فيديو السؤال: إيجاد متتابعة حسابية بشرط معين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد المتتابعة الحسابية التي فيها ﺡ اثنان زائد ﺡ أربعة يساوي سالب ٢٨، وﺡ ثلاثة في ﺡ خمسة يساوي ١٤٠.

دعونا نفكر في طبيعة هذا النوع من المتتابعات. إذا افترضنا أن ﺡ واحد هو الحد الأول في المتتابعة، وﺡ اثنين هو الحد الثاني، وهكذا، فإنه للانتقال من الحد الأول إلى الحد الثاني، لدينا فرق يسمى ﺩ. ولذلك، نقول إنه في أي متتابعة حسابية يوجد فرق مشترك ﺩ بين حدودها. وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد الحد رقم ﻥ بجمع الحد الأول، ﺡ واحد، وﻥ ناقص واحد في ﺩ. ويمكننا التفكير في الأمر بهذه الطريقة. ‏ﺡ أربعة يساوي ﺡ واحد زائد ثلاثة ﺩ.

الآن وقد عرفنا ذلك، يمكننا التفكير في المعلومات المعطاة لنا. لقد علمنا أن ﺡ اثنين زائد ﺡ أربعة يساوي سالب ٢٨. هذا يعني أن الحد الثاني زائد الحد الرابع يساوي سالب ٢٨. كما علمنا أن ﺡ ثلاثة في ﺡ خمسة يساوي ١٤٠. هذا يعني أن الحد الثالث في الحد الخامس يساوي ١٤٠. أول ما يمكننا فعله هو كتابة جميع الحدود بدلالة ﺡ واحد وﺩ. إليكم ما أعنيه بهذا. يمكننا إعادة كتابة الحد ﺡ اثنين ليصبح على الصورة ﺡ واحد زائد الفرق المشترك ﺩ. وهذا يعني أن الحد ﺡ ثلاثة يساوي الحد الأول زائد اثنين في الفرق المشترك. والحد الرابع يساوي الحد الأول زائد ثلاثة في الفرق المشترك. والحد الخامس يساوي الحد الأول زائد أربعة في الفرق المشترك.

بالنظر إلى المعادلة الأولى، نجد أن علينا التعويض بهاتين العلاقتين عن الحدين الثاني والرابع. بدلًا من الحد الثاني ﺡ اثنين، سيصبح لدينا ﺡ واحد زائد ﺩ. وبدلًا من الحد الرابع، سيصبح لدينا ﺡ واحد زائد ثلاثة ﺩ، الكل يساوي سالب ٢٨. يمكننا تجميع الحدود المتشابهة. لدينا ﺡ واحد زائد ﺡ واحد، وهذا يساوي اثنين ﺡ واحد. ثم نجمع ﺩ زائد ثلاثة ﺩ، ليصبح لدينا أربعة ﺩ. يمكننا الآن قول إن اثنين ﺡ واحد زائد أربعة ﺩ يساوي سالب ٢٨. نلاحظ هنا أن لدينا ثلاثة حدود زوجية. إذن، يمكننا قسمة المعادلة كلها على اثنين، لنحصل على ﺡ واحد زائد اثنين ﺩ يساوي سالب ١٤.

في هذه المرحلة، لا يوجد شيء آخر يمكننا فعله. لذلك، سننتقل إلى المعادلة الثانية. ونعوض بـ ﺡ واحد زائد اثنين ﺩ عن ﺡ ثلاثة. ثم نعوض بـ ﺡ واحد زائد أربعة ﺩ عن الحد الخامس. وبينما نفعل ذلك، علينا أن نلاحظ هذا الحد، ﺡ واحد زائد اثنين ﺩ. لقد وجدنا بالفعل قيمة ﺡ واحد زائد اثنين ﺩ، وهي سالب ١٤. إذن، يمكننا التعويض بسالب ١٤ عن ﺡ واحد زائد اثنين ﺩ. وإذا دققنا النظر، فسنجد أن سبب ذلك هو أن ﺡ واحد زائد اثنين ﺩ يساوي الحد الثالث في المتتابعة. ومن ثم، يمكننا التعويض بهذه القيمة عن الحد الثالث في المتتابعة.

حسنًا، ماذا علينا أن نفعل الآن؟ يمكننا العودة إلى المعادلة الأولى، ﺡ واحد زائد اثنين ﺩ يساوي سالب ١٤، ونطرح اثنين ﺩ من كلا الطرفين، ما يعني أن ﺡ واحد يساوي سالب ١٤ ناقص اثنين ﺩ. يمكننا هنا التعويض بسالب ١٤ ناقص اثنين ﺩ عن ﺡ واحد. وبعد ذلك، نجمع الحدود المتشابهة. سالب اثنين ﺩ زائد أربعة ﺩ يساوي اثنين ﺩ. إذن، يصبح لدينا سالب ١٤ مضروبًا في سالب ١٤ زائد اثنين ﺩ يساوي ١٤٠. بعد ذلك، نقسم طرفي المعادلة على سالب ١٤. ونجد أن سالب ١٤ زائد اثنين ﺩ يساوي سالب ١٠. إذن، نضيف ١٤ إلى كلا الطرفين. ونجد أن اثنين ﺩ يساوي أربعة. ثم نقسم كلا الطرفين على اثنين. وعليه، نجد أن ﺩ، وهو الفرق المشترك، يساوي اثنين.

دعونا نعد إلى ﺡ ثلاثة في ﺡ خمسة، وهذا يساوي ١٤٠. بمجرد معرفتنا أن الحد الثالث يساوي سالب ١٤، يمكننا إيجاد الحد الخامس بسرعة وبسهولة بقسمة طرفي هذه المعادلة على سالب ١٤. إذن، ﺡ خمسة يساوي سالب ١٠. والآن بعد أن عرفنا أن الحد الخامس يساوي سالب ١٠، سنعوض بذلك. لإيجاد ما تبقى من الحدود، يمكننا استخدام الفرق المشترك. نحن نعلم أننا نضيف اثنين للانتقال من حد إلى الحد الذي يليه. إذن، الحد الرابع يساوي سالب ١٤ زائد اثنين، أي سالب ١٢. لكن لإيجاد الحد الثاني، علينا العمل بشكل عكسي. علينا أن نسأل أنفسنا: ما العدد الذي عند إضافته إلى اثنين نحصل على سالب ١٤ ؟ هناك طريقة أخرى لقول ذلك، وهي سالب ١٤ ناقص اثنين، وهو ما يساوي سالب ١٦. وبالنسبة إلى الحد الأول، دعونا نفكر في العدد الذي يمكن إضافته إلى اثنين لنحصل على سالب ١٦، أو نسأل أنفسنا كم يساوي سالب ١٦ ناقص اثنين؟ هذا يساوي سالب ١٨.

حسنًا، لقد أوجدنا أول خمسة حدود في هذه المتتابعة. لكن في هذه المرحلة من المفيد أن نتأكد من صحة العبارتين اللتين بدأنا الحل بهما. علمنا من السؤال أن مجموع الحدين الثاني والرابع معًا يجب أن يساوي سالب ٢٨. الحد الثاني هو سالب ١٦. والحد الرابع هو سالب ١٢. سالب ١٦ زائد سالب ١٢ يساوي سالب ٢٨ بالفعل. وعلمنا من السؤال أيضًا أن الحد الثالث في الحد الخامس يساوي ١٤٠. سالب ١٤ في سالب ١٠ يساوي ١٤٠ بالفعل.

إذن، سنكتب المتتابعة داخل القوس بهذه الصورة، حيث نكتب الحد الأول والحد الثاني والحد الثالث: سالب ١٨، سالب ١٦، سالب ١٤، إلى آخره.