فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الأولى لدالة أسية أساسها عدد صحيح الرياضيات

إذا كان ﺹ = −٣ × ٢^ﺱ، فأوجد ﺩﺹ‏/‏ﺩﺱ.

٠٣:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺹ يساوي سالب ثلاثة في اثنين أس ﺱ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

علينا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. وبما أن ﺹ يساوي سالب ثلاثة في اثنين أس ﺱ، فهذا معناه اشتقاق سالب ثلاثة في اثنين أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ونظرًا لأن مشتقة أي عدد في دالة يساوي ذلك العدد في مشتقة الدالة، فكل ما علينا فعله هو اشتقاق اثنين أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

إذن، كيف نشتق دالة أسية أساسها اثنان، اثنان أس ﺱ؟ لعلنا نعلم العدد ﻫ، الذي له خاصية خاصة وهي أن مشتقة ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻫ أس ﺱ. ومتى اشتققنا مقدارًا، حيث يظهر المتغير الذي نشتقه بالنسبة إليه، ﺱ في حالتنا، في صورة أس، فإن هذه حقيقة علينا أن نستخدمها. هذا معناه أن نأخذ أي حد ذي أس نريد اشتقاقه ونعيد كتابته بحيث يكون أساسه ﻫ.

فكيف نفعل هذا باثنين أس ﺱ؟ حسنًا، يمكننا إعادة كتابة اثنين في صورة ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لاثنين. ثم باستخدام أحد قوانين الأسس، نجد أن اثنين أس ﺱ يساوي ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في ﺱ. لقد جعلنا ﻫ هو الأساس. فكيف سيساعدنا ذلك؟ حسنًا، يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة.

فإذا جعلنا ﻉ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في ﺱ، فعلينا إيجاد قيمة سالب ثلاثة في المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ ﻫ أس ﻉ. والآن بتطبيق قاعدة السلسلة حيث ﺩ يساوي ﻫ أس ﻉ، نحصل على سالب ثلاثة في ﺩ على ﺩﻉ لـ ﻫ أس ﻉ في ﺩﻉ على ﺩﺱ.

دعونا نفسح بعض المساحة. لقد نقلت هنا آخر سطر. إذن، فما ناتج ﺩ على ﺩﻉ لـ ﻫ أس ﻉ؟ حسنًا، مثلما أن ﺩ على ﺩﺱ لـ ﻫ أس ﺱ يساوي ﻫ أس ﺱ أو ﺩ على ﺩﻝ لـ ﻫ أس ﻝ يساوي ﻫ أس ﻝ، فإن ﺩ على ﺩﻉ لـ ﻫ أس ﻉ يساوي ﻫ أس ﻉ. إذن، ماذا عن ﺩﻉ على ﺩﺱ؟ حسنًا، ﻉ هو اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في ﺱ. إذن، ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لاثنين.

هل انتهينا؟ حسنًا، ليس تمامًا؛ إذ لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ بدلالة ﻉ ونفضل أن يكون بدلالة ﺱ. إذن، يمكننا التعويض باللوغاريتم الطبيعي لاثنين في ﺱ عن ﻉ. والآن، صار الحل مكتوبًا بدلالة ﺱ. لكن يمكننا فعل ما هو أفضل من ذلك.

أوضحنا من قبل أننا نستطيع إعادة كتابة اثنين أس ﺱ بالأساس ﻫ، حيث كان ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في ﺱ. والآن، يمكننا فعل العكس؛ أي، إعادة كتابة ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في ﺱ في صورة اثنين أس ﺱ. وهكذا، يكون الحل النهائي هو سالب ثلاثة في اثنين أس ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين.

بوجه عام، إن أردنا اشتقاق مقدار يتضمن اثنين أس ﺱ أو ثلاثة أس ﺱ أو حتى كما قد ترون في فيديوهات لاحقة ﺱ أس ﺱ، فيجب أولًا كتابة هذه القوة بالأساس ﻫ. وقد يتضمن هذا غالبًا استخدام دالة اللوغاريتم الطبيعي وبعض قوانين الأسس. وبعد كتابة كل الحدود الأسية بالأساس ﻫ، يمكن الاشتقاق باستخدام قاعدة السلسلة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.