فيديو: النموذج التجريبي الثاني • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال الثامن عشر

النموذج التجريبي الثاني • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال الثامن عشر

٠٨:١٠

‏نسخة الفيديو النصية

أثبت أن النقاط أ: واحد، وتلاتة، وخمسة. وَ ب: أربعة، وأربعة، وصفر. وَ ج: سالب واحد، واتنين، وأربعة. ليست على استقامة واحدة. ثم أوجد الصور المختلفة لمعادلة المستوى الذي يمرّ بهذه النقاط.

لو عندنا تلات نقاط بالشكل ده: أ، وَ ب، وَ ج. لو قدِرنا نثبت إن المتجه أ ب بيوازي المتجه أ ج. ففي الحالة دي ده معناه إن التلات نقط اللي عندنا أ، وَ ب، وَ ج على استقامة واحدة. أمّا لو كان النقط التلاتة ليسوا على استقامة واحدة، فده معناه إن مش هيتحقّق شرط التوازي.

يبقى ده معناه إن أنا أقدر أختبر إذا كانت النقط اللي عندنا على استقامة واحدة أم لا بإجراء اختبار توازي للمتجهين. على سبيل المثال أ ب، وَ أ ج.

أول حاجة هنبدأ نجيب المتجه أ ب اللي هيساوي المتجه ب ناقص المتجه أ. هنعوّض عن المتجه ب بإحداثيات النقطة ب؛ اللي هي: أربعة، وأربعة، وصفر. وعن المتجه أ بإحداثيات النقطة أ؛ اللي هي: واحد، وتلاتة، وخمسة. وهنلاقي إن المتجه أ ب يساوي تلاتة، وواحد، وسالب خمسة.

دلوقتي نوجد المتجه أ ج. هيساوي المتجه ج ناقص المتجه أ. هنعوّض عن المتجه ج بإحداثيات النقطة ج؛ اللي هي: سالب واحد، واتنين، وأربعة. وعن المتجه أ بإحداثيات النقطة أ؛ اللي هي: واحد، وتلاتة، وخمسة. فهنلاقي إن المتجه أ ج بيساوي سالب اتنين، وسالب واحد، وسالب واحد.

إحنا عارفين إن لو عندنا متجهين؛ المتجه أ مثلًا، والمتجه ب. ودول متجهين غير صفريين. واتحقّقت عندنا العلاقة دي: أ س على ب س، يساوي أ ص على ب ص، يساوي أ ع على ب ع.

حيث الجزء اللي فوق؛ اللي هو أ س، وَ أ ص، وَ أ ع دول مركّبات المتجه أ في اتجاه محاور الإحداثيات التلاتة. أمّا الجزء اللي تحت؛ اللي هو ب س، وَ ب ص، وَ ب ع فدول مركّبات المتجه ب في اتجاه محاور الإحداثيات التلاتة. لو اتحقّقت العلاقة دي، فده معناه إن المتجه أ بيوازي المتجه ب.

يبقى نقدر نستخدم العلاقة دي في اختبار توازي أيّ متجهين. يبقى دلوقتي إحنا عايزين نشوف يا ترى المتجه أ ب بيوازي المتجه أ ج، ولّا لأ. عايزين نختبر إذا كانت العلاقة دي بتنطبق على مركّبات المتجهين، ولّا لأ.

فهنشوف إذا كان تلاتة على سالب اتنين يساوي أم لا واحد على سالب واحد. وخلّينا نختبر بس أول جزء دلوقتي من العلاقة. يا ترى الطرفين اللي عندنا دول متساويين ولّا لأ؟

بالطبع هنلاقي إن الطرفين اللي عندنا دول غير متساويين. يعني العلاقة دي ما اتحقّقتش؛ وبالتالي ما أقدرش أقول إن المتجهين أ ب، وَ أ ج متوازيين. وبما إن شرط التوازي ما اتحقّقش. فده معناه إن النقط التلاتة اللي عندنا، اللي هم: أ، وَ ب، وَ ج ليست على استقامة واحدة.

كده إحنا أوجدنا أول مطلوب في السؤال. المطلوب اللي بعد كده إننا نوجد الصور المختلفة لمعادلة المستوى اللي بيمُرّ بالنقط التلاتة اللي عندنا.

عشان نقدر نكتب معادلة أيّ مستوى، محتاجين حاجتين. أول حاجة: نقطة معلومة على المستوى. وإحنا عندنا تلات نقط مش نقطتين؛ أ، وَ ب، وَ ج. يعني أيّ نقطة منهم هتمثّل النقطة المعلومة.

تاني حاجة: متجه اتجاه عمودي على المستوى. وده بنقدر نوجده لو أجرينا ضرب اتجاهي للمتجهين أ ب، وَ أ ج الواقعين على المستوى. لأن حاصل الضرب الاتجاهي لأيّ متجهين على المستوى بيبقى عبارة عن متجه عمودي على المستوى اللي بيحتوي على المتجهين دول.

يبقى دلوقتي هنبدأ نوجد المتجه ن عن طريق إن إحنا هنجري ضرب اتجاهي للمتجهين أ ب، وَ أ ج. وده بيبقى عن طريق إننا بنكتب محدّد الصف الأول فيه بيبقى عبارة عن متجه وحدة في اتجاه المحور س. ومتجه وحدة في اتجاه المحور ص. ومتجه وحدة في اتجاه المحور ع.

أمّا الصف التاني فبيبقى عبارة عن مركّبات المتجه الأول؛ اللي هي: تلاتة، وواحد، وسالب خمسة. أمّا الصف التالت فبيبقى عبارة عن مركّبات المتجه التاني؛ اللي هي: سالب اتنين، وسالب واحد، وسالب واحد.

هنبدأ نوجد قيمة المحدّد باستخدام عناصر الصف الأول. ودايمًا ما ننساش قاعدة إشارات المحدّد. فهنلاقي إن قيمة المحدّد بتساوي سالب ستة في اتجاه متجه الوحدة س. زائد تلتاشر في اتجاه متجه الوحدة ص. ناقص واحد في اتجاه متجه الوحدة ع.

يبقى المتجه ن اللي بيساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب، وَ أ ج؛ نقدر نكتبه في الصورة الإحداثية أو الكارتيزية بالشكل ده. هيكون بيساوي سالب ستة، وتلتاشر، وسالب واحد.

فدلوقتي إحنا بقينا عارفين متجه الاتجاه العمودي على المستوى. ومعلوم عندنا كمان أكتر من نقطة على المستوى. فبقى من السهل علينا إننا نكتب معادلة المستوى المطلوب بالصور التلاتة المعروفة.

دلوقتي إحنا كنا أوجدنا المتجه ن. وهنعتبر أحد النقط اللي عندنا، ولْتكُن النقطة أ، هي دي النقطة المعلومة على المستوى. ونبدأ نوجد معادلة المستوى بأول صورة، ولْتكُن الصورة المتجهة.

الصورة المتجهة لمعادلة أيّ مستوى بتبقى بالشكل ده. حاصل الضرب القياسي للمتجهين ن وَ ر، يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ن وَ أ.

هنعوّض عن المتجه ن بالإحداثيات اللي أوجدناها؛ اللي هي: سالب ستة، وتلتاشر، وسالب واحد. وهنعوّض عنه مرة أخرى في الطرف الأيسر. وبعدين هنعوّض عن المتجه أ بإحداثيات النقطة أ؛ اللي هي: واحد، وتلاتة، وخمسة. ولمّا نُجري الضرب القياسي اللي على الطرف الأيسر هنلاقي إنه بيساوي سالب ستة زائد تسعة وتلاتين ناقص خمسة، واللي هيبقى بيساوي تمنية وعشرين.

يعني نقدر نكتب معادلة المستوى في الصورة المتجهة بالشكل ده. حاصل الضرب القياسي للمتجه سالب ستة، وتلتاشر، وسالب واحد. والمتجه ر هيساوي تمنية وعشرين.

أمّا الصورة العامة لمعادلة المستوى فنقدر نوجدها من الصورة المتجهة للمعادلة اللي عندنا لو عوّضنا عن المتجه ر بالإحداثيات س، وَ ص، وَ ع بالشكل ده.

وبإجراء عملية الضرب القياسي للمتجهين اللي عَ الطرف الأيمن، هنلاقي إن سالب ستة س زائد تلتاشر ص ناقص ع هتساوي تمنية وعشرين. واللي نقدر نكتبها بالشكل ده. ستة س ناقص تلتاشر ص زائد ع زائد تمنية وعشرين بتساوي صفر.

كده أصبحت المعادلة اللي عندنا على الصورة العامة لمعادلة المستوى. واللي بتبقى بالشكل ده: أ في، س ناقص س واحد. زائد ب في، ص ناقص ص واحد. زائد ج في، ع ناقص ع واحد. يساوي صفر.

حيث أ، وَ ب، وَ ج دول إحداثيات متجه الاتجاه العمودي على المستوى. يعني إحداثيات المتجه ن. أمّا س واحد، وَ ص واحد، وَ ع واحد فدول إحداثيات النقطة المعلومة على المستوى، واللي قلنا هنا إنها النقطة أ.

فبعد ما نعوّض عن إحداثيات المتجه ن؛ اللي هي: أ، وَ ب، وَ ج. بسالب ستة، وتلتاشر، وسالب واحد. وعن إحداثيات النقطة أ؛ اللي إحداثياتها: س واحد، وص واحد، وَ ع واحد. هنعوّض عنهم بواحد، وتلاتة، وخمسة.

فهتبقى المعادلة اللي عندنا بالشكل ده. واللي نقدر نعيد صياغتها ونكتبها بالشكل ده. ستة في، س ناقص واحد. ناقص؛ تلتاشر في، ص ناقص تلاتة. ناقص؛ ع ناقص خمسة. يساوي صفر. ويبقى كده هي دي الصورة القياسية لمعادلة المستوى.

فبقى عندنا تلات صور لمعادلة المستوى: الصورة المتجهة، والصورة العامة، والصورة القياسية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.