فيديو: إيجاد المشتقة الأولى لدالة أسية أساسها عدد صحيح

إذا كان ‪𝑦 = −3 × 2^𝑥‬‏، فأوجد ‪d𝑦/d𝑥‬‏.

٠٣:٣٤

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ‪𝑦‬‏ يساوي سالب ثلاثة في اثنين أس ‪𝑥‬‏، فأوجد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

علينا إيجاد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وبما أن ‪𝑦‬‏ يساوي سالب ثلاثة في اثنين أس ‪𝑥‬‏، فهذا معناه اشتقاق سالب ثلاثة في اثنين أس ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. ونظرًا لأن مشتقة أي عدد في دالة يساوي ذلك العدد في مشتقة الدالة، فكل ما علينا فعله هو اشتقاق اثنين أس ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏.

إذن، كيف نشتق دالة أسية أساسها اثنان، اثنان أس ‪𝑥‬‏؟ لعلنا نعلم العدد ‪𝑒‬‏، الذي له خاصية خاصة وهي أن مشتقة ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏. ومتى اشتققنا مقدارًا، حيث يظهر المتغير الذي نشتقه بالنسبة إليه، ‪𝑥‬‏ في حالتنا، في صورة أس، فإن هذه حقيقة علينا أن نستخدمها. هذا معناه أن نأخذ أي حد ذي أس نريد اشتقاقه ونعيد كتابته بحيث يكون أساسه ‪𝑒‬‏.

فكيف نفعل هذا باثنين أس ‪𝑥‬‏؟ حسنًا، يمكننا إعادة كتابة اثنين في صورة ‪𝑒‬‏ أس اللوغاريتم الطبيعي لاثنين. ثم باستخدام أحد قوانين الأسس، نجد أن اثنين أس ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑒‬‏ أس اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في ‪𝑥‬‏. لقد جعلنا ‪𝑒‬‏ هو الأساس. فكيف سيساعدنا ذلك؟ حسنًا، يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة.

فإذا جعلنا ‪𝑧‬‏ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في ‪𝑥‬‏، فعلينا إيجاد قيمة سالب ثلاثة في المشتقة بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ لـ ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑧‬‏. والآن بتطبيق قاعدة السلسلة حيث ‪𝑓‬‏ يساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑧‬‏، نحصل على سالب ثلاثة في ‪d‬‏ على ‪d𝑧‬‏ لـ ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑧‬‏ في ‪d𝑧‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

دعونا نفسح بعض المساحة. لقد نقلت هنا آخر سطر. إذن، فما ناتج ‪d‬‏ على ‪d𝑧‬‏ لـ ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑧‬‏؟ حسنًا، مثلما أن ‪d‬‏ على ‪d𝑥‬‏ لـ ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ أو ‪d‬‏ على ‪d𝑞‬‏ لـ ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑞‬‏ يساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑞‬‏، فإن ‪d‬‏ على ‪d𝑧‬‏ لـ ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑧‬‏ يساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑧‬‏. إذن، ماذا عن ‪d𝑧‬‏ على ‪d𝑥‬‏؟ حسنًا، ‪𝑧‬‏ هو اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في ‪𝑥‬‏. إذن، ‪d𝑧‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لاثنين.

هل انتهينا؟ حسنًا، ليس تمامًا؛ إذ لدينا ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ بدلالة ‪𝑧‬‏ ونفضل أن يكون بدلالة ‪𝑥‬‏. إذن، يمكننا التعويض باللوغاريتم الطبيعي لاثنين في ‪𝑥‬‏ عن ‪𝑧‬‏. والآن، صار الحل مكتوبًا بدلالة ‪𝑥‬‏. لكن يمكننا فعل ما هو أفضل من ذلك.

أوضحنا من قبل أننا نستطيع إعادة كتابة اثنين أس ‪𝑥‬‏ بالأساس ‪𝑒‬‏، حيث كان ‪𝑒‬‏ أس اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في ‪𝑥‬‏. والآن، يمكننا فعل العكس؛ أي، إعادة كتابة ‪𝑒‬‏ أس اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في ‪𝑥‬‏ في صورة اثنين أس ‪𝑥‬‏. وهكذا، يكون الحل النهائي هو سالب ثلاثة في اثنين أس ‪𝑥‬‏ في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين.

بوجه عام، إن أردنا اشتقاق مقدار يتضمن اثنين أس ‪𝑥‬‏ أو ثلاثة أس ‪𝑥‬‏ أو حتى كما قد ترون في فيديوهات لاحقة ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑥‬‏، فيجب أولًا كتابة هذه القوة بالأساس ‪𝑒‬‏. وقد يتضمن هذا غالبًا استخدام دالة اللوغاريتم الطبيعي وبعض قوانين الأسس. وبعد كتابة كل الحدود الأسية بالأساس ‪𝑒‬‏، يمكن الاشتقاق باستخدام قاعدة السلسلة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.