فيديو السؤال: خصائص المتوسطات في المثلث الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

القطعة المستقيمة ﺃد هي متوسط في المثلث ﺃﺏﺟ؛ حيث ﺃ يساوي ثمانية، سالب سبعة ود يساوي اثنين، سالب واحد. أوجد نقطة تقاطع متوسطات المثلث ﺃﺏﺟ.

لنقل إن هذا هو المثلث الذي زواياه هي ﺃ وﺏ وﺟ. ولدينا معلومة عن القطعة المستقيمة ﺃد، وهي أنها متوسط في هذا المثلث. ومن ذلك، نعرف أن النقطة د تقع في المنتصف بين النقطتين ﺏ وﺟ؛ ومن ثم، فإن القطعة المستقيمة ﺃد تبدو بهذا الشكل. معطى لنا إحداثيات النقطتين ﺃ ود، ونريد إيجاد نقطة تقاطع المتوسطات في هذا المثلث. سيبدو المتوسطان الآخران بهذا الشكل تقريبًا. ولذا، فإن نقطة تقاطع المتوسطات الثلاثة كلها هنا.

لأي مثلث، نقطة تقاطع هذه المتوسطات تبعد عن الرءوس مسافة تساوي ثلثي طول أي متوسط. هذا يعني أنه للمتوسط الذي يعنينا، أي القطعة المستقيمة ﺃد، إذا قسمنا طول هذه القطعة المستقيمة إلى ثلاثة أجزاء متساوية، فسيمتد جزءان من هذه الأجزاء من النقطة ﺃ إلى نقطة التقاطع، وسيمتد الجزء المتبقي من نقطة التقاطع إلى النقطة د. يمكننا القول إذن إن نقطة تقاطع المتوسطات تبعد عن أحد الرءوس مسافة تساوي ثلثي طول القطعة المستقيمة ﺃد.

ما نريده هو إيجاد إحداثيات هذه النقطة تحديدًا. سنسميها النقطة ﻝ. لكي نبدأ في فعل ذلك، علينا تذكر أنه إذا كان لدينا قطعة مستقيمة تمتد بين نقطتين إحداثياتهما معلومة، ونريد إيجاد إحداثيات النقطة التي تقسم هذه القطعة المستقيمة بنسبة معلومة، فإن إحداثيات النقطة ﻝ تعطى بواسطة هذا التعبير. إننا نستخدم هنا النسبة التي تقسم الخط المستقيم، وهي ﻡ وﻥ، وكذلك قيمتي الإحداثي ﺱ للنقطتين الثانية والأولى، وقيمتي الإحداثي ﺹ لهاتين النقطتين بالترتيب نفسه.

إذا طبقنا هذه العلاقة على الحالة لدينا لإيجاد إحداثيات نقطة تقاطع هذه المتوسطات، يمكننا إذن القول إن ﻡ وﻥ، أي النسبة التي تقسم الخط المستقيم، هما اثنان وواحد. وإحداثيات النقطة ﺃ هي ﺱ واحد وﺹ واحد، بينما إحداثيات النقطة د هي ﺱ اثنان وﺹ اثنان. بالتعويض بحرص بكل هذه القيم، نحصل على هذا التعبير الدال على إحداثيات النقطة ﻝ. وبتبسيط هذين الكسرين، يصبح لدينا ١٢ على ثلاثة، وسالب تسعة على ثلاثة. ويبسط ذلك أكثر إلى أربعة وسالب ثلاثة. إذن، هذه هي إحداثيات نقطة تقاطع متوسطات المثلث ﺃﺏﺟ.