تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: المشتقات العكسية

سوزان فائق

يوضح الفيديو مفهوم المشتقات العكسية والتكامل غير المحدد، وكيفية إيجادها، وقواعد إيجاد الشكل العام للمشتقة العكسية، وأمثلة موضحة.

١٣:٢٤

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على المشتقات العكسية.هنعرف يعني إيه المشتقات العكسية، وإزّاي نحسب قيمتها، وإيه هي القواعد المستخدمة لإيجاد المشتقات العكسية للدوال.

المشتقة العكسية، أو بيتقال عليها التكامل غير المحدّد، هو عملية عكسية لعملية الاشتقاق. يقال أن الدالة ت مشتقة عكسية للدالة د في فترة، أيّ فترة، إذا كان د د س للدالة ت س بيساوي د س؛ حيث س بتبقى متعرّفة داخل الفترة.يعني الدالة دي هي المشتقة العكسية، اللي هي ت س،لمّا بنفاضلها أو بنشتقّها بيطلع لنا الدالة د س.

يعني مثلًا لو عندنا موقع لجسم، الدالة بتاعته د س، اللي هي تساوي س تربيع زائد اتنين س. وبما إن سرعة الجسم بتمثّل مشتقة الدالة د س.يبقى د شرطة س، اللي هي د د س للدالة د س، بتساوي … الـ س تربيع بنشتقّها، بتبقى اتنين س. إن إحنا بننزّل الأُس، اللي هو اتنين، بنضرب فيه. وننقّص الأُس واحد، يعني الـ س تبقى أُس، اتنين ناقص الواحد، اللي هي س. زائد الاتنين في الـ س. بننقّص الأس بتاع الـ س، واحد. يبقى س أُس، واحد ناقص واحد، يعني س أُس صفر، يعني قيمتها واحد. وبنضرب في الأُس اللي نقّصناه ده، اللي هو قيمته واحد، فبيتبقّى عندنا بس اللي هو الثابت اتنين.

هنا القيمة دي، اللي هي د شرطة س، هي مشتقة الدالة د س.لمّا جِبنا د شرطة، كنا عارفين د س. طيّب لو ادّى لنا د شرطة بس، نعرف نجيب د س؛ اللي هو نجيب المشتقة العكسية بتاعتها؟يبقى لحساب صيغة موقع الجسم من صيغة سرعة الجسم، بنحتاج نعمل طريقة عكسية للعودة للدالة الأصلية، وإلغاء الاشتقاق. الدالة الأصلية دي بنسمّيها المشتقة العكسية للدالة.

نقلب الصفحة، وناخد مثالهيوضّح لنا المشتقة العكسية. بيقول لنا اوجد المشتقة العكسية لكل دالة ممّا يأتي: د س بتساوي تلاتة س تربيع. وكمان د س بتساوي سالب تمنية على س أُس تسعة.

د س بتساوي تلاتة س تربيع، عايزين نوجد المشتقة العكسية لها. المفروض إن إحنا تلاتة س تربيع دي، دالة لمّا اشتقّيناها بقت تلاتة س تربيع. يعني دي كانت دالة تانية. لمّا بنيجي نشتقّ كنّا مثلًا لو كان عندنا س أُس أربعة بنشتقّها، بننزّل الأُس، ونضرب فيه. والـ س بننقّص الأُس بتاعها واحد، يعني أربعة ناقص واحد. بتساوي أربعة س تكعيب.

يعني الاشتقاق ده دالته الأساسية أهي، ناقص أُس. الأُس بتاعه ناقص واحد. وضاربين في قيمة الأُس. يبقى المفروض لمّا هنعكس الكلام ده، هنقسم على الرقم اللي إحنا ضربنا فيه، ونزوّد الأُس واحد. يعني د س المشتقة العكسية بتاعتها كانت دالة فيها الأُس زايد واحد. والأُس ده كنا ضربنا فيه، يعني هنقسم عليه.يعني المشتقة العكسية بتساوي س تكعيب.

طيّب علشان نتأكّد من الكلام ده، المفروض هنشتقّ الدالة اللي إحنا طلّعناها. لمّا هنيجي نشتق س تكعيب، هتبقى هننزّل الأُس، ونضرب فيه. والـ س هننقّص الأُس بتاعها واحد، يعني هتبقى تلاتة س تربيع. بس هل تلاتة س تربيع بس جايّة من س تكعيب؟ لأ، ممكن كانت مجموع عليها ثابت. يعني مثلًا كانت: س تكعيب زائد خمسة، س تكعيب زائد أربعة أو ناقص أربعة. ولمّا هنشتقّها هتدّي نفس القيمة.

يعني س تكعيب زائد خمسة، هتبقى تلاتة س تربيع. والخمسة عدد ثابت اشتقاقه يساوي صفر. الـ س تكعيب زائد الأربعة، هتبقى تلاتة س تربيع زائد الصفر. لو كانت س تكعيب ناقص أربعة، يبقى تلاتة س تربيع ناقص الصفر. كل ده ادّى لنا نفس التلاتة س تربيع. يبقى معنى كده كل امّا هنغير الثابت، اشتقاق الدالة هيبقى هو هوّاه الدالة الأساسية، اللي هي د س. يعني ممكن نحطّها في صورة عامة، ونقول إن المشتقة العكسية للدالة المطلوبة هتساوي س تكعيب، وزائد أيّ عدد ثابت إذا كان موجب أو سالب.

نوجد المشتقة العكسية للدالة د س بتساوي سالب تمنية على س أُس تسعة. هنكتبها بشكل دالة مرفوعة لقوة، هتبقى سالب تمنية … الـ س أُس تسعة في المقام هتطلع في البسط، يبقى سالب تسعة.عشان نحسب المشتقة العكسية ت س للدالة، المفروض هنزوّد الأُس ده واحد، ونقسم عليه. يعني هتبقى سالب تمنية س أُس، سالب تسعة زائد الواحد؛ على … الأُس اللي طلعنا هنا بيه ده، اللي هو سالب تسعة زائد تمنية [واحد]‎، يعني سالب تمنية.يبقى ت س هتساوي … هنختصر السالب تمنية مع السالب تمنية، هتبقى س أُس سالب تمنية.

علشان نتأكّد إن الحل ده صحيح، هنشتقّ الـ س أُس سالب تمنية. هتبقى سالب تمنية في الـ س أُس، سالب تمنية ناقص الواحد، يعني هتساوي سالب تمنية في س أُس سالب تسعة. وده فعلًا الدالة الأصلية د س.طيّب لو جمعنا على القيمة دي خمسة، برضو هيبقى اشتقاقها هو نفس القيمة؛ لأن ده عدد ثابت. لو طرحنا اتنين، هيطلع نفس القيمة دي؛ لأن ده عدد ثابت. يبقى معنى كده إن المشتقة العكسية بصورتها العامة، ممكن تبقى بالشكل ده: سالب تمنية س أُس سالب تسعة، زائد أيّ عدد ثابت.

نقلب الصفحة.هنلاحظ إن إضافة أو طرح ثابت للمشتقة العكسية الأصلية، بينتج عنه مشتقة عكسية أخرى. وذلك لأن مشتقة الثابت صفر. لذلك فإن هناك عدد لا نهائي من المشتقات العكسية لأيّ دالة. والشكل العام للمشتقة العكسية الأصلية هو الشكل اللي بيحتوي على الثابت ث.

نتكلّم على القواعد اللي هنستخدمها لإيجاد المشتقة العكسية.

قواعد إيجاد المشتقة العكسية.

قاعدة القوة: إذا كانت د س بتساوي س أُس ن؛ حيث الـ ن عدد نسبي لا يساوي سالب واحد. فإن ت س، اللي هي المشتقة العكسية، بتساوي س أُس، ن زائد الواحد. هنزوّد الأُس واحد، ونقسم عليه. على، ن زائد الواحد. زائد أيّ عدد ثابت.

قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت: إذا كان د س بتساوي ك في س أُس ن؛ حيث ن عدد نسبي لا يساوي سالب واحد. فإن ت س بتساوي … هنسيب الثابت زيّ ما هو ك، وهنضرب في س أُس، ن زائد الواحد. هنزوّد الأُس واحد، ونقسم على الأُس الجديد، اللي هو ن زائد الواحد. زائد أيّ عدد ثابت.

قاعدة المجموع والفرق: إذا كان لـ د س، وَ ر س مشتقتان عكسيتان، اللي هم ت س، وَ ج س على الترتيب. فإن ت س زائد أو ناقص ج س مشتقة عكسية للـ د س زائد أو ناقص الـ ر س. يعني لو هم مجموعين أو مطروحين، يبقى كل واحدة هنجيب لها المشتقة العكسية، ونجمعهم أو نطرحهم على حسب الدالة اللي مدّيهالنا.

ت س بتساوي ك س هي مشتقة عكسية للدالة د س بتساوي ك. يعني لو د س بتساوي تلاتة، فإن المشتقة العكسية بتاعتها هتبقى تلاتة س.لأن هنا التلاتة، اللي هو العدد ثابت ده، كأنه تلاتة في س أُس صفر. والـ س أُس صفر دي قيمتها واحد. إحنا بنزوّد الأُس واحد. يعني لمّا بنجيب المشتقة العكسية، هنزوّد الأُس واحد. يبقى س أُس واحد مضروبة في التلاتة، اللي هو الثابت زي ما هو، وبنقسم على الواحد، علشان كده طلعت القيمة بتاعتها تلاتة س.

المشتقة العكسية هي برضو التكامل غير المحدّد.سبب تسمية التكامل غير المحدّد بهذا الاسم، إنه لا يعبّر عن دالة محدّدة، بل عن عدد لا نهائي من المشتقات العكسية الأصلية.

نقلب الصفحة، وناخد مثال.اوجد جميع المشتقات العكسية لكل دالة ممّا يأتي: د س بتساوي أربعة س أُس سبعة. د س بتساوي اتنين على س أُس أربعة. د س بتساوي س تربيع ناقص تمنية س زائد خمسة.

أول واحدة، اللي هي الدالة د س هتساوي أربعة س أُس سبعة. دي الدالة المعطاة، عايزين نِجيب لها الـ ت س. يبقى هنستخدم قاعدة ضرب الدالة القوة في عدد ثابت. اللي هو العدد الثابت أربعة. وقاعدة دالة القوة: يبقى هنسيب الثابت زيّ ما هو. وهنزوّد الأُس واحد، يعني سبعة زائد واحد. ونقسم على الأُس الجديد، هنقسم على التمنية. والمفروض هو هنا طالب جميع المشتقات العكسية، يعني هنزوّد ثابت. يبقى ت س بتساوي أربعة على تمنية، س أُس تمنية؛ زائد الثابت. لمّا هنبسّطها هتبقى س أُس تمنية، على الاتنين؛ زائد الثابت.

هناخد التانية اللي هي د س بتساوي اتنين س [على س]‎ أُس أربعة. هنكتب الدالة المعطاة بالشكل: الأُس في البسط. يعني اتنين في س … أُس أربعة في المقام، هيطلع في البسط بالسالب. يبقى د س بتساوي اتنين س أُس سالب أربعة. هنجيب لها المشتقة العكسية، اللي هي ت س. هنزوّد الأُس واحد. هنا عندنا فيه عدد ثابت، هنسيبه زيّ ما هو. وهنزوّد الأُس واحد، يعني سالب أربعة زائد الواحد. ونقسم على الأُس الجديد. سالب أربعة زائد الواحد، يعني سالب تلاتة. ونزوّد الثابت، عشان نجيب جميع المشتقات العكسية. يبقى سالب اتنين على تلاتة، في س أُس سالب تلاتة، زائد الثابت. هو ده المشتقة العكسية المطلوبة.

تالت واحدة.الدالة المعطاة عبارة عن س تربيع ناقص تمنية س زائد الخمسة.في الدالة المعطاة دي فيه هنا عدد ثابت خمسة. ده كان أصله خمسة في س أُس الصفر. يعني نكتبها بالشكل: س تربيع ناقص تمنية س زائد خمسة س أُس صفر؛ علشان نقدر نزوّد الأُس واحد، ونقسم عليه.أو إن إحنا نستخدم الشكل ده مباشرةً، بإن إحنا نجيب المشتقة على طول من د س تساوي ك، المشتقة العكسية لها هتبقى ك في الـ س.

هنا في الـ د س عبارة عن تلات دوال: س تربيع، وناقص تمنية س، زائد الخمسة؛ مطروحين ومجموعين. يبقى هنجيب المشتقة العكسية لكل واحدة فيهم.يبقى ت س كلها هتساوي … س تربيع هنجيب لها المشتقة العكسية، هتبقى س أُس، اتنين زائد الواحد؛ على الأُس الجديد. ناقص … التمنية ده عدد ثابت. الـ س هنزوّد الأُس واحد، ونقسم عليه. زائد خمسة س.زائد الثابت اللي هيجيب لنا جميع المشتقات العكسية. يبقى ت س هتساوي س تكعيب على تلاتة، ناقص أربعة س تربيع، زائد خمسة س، زائد الثابت.

لمّا بيقول لنا: «اوجد جميع المشتقات العكسية»، كأنه بيقول لنا بالظبط هات التكامل غير المحدّد للدوال اللي هو مدّيهالنا.وده اللي بيبقى في الصورة العامة للمشتقة العكسية للدالة.

يبقى في الفيديو ده عرفنا يعني إيه المشتقات العكسية، وإزاي نحسبها، إيه هي قواعد حساب المشتقات العكسية، ويعني إيه التكامل غير المحدّد.