فيديو: إيجاد المشتقة الأولى لدالة أسية أساسها عدد صحيح

إذا كان ‪𝑦 = −3 × 2^𝑥‬‏، فأوجد ‪d𝑦/d𝑥‬‏.

٠٣:٣٤

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان 𝑦 يساوي سالب ثلاثة في اثنين مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥، فأوجد d𝑦 على d𝑥.

علينا إيجاد d𝑦 على d𝑥. وبما أن 𝑦 يساوي سالب ثلاثة في اثنين مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥، فهذا معناه اشتقاق سالب ثلاثة في اثنين مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥. ونظرًا لأن مشتقة أي عدد في دالة يساوي ذلك العدد في مشتقة الدالة، فكل ما علينا فعله هو اشتقاق اثنين مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥.

إذن، كيف نشتق دالة أسية أساسها اثنان، اثنان مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥؟ لعلنا نعلم العدد 𝑒، الذي له خاصية خاصة وهي أن مشتقة 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 تساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥. ومتى اشتققنا مقدارًا، حيث يظهر المتغير الذي نشتقه بالنسبة إليه، 𝑥 في حالتنا، في صورة قوة أسية، فإن هذه حقيقة علينا أن نستخدمها. هذا معناه أن نأخذ أي حد ذي قوة أسية نريد اشتقاقه ونعيد كتابته بحيث يكون أساسه 𝑒.

فكيف نفعل هذا باثنين مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥؟ حسنًا، يمكننا إعادة كتابة اثنين في صورة 𝑒 مرفوعًا لقوة اللوغاريتم الطبيعي لاثنين. ثم باستخدام أحد قوانين الأسس، نجد أن اثنين مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥 يساوي 𝑒 مرفوعًا لقوة اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في 𝑥. لقد جعلنا 𝑒 هو الأساس. فكيف سيساعدنا ذلك؟ حسنًا، يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة.

فإذا جعلنا 𝑧 يساوي اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في 𝑥، فعلينا إيجاد قيمة سالب ثلاثة في المشتقة بالنسبة إلى 𝑥 لـ 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑧. والآن بتطبيق قاعدة السلسلة حيث 𝑓 يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑧، نحصل على سالب ثلاثة في d على d𝑧 لـ 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑧 في d𝑧 على d𝑥.

دعونا نفسح بعض المساحة. لقد نقلت هنا آخر سطر. إذن، فما ناتج d على d𝑧 لـ 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑧؟ حسنًا، مثلما أن d على d𝑥 لـ 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥 يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥 أو d على d𝑞 لـ 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑞 يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑞، فإن d على d𝑧 لـ 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑧 يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑧. إذن، ماذا عن d𝑧 على d𝑥؟ حسنًا، 𝑧 هو اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في 𝑥. إذن، d𝑧 على d𝑥 يساوي اللوغاريتم الطبيعي لاثنين.

هل انتهينا؟ حسنًا، ليس تمامًا؛ إذ لدينا d𝑦 على d𝑥 بدلالة 𝑧 ونفضل أن يكون بدلالة 𝑥. إذن، يمكننا التعويض باللوغاريتم الطبيعي لاثنين في 𝑥 عن 𝑧. والآن، صار الحل مكتوبًا بدلالة 𝑥. لكن يمكننا فعل ما هو أفضل من ذلك.

أوضحنا من قبل أننا نستطيع إعادة كتابة اثنين مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥 بأساس 𝑒، حيث كان 𝑒 مرفوعًا لقوة اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في 𝑥. والآن، يمكننا فعل العكس؛ أي، إعادة كتابة 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في 𝑥 في صورة اثنين مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥. وهكذا، يكون الحل النهائي هو سالب ثلاثة في اثنين مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥 في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين.

بوجه عام، إن أردنا اشتقاق مقدار يتضمن اثنين مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥 أو ثلاثة مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥 أو حتى كما قد ترون في فيديوهات لاحقة 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥، فيجب أولًا كتابة هذه القوة الأسية بأساس 𝑒. وقد يتضمن هذا غالبًا استخدام دالة اللوغاريتم الطبيعي وبعض قوانين الأسس. وبعد كتابة كل الحدود ذات القوى الأسية بأساس 𝑒، يمكن الاشتقاق باستخدام قاعدة السلسلة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.