تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: انتقال التمثيل البياني للدوال المثلثية

سوزان فائق

يوضح الفيديو انتقال التمثيل البياني للدوال المثلثية، ويوضح تعريف إزاحة الطور والإزاحة الرأسية، وكيفية حساب طول دورة الدالة وسعتها.

١١:١٠

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده، هنتكلّم على انتقال التمثيل البياني للدوال المثلثية.

هنشوف إزَّاي هنرسم دالة مثلثية تحتوي على إزاحة رأسية وإزاحة أفقية بتتسبّب في نقل الدالة المثلثية. الدالة اللي قدامنا دي بتمثّل الصيغة العامّة لدالة الجيب. ونفس الصيغة العامّة دي بنستخدمها في دالة جيب التمام، والظلّ وظلّ التمام، والقاطع وقاطع التمام. الفرق بس إن إحنا بنغيّر في شكل الدالة، اللي هو جا تبقى جتا، وَ ظا، وَ ظتا، وباقي الدوال. لكن العوامل، اللي هي السعة، اللي هي سعة الدالة، وطول الدورة، وإزاحة الطور، والإزاحة الرأسية، كل دول ثابتين بنفس الشكل ده في الصيغة العامّة للدوال المثلثية.

سعة الدالة دي بتبقى نصّ الفرق ما بين القيمة والعظمى للدالة. طول الدورة ده اللي بيحدّد مقدار تمدّد الدالة. وطول الدورة ده بيبقى إمتى الدالة بتكرّر نفسها. إزاحة الطور، ده اللي هو مقدار الإزاحة الأفقية على محور 𝜃. والإزاحة الرأسية اللي هو مقدار الإزاحة الرأسية إلى أعلى أو إلى أسفل بالنسبة لمحور الصادات. لو كانت قيمة إزاحة الطور أصغر من الصفر، تبقى إزاحة الشكل إلى اليمين. الـ ز لمَّا بتكون أكبر من الصفر بتبقى إزاحة إلى اليسار. الـ ك لمَّا بتكون أكبر من الصفر بتبقى الإزاحة إلى أعلى. الـ ك أصغر من الصفر، بتبقى الإزاحة إلى أسفل.

هنشوف إيه هي الخطوات اللي بنستخدمها لرسم دالة مثلثية بتحتوي على إزاحة رأسية وإزاحة الطور. يمكن استخدام الخطوات الآتية لرسم دالة مثلثية تحتوي إزاحة رأسية وإزاحة أفقية. أول حاجة: بنحدّد مقدار الإزاحة الرأسية، اللي هي قيمة الـ ك. ومنها بنعرف خطّ الوسط. خطّ الوسط ده معادلته: ص تساوي الـ ك.

وبعد كده تاني خطوة: بنحدّد السعة. والسعة دي اللي هي قيمة الـ أ إن وجدت. وبنستخدمها لرسم خطّ متقطّع يوضّح القيمة العظمى والقيمة الصغرى للدالة. والخطّ القيمة العظمى ده بيبقى الـ ص تساوي الـ ك زائد قيمة الـ أ، ده للقيمة العظمى. والقيمة الصغرى بيبقى معادلة الخطّ بتاعها: ص يساوي ك ناقص قيمة الـ أ.

ثالث خطوة عندنا: بنحدّد طول دورة الدالة، اللي هي قيمتها ب. وبعدين بنرسم الدالة المناسبة اللي عندنا. بعد كده بنحدّد إزاحة الطور، اللي هي قيمة الـ ز، اللي هي بتمثّل الإزاحة الأفقية على محور الـ 𝜃. وبعد كده بننقل الرسم اللي إحنا رسمناه هنا تبعًا لقيمة الإزاحة اللي جِبناها، اللي هي إزاحة الطور.

نقلب الصفحة، وناخد مثال. اوجد السعة، وطول الدورة، وإزاحة الطور، والإزاحة الرأسية للدالة: ص تساوي تلاتة جا اتنين على تلاتة مضروبة في، الـ 𝜃 ناقص الـ 𝜋، زائد أربعة. ثم ارسم الدالة.

دي الصيغة العامّة لدالة الجيب. الـ أ بتمثّل السعة. يبقى هنا السعة، اللي هي تساوي القيمة المطلقة لقيمة الـ أ، هتساوي تلاتة. طول الدورة بنحسبها اتنين 𝜋 على القيمة المطلقة للـ ب. يبقى طول الدورة هتساوي اتنين 𝜋 على اتنين، على تلاتة، القيمة المطلقة لها اللي هي الاتنين على تلاتة. يبقى هنختصر الاتنين مع الاتنين. هتبقى طول الدورة تلاتة 𝜋.

إزاحة الطور هتساوي القيمة اللي حاصل فيها إزاحة للزاوية 𝜃، اللي هي هتساوي 𝜋. بعد كده الإزاحة الرأسية اللي هي قيمة الثابت أربعة. نبقى عارفين إن طول الدورة دي يمثّل مقدار تمدّد الشكل. وإزاحة الطور ده يعني معناه إن الشكل بيتمّ إزاحته بمقدار 𝜋 إلى اليمين؛ لأن القيمة موجبة. الإزاحة الرأسية بتساوي أربعة. يعني إزاحة الشكل بمقدار أربع وحدات إلى أعلى؛ عشان برضو قيمته موجبة.

بعد كده مطلوب رسم الدالة. خطوات رسم الدالة. دي خطوات الرسم: حدّد مقدار الإزاحة الرأسية. جِبنا قيمتها موجب أربعة. نرسم خطّ الوسط، اللي هو هيبقى الـ ص يساوي أربعة. نحدّد السعة، اللي هي قيمتها تلاتة. ونستخدمها لرسم خطّ متقطّع يوضّح القيمة العظمى. يعني ص يساوي أربعة زائد تلاتة. وَ ص يساوي أربعة ناقص تلاتة. ده بيحدّد خطّ القيمة العظمى. والتاني بيحدّد القيمة الصغرى.

بعد كده هنرسم دورة الدالة، اللي هي هنا عندنا تلاتة 𝜋. يعني الشكل هيكرّر نفسه كل تلاتة 𝜋. وبعدين نرسم الدالة المناسبة له. بنحدّد إزاحة الطور بتاعنا، اللي هي قلنا: قيمتها 𝜋. يعني هنزيحه أفقيًّا يمين بمقدار 𝜋، وننقل الرسم بتاعنا.

نقلب الصفحة، ونشوف هنرسم إزَّاي. دي خطوات حلّ المثال ده. أول حاجة: معادلة الخطّ الوسط: ص يساوي أربعة. هنرسم خطّ الوسط. رَسْمه بالشكل ده: ص يساوي أربعة. بعد كده السعة تساوي تلاتة. يعني هنرسم خطّ متقطّع أعلى خطّ الوسط بمقدار تلات وحدات. يعني هيبقى هنا. ده هيمثّل القيمة العظمى للدالة. وخطّ آخر متقطّع أسفل خطّ الوسط بمقدار تلات وحدات. ده هيمثّل القيمة الصغرى. هيبقى بالشكل ده. ده ص يساوي واحد. وده ص يساوي سبعة. واللي في النصّ ما بينهم ص يساوي أربعة، اللي هو خطّ الوسط.

بعد كده هنرسم الدالة: ص تساوي تلاتة جا اتنين على تلاتة 𝜃، زائد أربعة من غير الإزاحة الأفقية. إحنا خلاص عملنا الإزاحة الرأسية، اللي هي موجب أربعة. يعني هنرسم دالة تلاتة جا اتنين على تلاتة 𝜃. هتبقى بالشكل ده. دالة جا، القيمة العظمى بتاعتها سبعة. القيمة الصغرى قيمتها واحد. وشكل دالة الجيب العادية، اللي هي الرئيسية. لكن ده من غير إزاحة الشكل. يعني ما فيش … الـ 𝜃 هنا ما فيهاش إزاحة.

نقلب الصفحة، ونرسم الرسم كله بعد ما هنضيف إزاحة الشكل بمقدار 𝜋 وحدة إلى اليمين. هيبقى الشكل بالشكل ده. المسافة دي هي الـ 𝜋، اللي بتمثّل الإزاحة الأفقية، اللي هي إزاحة الطور. يعني معنى كده إن النقطة دي، اللي هي بيتقاطع فيها الشكل اللي إحنا رسمناه، اللي هو لونه أخضر، اللي يمثّل تلاتة جا اتنين على تلاتة، 𝜃 ناقص 𝜋، زائد أربعة ده، قيمة النقطة دي 𝜋. يعني لو عايزين نتأكّد إن الرسم بتاعنا سليم، يبقى النقطة اللي عندها 𝜃 تساوي 𝜋، يبقى قيمة الـ ص هتساوي الأربعة. يبقى يمكن التأكّد من صحّة الرسم عن طريق التعويض بقيم مختلفة للـ 𝜃، والتأكّد من موقعها على الرسم.

طيب لو عوّضنا بالـ 𝜃 تساوي 𝜋، والدالة عندنا: ص تساوي تلاتة جا اتنين على تلاتة. هتبقى 𝜋 ناقص الـ 𝜋 زائد الأربعة هنا هتبقى دي صفر. يبقى الـ ص تساوي … تلاتة جا صفر يعني صفر زائد أربعة. يبقى هنا الـ ص قيمتها أربعة. وده فعلًا اللي عندنا في الرسم.

طيب لو عايزين نتأكّد إن القيمة دي فعلًا قيمتها سبعة؟ يبقى هنعوّض بالسبعة 𝜋 عَ الأربعة. يعني الـ 𝜃 تساوي سبعة 𝜋 على أربعة. هنعوّض بيها في الدالة الأساسية بتاعتنا، اللي هي ص تساوي تلاتة جا اتنين على تلاتة، سبعة 𝜋 على أربعة ناقص الـ 𝜋، زائد أربعة. هنشوف قيمة الـ ص هتبقى كام. المفروض تطلع قيمتها سبعة؛ عشان يبقى الرسم بتاعنا سليم. يبقى تلاتة جا اتنين على تلاتة … سبعة 𝜋 عَ الأربعة ناقص الـ 𝜋 هتبقى تلاتة 𝜋 على أربعة، زائد أربعة. هيساوي … التلاتة هنختصرها مع التلاتة. والأربعة مع الاتنين، هيبقى باقي اتنين. وهنا هيتبقّى واحد وواحد. يبقى تلاتة جا 𝜋 عَ الاتنين زائد أربعة. جا 𝜋 على اتنين بقيمتها واحد. يبقى … يبقى تلاتة في الواحد زائد الأربعة هيساوي سبعة. يبقى عند 𝜃 تساوي سبعة 𝜋 عَ الأربعة، فعلًا قيمة الـ ص كانت سبعة.

في الفيديو ده، اتكلّمنا عن انتقال التمثيل البياني للدوال المثلثية. إزَّاي بنستخدم إزاحة الطور والإزاحة الرأسية. إزَّاي بنطلّع قيمهم ونرسم الرسم. إزَّاي بنعرف طول الدورة وسعة الدالة. وبعد ما بنرسم مستخدمين الخطوات اللي اتكلّمنا عنها، إزَّاي بنتأكّد إن الرسم بتاعنا فعلًا صحيح.