية واحد وسبعين سنتيمتر. وتحرك المسافة في خلال ثانيتين، يعني هنعوّض عن ن باتنين ثانية.

وبالتالي عشان نقدر نوجد قيمة ج اللي هي العجلة اللي بيتحرك بيها النظام. فهنقول ف بتساوي ع صفر مضروبة في ن زائد نص ج ن تربيع. هنعوّض عن ف بتلتمية واحد وسبعين هيساوي هنعوّض عن ع صفر بصفر، مضروبة في … هنعوّض عن ن باتنين، زائد نص مضروبة في ج، مضروبة في اتنين تربيع.

يعني هيكون عندنا تلتمية واحد وسبعين، هيساوي صفر مضروبة في اتنين بتساوي صفر. فهيكون عندنا نص ج واتنين تربيع هتساوي أربعة. أربعة مضروبة في نص هتساوي اتنين. يبقى هنقسم الطرفين على اتنين عشان نقدر نوجد قيمة ج. فـ ج هتساوي تلتمية واحد وسبعين على اتنين. يعني ج هتساوي مية خمسة وتمانين وخمسة من عشرة سنتيمتر على الثانية تربيع. ويبقى كده قدرنا نوجد قيمة ج.

وعشان نقدر نوجد قيمة ج شرطة، فهنستخدم النظام في الحالة التانية، اللي هو بعد إضافة الجسم اللي كتلته مية وخمسة جرام إلى الجسم الأصغر. ومعطى عندما ترك النظام ليتحرك، هبط الجسم المركب مسافة ربعمية وأربعتاشر سنتيمتر في تلات ثواني. وبما إن الجسم تُرك ليتحرك يعني السرعة الابتدائية اللي هي ع صفر بتساوي صفر سنتيمتر على الثانية. والمسافة اللي اتحركها النظام هنرمز لها بالرمز ف، وهتساوي ربعمية وأربعتاشر سنتيمتر. والنظام تحركها في تلات ثواني؛ يعني ن بتساوي تلاتة.

وبالتالي عشان نقدر نوجد العجلة اللي بيتحرك بيها النظام في الحالة التانية، اللي هي بنرمز لها بالرمز ج شرطة. هنقول ف هتساوي ع صفر مضروبة في ن، زائد نص ج شرطة مضروبة في ن تربيع. هنعوّض عن ف … ربعمية وأربعتاشر هيساوي ع صفر بصفر، مضروبة في ن بتلاتة، زائد نص في ج شرطة في ن تربيع؛ يعني في تلاتة تربيع. يعني هيكون عندنا ربعمية وأربعتاشر هيساوي صفر مضروبة في تلاتة بتساوي صفر، يعني عندنا نُص مضروبة في ج شرطة، وتلاتة تربيع هتساوي تسعة.

هنضرب الطرفين في اتنين على تسعة، فهيكون عندنا … يعني ج شرطة هتساوي ربعمية وأربعتاشر في اتنين على تسعة. يعني ج شرطة هتساوي اتنين وتسعين سنتيمتر على الثانية تربيع. يبقى كده قدرنا نوجد ج شرطة اللي هي العجلة اللي بيتحرك بيها النظام في الحالة التانية.

وبالتالي عشان نقدر نوجد قيمة ك اتنين. معطى إن د بتساوي تسعة وتمنية من عشر متر ع الثانية تربيع. وبما إننا محتاجين وحدتها بالسنتيمتر ع الثانية تربيع. فهتساوي تسعمية وتمانين سنتيمتر على الثانية تربيع. يبقى ك اتنين هتساوي مية وخمسة مضروبة في، تسعمية وتمانين ناقص اتنين وتسعين، الكل مقسوم على اتنين وتسعين زائد تسعمية وتمانين. مقسوم على، مية خمسة وتمانين ونص زائد تسعمية وتمانين، مقسوم على تسعمية وتمانين ناقص مية خمسة وتمانين ونص؛ ناقص تسعمية وتمانين ناقص اتنين وتسعين، على اتنين وتسعين زائد تسعمية وتمانين.

يعني ك اتنين هتساوي مية ستة وتلاتين واتنين من عشرة جرام. يبقى كده قدرنا نوجد كتلة ك اتنين. وعشان نوجد كتلة ك واحد، فقدرنا نوجد إن العلاقة بين ك واحد وَ ك اتنين. ك واحد بتساوي ك اتنين مضروبة في ج زائد د مقسومة على د ناقص ج. يعني ك واحد هتساوي … هنعوّض عن ك اتنين بمية ستة وتلاتين واتنين من عشرة، مضروبة في … ج هنعوّض عنها بمية خمسة وتمانين وخمسة من عشرة، زائد … د اللي هي تسعمية وتمانين، مقسومة على تسعمية وتمانين ناقص مية خمسة وتمانين وخمسة من عشرة. يعني ك واحد هتساوي مية تسعة وتسعين وتمنية من عشرة جرام.

ويبقى كده نكون قدرنا نوجد ك واحد وَ ك اتنين. ك واحد بتساوي مية تسعة وتسعين وتمنية من عشرة جرام. وَ ك اتنين بتساوي مية ستة وتلاتين واتنين من عشرة جرام.