فيديو السؤال: كتابة معادلة دالة تكعيبية بصيغة رأس المنحنى من تمثيلها البياني الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي المعادلات التالية تطابق التمثيل البياني؟ أ: ﺹ تساوي نصفًا في ﺱ ناقص واحد تكعيب زائد أربعة. ب: ﺹ تساوي ثلثًا في ﺱ ناقص واحد تكعيب زائد أربعة. ج: ﺹ تساوي ثلاثة في ﺱ ناقص واحد تكعيب زائد أربعة. د: ﺹ تساوي اثنين في ﺱ ناقص واحد تكعيب زائد أربعة. هـ: ﺹ تساوي ﺱ ناقص واحد تكعيب زائد أربعة.

لنبدأ بالنظر إلى التمثيل البياني المعطى. لعلنا نلاحظ أن هذا منحنى دالة تكعيبية، أو بعبارة أخرى، دالة من الدرجة الثالثة. هذا يعني أن أكبر قوة لـ ﺱ هي ثلاثة. إذا رسمنا منحنى الدالة ﺹ تساوي ﺱ تكعيب، فسنجد أنه يبدو بهذا الشكل. يمر هذا المنحنى بنقطة الأصل، أي النقطة صفر، صفر. والنقطة صفر، صفر هي في الواقع نقطة انقلاب. هذا يعني أنها النقطة التي يتغير عندها تحدب هذا المنحنى من تحدب لأسفل إلى تحدب لأعلى.

بالنظر إلى نقطة انقلاب المنحنى المعطى، نجد أنها لا تقع عند نقطة الأصل. بل إنها تقع عند النقطة واحد، أربعة. هذا يعني أن تحويلًا ما قد أجري على نقطة الانقلاب هذه. لقد انتقلت على وجه التحديد باستخدام المتجه واحد، أربعة. أو بعبارة أخرى، لقد انتقلت بمقدار وحدة واحدة إلى اليمين وأربع وحدات لأعلى.

حسنًا، دعونا نتناول المعادلة ﺹ تساوي ﺱ تكعيب. إذا أردنا أن ننقل منحنى الدالة ﺹ تساوي ﺱ تكعيب بمقدار وحدة واحدة إلى اليمين، فإننا نطرح واحدًا من قيمة ﺱ. هذا يعني أننا سنحصل على المعادلة ﺹ تساوي ﺱ ناقص واحد الكل تكعيب. بعد ذلك، إذا أردنا أن ننقل المنحنى بمقدار أربع وحدات لأعلى، فإننا نضيف أربعة إلى الدالة بأكملها. إذن، تمثل المعادلة ﺹ تساوي ﺱ ناقص واحد الكل تكعيب زائد أربعة انتقالًا لمنحنى الدالة ﺹ تساوي ﺱ تكعيب بمقدار وحدة واحدة إلى اليمين، وأربع وحدات لأعلى.

لسوء الحظ، هذا لا يساعدنا في استبعاد أي خيار من هذه الخيارات. إذ نلاحظ أن مقدار الانتقال في كل خيار هو نفسه مقدار الانتقال الموضح على الشكل، أي وحدة واحدة إلى اليمين، وأربع وحدات لأعلى. يكمن الفرق بين هذه الدوال في القيمة الموجودة خارج القوسين في كل دالة. لدينا القيم: نصف وثلث وثلاثة واثنان وواحد. لكن، ما الذي تمثله هذه القيم؟

في الحقيقة، تمثل هذه القيم مقدار التمدد الرأسي للدالة. عادة ما يحدث هذا التمدد قبل أي انتقال. لكن بما أن نقطة الانقلاب كانت تقع عند النقطة صفر، صفر، فإنها لن تتغير مع حدوث تمدد رأسي. لذا يتعين علينا التفكير في قيم أخرى على المنحنى بدلًا من ذلك. دعونا نتناول النقطة التي إحداثياتها صفر، واحد. لكي نحدد التمدد الرأسي الصحيح، سنعوض بـ ﺱ يساوي صفرًا في كل معادلة من هذه المعادلات لنعرف في أي منها قيمة ﺹ تساوي واحدًا.

في المعادلة الموضحة في الخيار أ، عند ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺹ تساوي نصفًا في صفر ناقص واحد تكعيب زائد أربعة. هذا يساوي سبعة على اثنين وليس واحدًا؛ لذا يمكننا استبعاد الخيار أ. وبالمثل، في المعادلة الموضحة في الخيار ب، عند ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺹ تساوي ١١ على ثلاثة. وبما أن هذه القيمة لا تساوي واحدًا، يمكننا استبعاد هذا الخيار. أما في المعادلة الموضحة في الخيار ج، فإنه عند ﺱ يساوي صفرًا، نجد أن ﺹ تساوي ثلاثة في صفر ناقص واحد تكعيب زائد أربعة. هذا يساوي سالب ثلاثة زائد أربعة، أي يساوي واحدًا كما هو مطلوب. إذن، المعادلة التي تطابق هذا التمثيل البياني هي المعادلة الموضحة في الخيار ج، أي ﺹ تساوي ثلاثة في ﺱ ناقص واحد تكعيب زائد أربعة.

لكن لمزيد من التأكد، دعونا نتحقق من الخيارين د وهـ. في الواقع، عند ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺹ تساوي اثنين في الخيار د، وﺹ تساوي ثلاثة في الخيار هـ. لذا يمكننا استبعاد هذين الخيارين. من ثم نكون متأكدين من أن المعادلة الموضحة في الخيار ج هي المعادلة التي تطابق التمثيل البياني.