نسخة الفيديو النصية
أوجد مشتقة الدالة ﺹ تساوي الجذر التربيعي لثلاثة ﺱ في ﻫ أس سالب أربعة ﺱ زائد أربعة.
لدينا الدالة ﺹ، وهي تركيب من عدة دوال. وعلينا إيجاد مشتقة ﺹ. وبما أن ﺹ هي دالة في ﺱ، علينا إيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. لبدء حل هذا السؤال، علينا النظر إلى نوع الدالة ﺹ. نلاحظ داخل علامة الجذر التربيعي أن لدينا حاصل ضرب دالتين هو ثلاثة ﺱ مضروبًا في ﻫ أس سالب أربعة ﺱ، مضافًا إليه أربعة. إذن، نحن نحسب الجذر التربيعي لحاصل ضرب دالتين. وهذا يعني أنه علينا استخدام قاعدة الضرب وقاعدة السلسلة.
لكن، يمكننا أيضًا استخدام قوانين الأسس لإعادة كتابة ﺹ على الصورة ثلاثة ﺱ في ﻫ أس سالب أربعة ﺱ زائد أربعة الكل أس نصف. إذن، يمكننا الآن اشتقاق ذلك باستخدام كل من قاعدة الضرب وقاعدة القوة العامة. يمكننا استخدام أي من هاتين الطريقتين. وفي هذا الفيديو، سوف نستخدم قاعدة القوة العامة.
في البداية، دعونا نجعل ﺩﺱ تساوي ثلاثة ﺱ في ﻫ أس سالب أربعة ﺱ زائد أربعة. هذه هي الدالة بأكملها داخل علامة الجذر التربيعي في الدالة ﺹ. إذن، باستخدام هذا التعريف للدالة ﺩﺱ، نكون قد أعدنا كتابة ﺹ على صورة الجذر التربيعي لـ ﺩﺱ، أو على صورة ﺩﺱ الكل أس نصف باستخدام قوانين الأسس. نحن نعلم أن الدالة ﺩﺱ قابلة للاشتقاق. وهذا لأنها عبارة عن حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق. إذن، لإيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، سنستخدم قاعدة القوة العامة.
حسنًا، دعونا نتذكر ما تنص عليه قاعدة القوة العامة. تنص قاعدة القوة العامة على أنه بالنسبة لأي دالة قابلة للاشتقاق ﺩﺱ وثابت حقيقي ﻥ، فإن مشتقة ﺩﺱ الكل أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻥ في ﺩ شرطة ﺱ مضروبًا في ﺩﺱ الكل أس ﻥ ناقص واحد.
في هذه المسألة، لدينا الدالة ﺩﺱ، التي نعرف أنها قابلة للاشتقاق. وقيمة الأس ﻥ تساوي نصفًا. وعليه، يمكننا تطبيق قاعدة القوة العامة لإيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. من ثم، نحصل على ﺹ شرطة تساوي نصفًا في ﺩ شرطة ﺱ مضروبًا في ثلاثة ﺱ في ﻫ أس سالب أربعة ﺱ زائد أربعة الكل أس نصف ناقص واحد. ويمكننا تبسيط ذلك قليلًا. في الأس، لدينا نصف ناقص واحد يساوي سالب نصف.
لكننا لم ننته بعد. لإيجاد مقدار يعبر عن ﺹ شرطة، علينا إيجاد مقدار يعبر عن ﺩ شرطة ﺱ. وإذا نظرنا إلى تعريف الدالة ﺩﺱ، فسنجد أن علينا استخدام قاعدة الضرب لإيجاد ذلك. لذا، دعونا نتذكر الآن قاعدة الضرب.
تنص قاعدة الضرب على أنه إذا كانت الدالة ﺩﺱ هي حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق ﻉﺱ في ﻕﺱ، فإن ﺩ شرطة ﺱ تساوي ﻉ شرطة ﺱ في ﻕﺱ زائد ﻕ شرطة ﺱ في ﻉﺱ. يمكننا استخدام هذه القاعدة لإيجاد مقدار يعبر عن ﺩ شرطة ﺱ. وهي مشتقة ثلاثة ﺱ في ﻫ أس سالب أربعة ﺱ زائد أربعة بالنسبة إلى ﺱ.
أولًا: سنوجد قيمة هذه المشتقة حدًّا حدًّا. وهي مشتقة ثلاثة ﺱ في ﻫ أس سالب أربعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ زائد مشتقة أربعة بالنسبة إلى ﺱ. أربعة هو ثابت، لذا فإن مشتقته بالنسبة إلى ﺱ تساوي صفرًا. ومن ثم، لإيجاد مقدار يعبر عن ﺩ شرطة ﺱ، علينا فقط اشتقاق ثلاثة ﺱ في ﻫ أس سالب أربعة ﺱ. لذا، سنجعل الدالة ﻉﺱ تساوي ثلاثة ﺱ، والدالة ﻕﺱ تساوي ﻫ أس سالب أربعة ﺱ.
لتطبيق قاعدة الضرب، علينا إيجاد مقدارين يعبران عن ﻉ شرطة ﺱ وﻕ شرطة ﺱ. دعونا نبدأ بـ ﻉ شرطة ﺱ. وهي مشتقة ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ثلاثة ﺱ هي دالة خطية، ومن ثم فإن مشتقتها بالنسبة إلى ﺱ هي معامل ﺱ، وهو ثلاثة.
دعونا نوجد الآن مقدارًا يعبر عن ﻕ شرطة ﺱ. وهي مشتقة ﻫ أس سالب أربعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. لفعل ذلك، علينا تذكر إحدى القواعد القياسية لاشتقاق الدوال الأسية. وتنص هذه القاعدة على أنه لأي ثابت حقيقي ﺃ، فإن مشتقة ﻫ أس ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃ في ﻫ أس ﺃﺱ.
في هذه المسألة، قيمة ﺃ تساوي سالب أربعة. ومن ثم، فإن ﻕ شرطة ﺱ تساوي سالب أربعة في ﻫ أس سالب أربعة ﺱ. نحن الآن جاهزون لاستخدام قاعدة الضرب لإيجاد مقدار يعبر عن ﺩ شرطة ﺱ. في الحقيقة، كان بإمكاننا تغيير قاعدة الضرب قليلًا لإيجاد قيمة ذلك من السطر الأول لهذا المقدار. تخبرنا قاعدة الضرب أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي ﻉ شرطة ﺱ في ﻕﺱ زائد ﻕ شرطة ﺱ في ﻉﺱ.
بالتعويض بالمقادير التي تعبر عن ﻉﺱ وﻕﺱ وﻉ شرطة ﺱ وﻕ شرطة ﺱ، نجد أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي ثلاثة في ﻫ أس سالب أربعة ﺱ زائد سالب أربعة ﻫ أس سالب أربعة ﺱ مضروبًا في ثلاثة ﺱ. سنبسط هذا المقدار بأخذ العامل المشترك ثلاثة في ﻫ أس سالب أربعة ﺱ. وهذا يعطينا ثلاثة ﻫ أس سالب أربعة ﺱ مضروبًا في واحد ناقص أربعة ﺱ.
لكن تذكر أن المطلوب في السؤال هو إيجاد مقدار لمشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. لذا، علينا التعويض بمقدار ﺩ شرطة ﺱ في المقدار الذي يعبر عن ﺹ شرطة. بالتعويض بمقدار ﺩ شرطة ﺱ، نحصل على ﺹ شرطة يساوي نصفًا مضروبًا في ثلاثة ﻫ أس سالب أربعة ﺱ في واحد ناقص أربعة ﺱ مضروبًا في ثلاثة ﺱ في ﻫ أس سالب أربعة ﺱ زائد أربعة الكل أس سالب نصف.
يمكننا أن نترك إجابتنا بهذا الشكل. لكن يمكننا كذلك التبسيط بعض الشيء. أولًا: باستخدام قوانين الأسس، نعرف أن ﺃ أس سالب نصف يساوي واحدًا مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ﺃ. لذا، سنستخدم ذلك لنقل ثلاثة ﺱﻫ أس سالب أربعة ﺱ زائد أربعة الكل أس سالب نصف إلى المقام. وهذا يعطينا ثلاثة في ﻫ أس سالب أربعة ﺱ مضروبًا في واحد ناقص أربعة ﺱ الكل مقسوم على اثنين في الجذر التربيعي لثلاثة ﺱﻫ أس سالب أربعة ﺱ زائد أربعة.
آخر عملية تبسيط هي إعادة ترتيب الحدين واحد وسالب أربعة ﺱ. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. ومن ثم، بمعلومية أن الدالة ﺹ تساوي الجذر التربيعي لثلاثة ﺱﻫ أس سالب أربعة ﺱ زائد أربعة، نكون قد تمكنا من استخدام قاعدة الضرب وقاعدة القوة العامة لإيجاد مقدار لمشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وهذه المشتقة تساوي ثلاثة في ﻫ أس سالب أربعة ﺱ مضروبًا في سالب أربعة ﺱ زائد واحد، الكل مقسوم على اثنين في الجذر التربيعي لثلاثة ﺱﻫ أس سالب أربعة ﺱ زائد أربعة.
