فيديو: تحويلات لورينتز للسرعة

بافتراض أن سفينة الفضاء أ وسفينة الفضاء ب تتحرَّك إحداهما تجاه الأخرى. أطلقت السفينة الفضائية أ صاروخًا باتجاه السفينة ب. كانت سرعة الصاروخ بالنسبة إلى سرعة السفينة أ تساوي 0.750c. كانت سرعة الصاروخ بالنسبة إلى سرعة السفينة ب تساوي 0.950c. ما السرعة النسبية للسفينتين؟

٠٤:١٦

‏نسخة الفيديو النصية

بافتراض أن سفينة الفضاء أ وسفينة الفضاء ب تتحرّك إحداهما تجاه الأخرى. أطلقت السفينة الفضائية أ صاروخًا باتجاه السفينة ب. كانت سرعة الصاروخ بالنسبة إلى سرعة السفينة أ تساوي سبعمية وخمسين من الألف 𝑐. وكانت سرعة الصاروخ بالنسبة إلى سرعة السفينة ب تساوي تسعمية وخمسين من الألف 𝑐. ما السرعة النسبية للسفينتين؟

ففيه عندنا سفينتين فضاء أ وَ ب، بيتحرّكوا ناحية بعض. السفينة أ ضربت صاروخ ناحية السفينة ب. والسفينة أ كانت شايفة إن سرعة الصاروخ بتساوي خمسة وسبعين من المية 𝑐. أمَّا السفينة ب، كانت شايفة إن سرعة الصاروخ بتساوي خمسة وتسعين من المية 𝑐. والمطلوب منّنا إن إحنا نعرف السرعة النسبية ما بين السفينة أ والسفينة ب.

فبما إن السرعات هنا سريعة جدًّا، تُقارِب سرعة الضوء، هنحتاج نستخدم تحويلات لورنتز؛ عشان نعرف السرعة النسبية. فإحنا لو عندنا إطار إسناد ثابت، هنسمّيه 𝑠. وإطار إسناد تاني بيتحرّك بالنسبة لـ 𝑠، سمّيناه ′𝑠. وعندنا جسم بيتحرّك بسرعة نسبية بالنسبة لـ 𝑠 بتساوي 𝑢. ولكن هنلاقي الجسم بيتحرّك بالنسبة لإطار الإسناد المتحرّك ′𝑠 بسرعة مختلفة. السرعة دي هنرمز لها بـ ′𝑢.

فعلشان نجيب العلاقة اللي بتربط بين السرعات النسبية دي كلها، هنستخدم تحويل لورنتز. اللي بيقول: إن 𝑢، اللي هو سرعة الجسم بالنسبة للإطار الثابت 𝑠. بيساوي ′𝑢، اللي هي سرعة الجسم بالنسبة للإطار المتحرّك ′𝑠. زائد 𝑉، اللي هي السرعة النسبية بين الإطارين. كل ده مقسوم على واحد زائد، 𝑢 ′ 𝑉 على 𝑐 تربيع.

فلو اعتبرنا إن السفينة أ هي الإطار الثابت 𝑠، والسفينة ب هي الإطار المتحرّك ′𝑠. نقدر نقول: إن سرعة الصاروخ بالنسبة للسفينة أ هي 𝑢، وسرعة الصاروخ بالنسبة للسفينة ب هي ′𝑢. وإن المطلوب بتاعنا، اللي هو السرعة النسبية بين السفينتين، هي 𝑉. فعلشان نعرف نطلّع الـ 𝑉 من تحويل لورنتز، هنعمل شويّة عمليات جبرية.

ففي الأول، عشان نعرف نبسّط المقام اللي في الطرف اليمين، هنضرب الطرف اليمين فوق وتحت في 𝑐 تربيع. فهنلاقي إن الطرف اليمين من المعادلة بقى بيساوي 𝑐 تربيع في الـ ′𝑢 زائد 𝑉 على، 𝑐 تربيع زائد 𝑢 ′ 𝑉. فلو ضربنا طرفين المعادلة في 𝑐 تربيع زائد 𝑢 ′ 𝑉، فهنلاقي إن المعادلة بقت بالشكل ده. وبعدين لو ضربنا الـ 𝑢 داخل القوس، هنلاقي إن الطرف اليمين بقى بيساوي 𝑢 في 𝑐 تربيع، زائد 𝑢 في 𝑢 ′ 𝑉.

وبعدين لو عملنا نفس الحاجة مع الطرف اليمين، وضربنا الـ 𝑐 تربيع داخل القوس، فهنلاقي إن الطرف اليمين بقى بيساوي 𝑐 تربيع ′𝑢، زائد 𝑐 تربيع في 𝑉. فلو طرحنا من طرفين المعادلة 𝑢 في 𝑐 تربيع، وكمان طرحنا 𝑐 تربيع في 𝑉. فهنلاقي إن المعادلة بقت 𝑢 في ′𝑢 في 𝑉، ناقص 𝑐 تربيع 𝑉 بتساوي 𝑢′𝑐 تربيع، ناقص 𝑢 في 𝑐 تربيع.

فلو أخدنا 𝑉 عامل مشترك من الطرف الشمال، فهنلاقي إن الطرف الشمال من المعادلة بقى بيساوي 𝑉 في، ′𝑢 𝑢 ناقص 𝑐 تربيع. ولو أخدنا 𝑐 تربيع عامل مشترك من الطرف اليمين، هنلاقي إن الطرف اليمين بقى بيساوي 𝑐 تربيع في، ′𝑢 ناقص 𝑢. فلو قسمنا المعادلة على 𝑢 في ′𝑢 ناقص 𝑐 تربيع. فنقدر كده نقول: إن الـ 𝑉 بتساوي 𝑐 تربيع في، ′𝑢 ناقص 𝑢 على، 𝑢 في ′𝑢، ناقص 𝑐 تربيع.

فممكن كده نعوّض بقيم الـ ′𝑢 والـ 𝑢، فهنلاقي إن الـ 𝑉 بتساوي 𝑐 تربيع في، خمسة وتسعين من المية 𝑐 ناقص خمسة وسبعين من المية 𝑐. مقسومين على، خمسة وسبعين من المية 𝑐 في خمسة وتسعين من المية 𝑐، ناقص 𝑐 تربيع.

فلو أخدنا 𝑐 تربيع عامل مشترك من المقام، فهنلاقي إن المقام بقى بالشكل ده. فممكن كده نختصر الـ 𝑐 تربيع اللي في البسط مع الـ 𝑐 تربيع اللي في المقام. ولمّا نحسب الـ 𝑉، هنلاقيها بتساوي سالب ستمية ستة وتسعين من الألف 𝑐. والسالب اللي طلع هنا ده بسبب إن السرعة 𝑉 اللي موجودة في تحويل لورنتز هي السرعة النسبية ما بين الإطارين لمّا بيكونوا بيبعدوا عن بعض. إنما في الحالة بتاعة السفينتين هنا، السفينتين بيقرّبوا من بعض. فعشان كده طلع لنا إشارة بالسالب؛ عشان تعبّر عن إن السرعة في اتجاه مختلف. وبالتالي لو إحنا عايزين نجيب مقدار السرعة النسبية ما بين الإطارين، ممكن نشيل السالب ده.

وبكده نبقى عرفنا نجيب مقدار السرعة النسبية ما بين سفينتين فضاء بيتحرّكوا بسرعات قريّبة من سرعة الضوء.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.