فيديو الدرس: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام المتطابقات المثلثية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نبسط المقادير المثلثية بتطبيق المتطابقات المثلثية.

١٣:٠٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نبسط المقادير المثلثية بتطبيق المتطابقات المثلثية.

نبدأ بتذكر أن المتطابقة هي معادلة صحيحة بغض النظر عن القيم المختارة. سوف نستخدم تركيبات من هذه المتطابقات المثلثية، على سبيل المثال، متطابقات الزاويتين المتتامتين ومتطابقات الإزاحة ومتطابقات فيثاغورس. قبل إلقاء نظرة على بعض الأمثلة المحددة، دعونا نتناول خواص دائرة الوحدة.

نتذكر أن دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها واحد كما هو موضح. وتتيح لنا قياس الجيب أو جيب التمام أو الظل لأي زاوية 𝜃، حيث تقاس 𝜃 في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب للمحور ﺱ. الإحداثي ﺱ لأي نقطة على دائرة الوحدة يساوي جتا 𝜃، والإحداثي ﺹ يساوي جا 𝜃. يقودنا المثلث القائم الزاوية في هذا الشكل، إلى جانب نظرية فيثاغورس، إلى متطابقة فيثاغورس الأولى. ‏جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا.

بتذكر متطابقات المقلوب المثلثية، يمكننا صياغة متطابقتين أخريين من متطابقات فيثاغورس. دوال المقلوب الثلاث هي قاطع التمام والقاطع وظل التمام، حيث قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃، وقا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃، وظتا 𝜃 يساوي واحدًا على ظا 𝜃. من الجدير بالذكر كذلك أنه بما أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃، فإن ظتا 𝜃 يساوي جتا 𝜃 على جا 𝜃. بقسمة كلا طرفي متطابقة فيثاغورس الأولى على جتا تربيع 𝜃، يصبح لدينا جا تربيع 𝜃 على جتا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 على جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا على جتا تربيع 𝜃. باستخدام متطابقات المقلوب، يبسط هذا إلى ظا تربيع 𝜃 زائد واحد يساوي قا تربيع 𝜃.

بالطريقة نفسها، يمكننا قسمة كلا طرفي المتطابقة الأولى على جا تربيع 𝜃. يبسط هذا إلى واحد زائد ظتا تربيع 𝜃 يساوي قتا تربيع 𝜃. لدينا الآن مجموعة من ثلاث متطابقات من متطابقات فيثاغورس، والتي سنستخدمها إلى جانب متطابقات المقلوب لحل بعض الأمثلة.

بسط جا 𝜃 مضروبًا في قتا 𝜃 ناقص جتا تربيع 𝜃.

في هذا السؤال، مطلوب منا تبسيط مقدار مثلثي. إحدى طرق فعل ذلك هي استخدام متطابقات المقلوب ومتطابقات فيثاغورس. في هذا النوع من الأسئلة، لا يتضح دائمًا ما علينا فعله أولًا. لكن، كقاعدة عامة، يجدر بنا التعويض عن أي دوال مقلوب بدالة الجيب أو جيب التمام أو الظل.

نعلم أن قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃. بالتعويض بذلك في هذا المقدار، يصبح لدينا جا 𝜃 مضروبًا في واحد على جا 𝜃 ناقص جتا تربيع 𝜃. يحذف جا 𝜃 الموجود في مقام الحد الأول وبسطه، ويتبقى لدينا واحد ناقص جتا تربيع 𝜃. بعد ذلك، نتذكر إحدى متطابقات فيثاغورس: جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. بطرح جتا تربيع 𝜃 من كلا الطرفين، يمكن إعادة كتابة هذا المقدار على الصورة جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا ناقص جتا تربيع 𝜃. هذا يعني أنه يمكن إعادة كتابة هذا المقدار على الصورة جا تربيع 𝜃. ‏𝜃 جا مضروبًا في قتا 𝜃 ناقص جتا تربيع 𝜃 في أبسط صورة يساوي جا تربيع 𝜃.

سنتناول الآن مثالًا ثانيًا من هذا النوع.

بسط جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 مقسومًا على قتا تربيع 𝜃 ناقص ظتا تربيع 𝜃.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكر متطابقات فيثاغورس. أولًا، لدينا جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. بقسمة كل حد على جا تربيع 𝜃، وباستخدام معرفتنا بمقلوب الدوال المثلثية، يصبح لدينا واحد زائد ظتا تربيع 𝜃 يساوي قتا تربيع 𝜃. نلاحظ أن الطرف الأيمن من المتطابقة الأولى مماثل لبسط هذا المقدار. بطرح ظتا تربيع 𝜃 من كلا طرفي المتطابقة الثانية، يصبح لدينا واحد يساوي قتا تربيع 𝜃 ناقص ظتا تربيع 𝜃. الطرف الأيسر هنا يماثل مقام هذا المقدار.

حيث إن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا، وقتا تربيع 𝜃 ناقص ظتا تربيع 𝜃 كذلك يساوي واحدًا، يبسط هذا المقدار إلى واحد على واحد. وهذا يساوي واحدًا. المقدار جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 على قتا تربيع 𝜃 ناقص ظتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا.

قبل أن نتناول مثالًا أخيرًا، سوف نتذكر متطابقات الزاويتين المتتامتين ومتطابقات الإزاحة. مرة أخرى، نبدأ بالنظر إلى دائرة الوحدة. بما أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة، فإن الزاوية الثالثة في هذا المثلث القائم الزاوية تساوي ٩٠ درجة ناقص 𝜃. دعونا نر ما سيحدث إذا أعدنا رسم هذا المثلث، بحيث تكون الزاوية المحصورة بين الجزء الموجب للمحور ﺱ والوتر تساوي ٩٠ درجة ناقص 𝜃. ستكون إحداثيات النقطة المحددة على دائرة الوحدة هي جتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃، جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃. نلاحظ أن المسافة في اتجاه المحور ﺱ هنا تساوي المسافة في اتجاه المحور ﺹ في المثلث الأول. هذا يعني أن جتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 لا بد أن يساوي جا 𝜃. وبالمثل، فإن جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃.

بما أن جا 𝜃 على جتا 𝜃 يساوي ظا 𝜃، فإن ظا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃 على جا 𝜃. وباستخدام معرفتنا بدوال المقلوب، فهذا يساوي ظتا 𝜃. ويتبع ذلك أن قا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي قتا 𝜃. ‏قتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي قا 𝜃. وظتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي ظا 𝜃. تعرف هذه المتطابقات الست بمتطابقات الزاويتين المتتامتين.

يمكننا كذلك استخدام دائرة الوحدة لإيجاد متطابقات تتضمن زوايا مثل ١٨٠ درجة ناقص 𝜃، و١٨٠ درجة زائد 𝜃، و٣٦٠ درجة ناقص 𝜃. في المثال الأخير لدينا، سنستخدم هذه المتطابقات إلى جانب متطابقات فيثاغورس لتبسيط أحد المقادير.

بسط واحد زائد ظتا تربيع ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃 مقسومًا على واحد زائد ظا تربيع ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃.

للإجابة عن هذا السؤال، سنحتاج إلى استخدام مجموعة متنوعة من المتطابقات المثلثية. هناك طرق عديدة للبدء في الإجابة. لكننا سنبدأ بمحاولة إعادة كتابة المقدار بدلالة 𝜃. برسم دائرة الوحدة أولًا، نتذكر أن ‏𝜋‏ راديان يساوي ١٨٠ درجة. وهذا يعني أن ‏𝜋‏ على اثنين راديان يساوي ٩٠ درجة. ومن ثم، يمكن إعادة كتابة مقام هذا المقدار على الصورة واحد زائد ظا تربيع ٩٠ درجة ناقص 𝜃. تنص إحدى متطابقات الزاويتين المتتامتين على أن ظا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي ظتا 𝜃. هذا يعني أن ظا تربيع ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي ظتا تربيع 𝜃. ومن ثم، فإن مقام هذا المقدار يساوي واحدًا زائد ظتا تربيع 𝜃.

لننظر الآن إلى الزاوية ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃. مرة أخرى، يمكننا أن نلاحظ من دائرة الوحدة أن ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين راديان يساوي ٢٧٠ درجة. هذا يعني أن بسط هذا المقدار يساوي واحدًا زائد ظتا ٢٧٠ درجة ناقص 𝜃. إذا كانت 𝜃 تقع في الربع الأول كما هو موضح في هذا المثلث القائم الزاوية، فإن ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃، أو ٢٧٠ درجة ناقص 𝜃، تقع في الربع الثالث. يتضح من الشكل أن جتا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃، وجا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃 يساوي سالب جتا 𝜃. بما أن جا 𝜃 على جتا 𝜃 يساوي ظا 𝜃، وجتا 𝜃 على جا 𝜃 يساوي ظتا 𝜃، فإن ظتا ٢٧٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي ظا 𝜃. بتربيع كلا طرفي هذه المتطابقة، يمكننا إعادة كتابة بسط هذا المقدار على الصورة واحد زائد ظا تربيع 𝜃.

في الخطوة التالية، سنتذكر متطابقتين من متطابقات فيثاغورس. الأولى، ظا تربيع 𝜃 زائد واحد يساوي قا تربيع 𝜃. والثانية، واحد زائد ظتا تربيع 𝜃 يساوي قتا تربيع 𝜃. يبسط هذا المقدار إلى قا تربيع 𝜃 على قتا تربيع 𝜃. ويمكن إعادة كتابة هذا على الصورة قا تربيع 𝜃 مضروبًا في واحد على قتا تربيع 𝜃. بتذكر متطابقتي المقلوب قا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃، وقتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃، يصبح لدينا واحد على جتا تربيع 𝜃 مضروبًا في جا تربيع 𝜃، ويمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة جا تربيع 𝜃 على جتا تربيع 𝜃، وهو ما بدوره يساوي ظا تربيع 𝜃. المقدار واحد زائد ظتا تربيع ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃 مقسومًا على واحد زائد ظا تربيع ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃 مكتوب في أبسط صورة له، وهي ظا تربيع 𝜃.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية المستخلصة من هذا الفيديو. في هذا الفيديو، بسطنا المقادير المثلثية باستخدام مجموعة متنوعة من المتطابقات المثلثية. استخدمنا متطابقات فيثاغورس الثلاث، وهي جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا، وظا تربيع 𝜃 زائد واحد يساوي قا تربيع 𝜃، وواحد زائد ظتا تربيع 𝜃 يساوي قتا تربيع 𝜃. استخدمنا كذلك متطابقات المقلوب، وهي قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃، وقا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃، وظتا 𝜃 يساوي واحدًا على ظا 𝜃. بما أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃، فقد رأينا كذلك أن ظتا 𝜃 يساوي جتا 𝜃 على جا 𝜃.

تذكرنا كذلك متطابقتي الزاويتين المتتامتين، وهما جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃، وجتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جا 𝜃. وقادنا استخدام متطابقات المقلوب سابقًا إلى أربع متطابقات أخرى للزاويتين المتتامتين. وختامًا، استخدمنا دائرة الوحدة لتحديد متطابقات أخرى للزوايا المنتسبة على النحو الموضح في المثال الأخير. في العديد من الأمثلة، احتجنا لتطبيق أكثر من متطابقة أو أكثر من نوع من المتطابقات لتبسيط أحد المقادير المثلثية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.