نسخة الفيديو النصية
تحتوي حقيبة على ثلاث كرات حمراء، وكرتين صفراوين، وست كرات زرقاء. سحبت كرة عشوائيًّا من الحقيبة وسجل لونها. سحبت الكرة الثانية من الحقيبة وسجل لونها دون إحلال الكرة الأولى. هذا السؤال مكون من ثلاثة أجزاء. إذا كانت الكرة الأولى التي سحبت حمراء، فما احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء أيضًا؟ ما احتمال أن تكون الكرة الثانية المسحوبة حمراء، بغض النظر عن لون الكرة الأولى التي سحبت؟ ما احتمال أن تسحب كرة حمراء واحدة على الأقل؟
تتضمن هذه الأسئلة الاحتمال الشرطي. ولعلنا نتذكر أن الاحتمال الشرطي للحدث ﺃ هو احتمال وقوع الحدث ﺃ بشرط وقوع الحدث ﺏ، ويمكننا كتابة هذا كما هو موضح. هناك طرق كثيرة لحل هذا النوع من المسائل، لكننا في هذا السؤال سنستخدم مخططات الشجرة البيانية.
نحن نعلم من المعطيات أن لدينا ثلاث كرات حمراء وكرتين صفراوين وست كرات زرقاء في حقيبة. سحبت كرة عشوائيًّا من الحقيبة وسجل لونها. هذه الكرة يمكن أن تكون حمراء أو صفراء أو زرقاء. وبما أن لدينا ثلاث كرات حمراء، وإجمالي عدد الكرات ١١، فإن احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء هو ثلاثة من ١١ أو ثلاثة على ١١. وبالمثل، احتمال أن تكون الكرة الأولى صفراء هو اثنان على ١١، واحتمال أن تكون الكرة الأولى زرقاء هو ستة على ١١.
سحبت الكرة الثانية من الحقيبة دون إحلال هذه الكرة. ومرة أخرى، يمكن أن تكون الكرة الثانية بأي لون من الألوان الثلاثة. إذا نظرنا إلى الجزء العلوي من مخطط الشجرة البيانية لدينا، فسنعلم أن أول كرة سحبت كانت حمراء. ومن ثم، تتبقى لدينا كرتان حمراوان من إجمالي ١٠ كرات. لذا، فإن احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء أيضًا هو اثنان من ١٠ أو عشران.
لا تزال هناك كرتان صفراوان في الحقيبة. لذا، فإن احتمال أن تكون الكرة الثانية صفراء هو عشران. لا تزال لدينا أيضًا ست كرات زرقاء في الحقيبة. ومن ثم، احتمال أن تكون الكرة الثانية زرقاء هو ستة أعشار. نلاحظ أنه يمكننا تبسيط كل هذه الكسور الثلاثة، لكننا سنتركها كما هي الآن.
حسنًا، دعونا نتناول الآن ما سيحدث إذا كانت الكرة الأولى المسحوبة صفراء. ستظل هناك ثلاث كرات حمراء في الحقيبة. لذا، احتمال أن تكون الكرة الثانية المسحوبة حمراء هو ثلاثة أعشار. وبما أننا قد سحبنا كرة صفراء، فتتبقى لدينا كرة صفراء واحدة، وهذا يعني أن احتمال أن تكون الكرة الثانية صفراء هو عشر. مرة أخرى، احتمال أن تكون الكرة الثانية زرقاء هو ستة أعشار.
وأخيرًا، دعونا نلق نظرة على ما سيحدث إذا كانت الكرة الأولى المسحوبة زرقاء. ستظل هناك ثلاث كرات حمراء في الحقيبة. ومن ثم، احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء هو ثلاثة أعشار. لا تزال الكرتان الصفراوان أيضًا في الحقيبة؛ لذا احتمال أن تكون الكرة الثانية صفراء هو عشران. وبما أننا سحبنا كرة زرقاء واحدة، فإن احتمال أن تكون الكرة الثانية زرقاء بشرط أن تكون الكرة الأولى زرقاء هو خمسة أعشار.
في هذه المرحلة، تجدر بنا الإشارة إلى أن مجموع قيم الاحتمالات لكل مجموعة من الفروع يجب أن يساوي واحدًا. على سبيل المثال، ثلاثة على ١١ زائد اثنين على ١١ زائد ستة على ١١ يساوي ١١ على ١١، وهذا يساوي واحدًا.
قبل العودة مرة أخرى إلى أجزاء هذا السؤال، تجدر بنا الإشارة أيضًا إلى وجود تسع توليفات ممكنة يتكون كل منها من كرتين. يمكننا سحب كرتين حمراوين، أو كرة حمراء ثم أخرى صفراء، أو كرة حمراء ثم أخرى زرقاء، كما يمكننا أيضًا سحب كرة صفراء ثم أخرى حمراء، أو كرتين صفراوين، أو كرة صفراء ثم أخرى زرقاء، ويمكننا في النهاية سحب كرة زرقاء ثم أخرى حمراء، أو كرة زرقاء ثم أخرى صفراء، أو كرتين زرقاوين.
ولحساب احتمال كل من هذه التوليفات التسع، علينا ضرب قيم الفروع. على سبيل المثال، لحساب احتمال سحب كرتين حمراوين، نضرب ثلاثة على ١١ في عشرين. بضرب البسطين وضرب المقامين، نجد أن هذا الاحتمال يساوي ستة على ١١٠. مرة أخرى، يمكننا تبسيط هذا الكسر لكننا سنتركه كما هو الآن.
وبتكرار هذه العملية لحساب احتمال سحب كرة حمراء ثم أخرى صفراء، وسحب كرة حمراء ثم أخرى زرقاء، نحصل على ستة على ١١٠، و١٨ على ١١٠. أما احتمالات التوليفات الست الأخرى، فيمكن حسابها كما هو موضح. مرة أخرى، تجدر الإشارة إلى أن مجموع هذه الاحتمالات التسعة يجب أن يساوي واحدًا. وإذا أردنا في أي سؤال إيجاد أكثر من احتمال من هذه الاحتمالات، فإننا ببساطة نجمع النواتج التي نريدها.
والآن، دعونا نرجع مرة أخرى إلى أجزاء هذا السؤال. وسنبدأ بالجزء الأول من السؤال. إذا كانت الكرة الأولى التي سحبت حمراء، فما احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء أيضًا؟ هذا الجزء من السؤال هو مثال على الاحتمال الشرطي. فنحن نريد حساب احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء بشرط أن تكون الكرة الأولى حمراء. ويمكننا قراءة ذلك مباشرة من مخطط الشجرة البيانية. إذا كانت الكرة الأولى حمراء، فإن احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء أيضًا هو عشران.
وبما أن هذه هي الإجابة النهائية، فعلينا تبسيطها. يمكننا قسمة كل من البسط والمقام على اثنين لنحصل على خمس. إذن، إجابة الجزء الأول من السؤال هي خمس.
حسنًا، دعونا ننتقل إلى الجزء الثاني من السؤال. ما احتمال أن تكون الكرة الثانية المسحوبة حمراء، بغض النظر عن لون الكرة الأولى التي سحبت؟ في هذا الجزء من السؤال، نريد أن تكون الكرة الثانية حمراء، لكننا لا نهتم بلون الكرة الأولى. ويمكن أن يحدث هذا بإحدى الطرق الثلاث الآتية. يمكننا أن نسحب كرة حمراء ثم أخرى حمراء، أو كرة صفراء ثم أخرى حمراء، أو كرة زرقاء ثم أخرى حمراء. ومن ثم، علينا إيجاد مجموع هذه الاحتمالات الثلاثة. لذا، سنجمع ستة على ١١٠، وستة على ١١٠، و١٨ على ١١٠. وبما أن المقامات متساوية، فإننا نجمع حدود البسط، وهذا يعطينا ٣٠ على ١١٠.
هذه المرة، يمكننا تبسيط الكسر لدينا بقسمة كل من البسط والمقام على ١٠ ؛ لنحصل على ثلاثة من ١١ أو ثلاثة على ١١. إذن، احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء، بغض النظر عن لون الكرة الأولى هو ثلاثة على ١١.
دعونا نتناول الآن الجزء الأخير من السؤال. ما احتمال أن تسحب كرة حمراء واحدة على الأقل؟ هناك خمس طرق مختلفة لحدوث ذلك. يمكننا سحب كرتين حمراوين، أو كرة حمراء ثم أخرى صفراء، أو كرة حمراء ثم أخرى زرقاء، أو كرة صفراء ثم أخرى حمراء، أو كرة زرقاء ثم أخرى حمراء. وكما فعلنا في الجزء الثاني من السؤال، علينا إيجاد مجموع هذه الاحتمالات.
لدينا ستة وستة و١٨ وستة و١٨ على ١١٠، على الترتيب. هذه المرة، مجموع حدود البسط يساوي ٥٤. إذن، هذا الاحتمال يساوي ٥٤ على ١١٠. وبما أن كلًّا من البسط والمقام يقبل القسمة على اثنين، فيمكننا تبسيط ذلك إلى ٢٧ على ٥٥. ومن ثم، احتمال أن تسحب كرة حمراء واحدة على الأقل هو ٢٧ على ٥٥.
بذلك، أصبحت لدينا الآن إجابات الأجزاء الثلاثة من السؤال. وهي خمس، وثلاثة على ١١، و٢٧ على ٥٥.
