فيديو السؤال: بحث قابلية اشتقاق دالة متعددة التعريف عند نقطة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت ﺩﺱ تساوي ثمانية ﺱ ناقص ثمانية حيث ﺱ أقل من سالب اثنين، وﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تكعيب حيث ﺱ أكبر من أو يساوي سالب اثنين، دالة متصلة، فأوجد قيمة ﺃ. ماذا يمكن أن يقال عن اشتقاق الدالة ﺩ عند ﺱ يساوي سالب اثنين؟

في هذا السؤال، لدينا الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ، وعلمنا أنها دالة متصلة. وعلينا استخدامها لإيجاد قيمة ﺃ. بالنظر إلى تعريف الدالة ﺩﺱ، نلاحظ أمرًا مثيرًا للاهتمام. عند ﺱ أقل من سالب اثنين، فإن الدالة ﺩﺱ تساوي تمامًا الدالة الخطية ثمانية ﺱ ناقص ثمانية. وعند ﺱ أكبر من أو يساوي سالب اثنين، نلاحظ أن الدالة ﺩﺱ تساوي تمامًا الدالة التكعيبية ﺃﺱ تكعيب. ونحن نعلم أن كلتا الدالتين من الأمثلة على الدوال الكثيرات الحدود. ومن ثم، فهما دالتان متصلتان لجميع قيم ﺱ الحقيقية. بعبارة أخرى، ﺩﺱ دالة متعددة التعريف يمثل كل جزء منها دالة متصلة.

وهذه الدوال تسمى دوال متصلة متعددة التعريف. ونحن نعلم أن الدوال المتصلة المتعددة التعريف تكون متصلة عند جميع النقاط، ربما باستثناء النقاط عند أطراف الفترات. إذن، في الحالة لدينا، لا تهم ما هي قيمة ﺃ. وذلك لأننا نعلم أن ﺩ متصلة دائمًا لجميع قيم ﺱ الأقل من سالب اثنين، وجميع قيم ﺱ الأكبر من سالب اثنين. نحن فقط لا نعلم ما يحدث عند ﺱ يساوي سالب اثنين.

نحن نعلم بالطبع أن ﺩﺱ دالة متصلة. إذن لا بد أن تكون هذه الدالة متصلة عند ﺱ يساوي سالب اثنين. ولكي يسهل علينا إيجاد قيمة ﺃ، دعونا نسترجع تعريف الاتصال عند ﺱ يساوي سالب اثنين. هناك العديد من الطرق المختلفة لكتابة ذلك. سنسترجع منها الطريقة الآتية.

إننا نقول إن ﺩ دالة متصلة عند ﺱ يساوي سالب اثنين إذا تحققت الشروط الثلاثة الآتية. الشرط الأول هو أن قيمة ﺩ لا بد أن تكون معرفة عند سالب اثنين. وثمة طريقة أخرى للتعبير عن ذلك؛ وهي أن نقول إن سالب اثنين لا بد أن يقع في مجال الدالة ﺩﺱ. الشرط التالي هو أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليسار لـ ﺩﺱ مساوية للنهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليمين لـ ﺩﺱ. وبصورة مكافئة، عادة ما يكتب هذا على صورة النهاية لـ ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين. لكن الصورة التي كتبناها مفيدة أكثر في حالة الدوال المتعددة التعريف.

وأخيرًا، يجب أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين مساوية لقيمة ﺩ عند سالب اثنين. وتجدر الإشارة إلى أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺩﺱ ستساوي كلًّا من النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليسار لـ ﺩﺱ، والنهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليمين لـ ﺩﺱ. إذن، علينا التحقق من جميع هذه الشروط الثلاثة.

دعونا نبدأ بالشرط الأول. علينا أن نثبت أن سالب اثنين يقع في مجال الدالة ﺩﺱ. ويمكننا فعل ذلك بتطبيق تعريف الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ. قيمة ﺩ عند سالب اثنين تساوي ﺃ في سالب اثنين الكل تكعيب، وهو ما يمكن تبسيطه لنحصل على سالب ثمانية ﺃ. إذن، سالب اثنين يقع في مجال الدالة ﺩﺱ.

للتحقق من الجزء الثاني من شرط الاتصال، سنتحقق من هاتين النهايتين كل على حدة. دعونا نبدأ بالنهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليسار للدالة ﺩﺱ. بما أن ﺱ يقترب من سالب اثنين من جهة اليسار، فإن جميع قيم ﺱ ستكون أقل من سالب اثنين. ووفقًا لتعريف الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ، فإنه عند ﺱ أقل من سالب اثنين، نجد أن الدالة ﺩﺱ تساوي تمامًا الدالة الخطية ثمانية ﺱ ناقص ثمانية. إذن، بما أن هاتين الدالتين متساويتان تمامًا عند ﺱ أقل من سالب اثنين، فإن نهايتيهما عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليسار ستكونان متساويتين أيضًا.

وبالطبع، هذه نهاية دالة خطية. ومن ثم، يمكننا إيجاد قيمتها باستخدام التعويض المباشر. بالتعويض عن ﺱ بسالب اثنين، نحصل على ثمانية مضروبًا في سالب اثنين ناقص ثمانية. وإذا حسبنا هذا المقدار، فسنحصل على سالب ٢٤.

علينا الآن حساب النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليمين للدالة ﺩﺱ. هذه المرة، بما أن قيم ﺱ تقترب من سالب اثنين من جهة اليمين، فإن جميع قيم ﺱ ستكون أكبر من سالب اثنين. مرة أخرى، بناء على تعريف الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ، نلاحظ أنه عندما تكون قيم ﺱ أكبر من أو تساوي سالب اثنين، فإن الدالة ﺩﺱ تساوي تمامًا الدالة التكعيبية ﺃﺱ تكعيب. وبما أن هاتين الدالتين متساويتان تمامًا عند ﺱ أكبر من أو يساوي سالب اثنين، فإن نهايتيهما عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليمين ستكونان متساويتين أيضًا.

لكننا نلاحظ الآن أننا نحسب النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليمين لكثيرة الحدود التكعيبية. لذا، ومرة أخرى، يمكننا إيجاد هذه القيمة باستخدام التعويض المباشر. ونحصل بذلك على ﺃ في سالب اثنين الكل تكعيب، وهو ما يمكننا بالطبع تبسيطه لنحصل على سالب ثمانية ﺃ. تذكر أن السؤال أخبرنا أن ﺩﺱ دالة متصلة. لذا، فإنها لا بد أن تكون متصلة عند ﺱ يساوي سالب اثنين تحديدًا.

إذن، باستخدام شرط الاتصال الثاني، لا بد أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليسار للدالة ﺩﺱ مساوية للنهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليمين للدالة ﺩﺱ. بعبارة أخرى، سالب ٢٤ لا بد أن يساوي سالب ثمانية ﺃ. وإذا حللنا هذه المعادلة بقسمة طرفيها على سالب ثمانية، فسنجد أن ﺃ لا بد أن يساوي ثلاثة. ومساواة ﺃ بثلاثة يعني أن كلًّا من النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين من جهة اليسار للدالة ﺩﺱ، والنهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين من جهة اليمين للدالة ﺩﺱ، يساوي سالب ٢٤. في الواقع، مساواة ﺃ بثلاثة يجعل أيضًا قيمة ﺩ عند سالب اثنين تساوي سالب ٢٤، ونلاحظ أن هذا هو أيضًا شرط الاتصال الثالث. إذن، إذا جعلنا ﺃ يساوي ثلاثة، فإن الدالة ﺩﺱ ستكون متصلة لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ.

مطلوب منا في الجزء التالي من السؤال بحث قابلية الدالة ﺩ للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب اثنين. لفعل ذلك، دعونا نفرغ بعض المساحة. تذكر أن مشتقة ﺩ عند ﺱ يساوي سالب اثنين من المفترض أن تخبرنا بميل المماس عند ﺱ يساوي سالب اثنين. ونلاحظ أن ﺱ يساوي سالب اثنين يمثل نقطة نهاية الفترة. بعبارة أخرى، هو النقطة التي يلتقي عندها جزءا الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ.

حسنًا، لقد أوضحنا بالفعل أن هذين الجزأين يلتقيان عند النقطة نفسها. وأوضحنا ذلك عندما تحققنا من اتصال ﺩ عند ﺱ يساوي سالب اثنين. لكن لكي يكون للمماس ميل محدد عند هذه النقطة، لا بد أن يتساوى الميل من جهة اليسار مع الميل من جهة اليمين.

يمكننا فعل ذلك الآن باستخدام المبادئ الأولى لتعريف المشتقات. لكن ثمة طريقة أسهل؛ لأن لدينا دالة متصلة متعددة التعريف، ونحن نعلم أيضًا كيفية اشتقاق كل جزء من هذه الدالة. يمكننا في الواقع إيجاد تعبير لـ ﺩ شرطة ﺱ باشتقاق كل جزء أولًا. سنحصل على ﺩ شرطة ﺱ تساوي مشتقة ثمانية ﺱ ناقص ثمانية بالنسبة إلى ﺱ إذا كان ﺱ أقل من سالب اثنين، وﺩ شرطة ﺱ تساوي مشتقة ثلاثة ﺱ تكعيب بالنسبة إلى ﺱ إذا كان ﺱ أكبر من سالب اثنين.

ثمة أمر يجب أن نؤكد عليه هنا. وهو أن هذا لا يخبرنا بقابلية الدالة ﺩﺱ للاشتقاق عند طرفي الفترة. إذن، في الحالة لدينا، لم يخبرنا هذا بعد إذا ما كانت ﺩﺱ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب اثنين. لكن هذا سيساعدنا في التحقق إذا ما كان الميل من جهة اليسار يتطابق مع الميل من جهة اليمين.

لقد أصبح بإمكاننا الآن إيجاد قيمتي هاتين المشتقتين. لدينا أولًا ثمانية ﺱ ناقص ثمانية، وهي دالة خطية. إذن، مشتقتها بالنسبة إلى ﺱ تساوي معامل ﺱ؛ وهو ثمانية في هذه الحالة. بعد ذلك، لاشتقاق ثلاثة ﺱ تكعيب بالنسبة إلى ﺱ، سنستخدم قاعدة القوة للاشتقاق. علينا الضرب في أس ﺱ ثم طرح واحد من الأس. وهذا يعطينا تسعة ﺱ تربيع.

وبذلك نكون قد أوجدنا ميل الدالة ﺩﺱ عند ﺱ أقل من سالب اثنين، وميل الدالة ﺩﺱ عند ﺱ أكبر من سالب اثنين. يمكننا استخدام هذه النتيجة لإيجاد ميل الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليسار، وأيضًا إيجاد ميل الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليمين. دعونا نبدأ بميل ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليسار.

عند ﺱ أقل من سالب اثنين، نلاحظ أن ميل الدالة ﺩﺱ يساوي الثابت ثمانية. إذن هذه القيمة تساوي ثمانية. يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد ميل ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليمين. بما أن ﺱ يقترب من سالب اثنين من جهة اليمين، فإن قيم ﺱ أكبر من سالب اثنين. ونحن نعلم في هذه الحالة أن ميل ﺩﺱ يساوي تسعة ﺱ تربيع. وبالطبع، هذه كثيرة حدود تربيعية. ومن ثم، يمكننا إيجاد الحل باستخدام التعويض المباشر. ونحصل بذلك على تسعة في سالب اثنين الكل تربيع. وإذا حسبنا قيمة هذا التعبير، فسنحصل على ٣٦.

إذن، ما أوضحناه هنا هو أن الميل عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليسار لـ ﺩﺱ لا يساوي الميل عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليمين لـ ﺩﺱ. وهذا يخبرنا أن ﺩ من غير المحتمل أن تكون قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب اثنين. وتجدر الإشارة أيضًا إلى أنه إذا كانت هاتان القيمتان متساويتين، فعلينا أيضًا التحقق من أن الدالة ﺩ متصلة عند سالب اثنين. لكننا فعلنا ذلك بالفعل.

إذن، بمعلومية أن الدالة ﺩﺱ تساوي ثمانية ﺱ ناقص ثمانية حيث ﺱ أقل من سالب اثنين، وﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تكعيب حيث ﺱ أكبر من أو يساوي سالب اثنين، دالة متصلة، تمكنا من توضيح أن قيمة ﺃ لا بد أن تساوي ثلاثة. واستطعنا أيضًا توضيح أن الدالة ﺩﺱ غير قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب اثنين.