فيديو السؤال: إيجاد الحل العام لدالة الجيب التي تتضمن زوايا خاصة الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد الحل العام للمعادلة جا 𝜃 يساوي جذر اثنين على اثنين.

حسنًا، يتمثل أحد الحلول في ‏𝜋‏ على أربعة راديان. ولعلك تعلم ذلك لأن ‏𝜋‏ على أربعة زاوية خاصة، وبالتالي ربما تعلم أن قيمة جا ‏𝜋‏ على أربعة يساوي جذر اثنين على اثنين. وإن كنت لا تعلم ذلك، فيمكنك استخدام الآلة الحاسبة وإدخال sin أس سالب واحد أو الدالة العكسية لـ جا لجذر اثنين على اثنين، وستحصل على ‏𝜋‏ على أربعة راديان، بافتراض أنك حصلت على الناتج في وضع الراديان، وهو الوضع الصحيح، أو غالبًا الدرجات أو أي وضع آخر.

لكن بالطبع ليس ذلك سوى حل واحد للمعادلة ومطلوب إيجاد الحل العام، إذن كيف يمكننا إيجاده؟

انظر إلى منحنى الدالة ﺹ يساوي جا 𝜃. إذا رسمنا الخط المستقيم ﺹ يساوي جذر اثنين على اثنين، فسنلاحظ أنه غالبًا ما‎ يقطع منحنى دالة الجيب عدد لا نهائي من المرات. وكما هو متوقع، تحدث أحد هذه التقاطعات عندما ﺱ يساوي ‏𝜋‏ على أربعة، وهو أحد الحلول التي توصلنا إليها.

ويمكننا استخدام هذا الحل والتماثلات الموجودة في منحنى دالة الجيب لإيجاد جميع الحلول الأخرى. على سبيل المثال، هل يمكننا رؤية قيمة 𝜃 التي تناظر هذا التقاطع؟

يمكننا أن نرى أن قيمة 𝜃 هذه تبعد عن ‏𝜋‏ بالمقدار نفسه الذي تبعد به ‏𝜋‏ على أربعة عن صفر، إذن هذا الحل هو ‏𝜋‏ ناقص ‏𝜋‏ على أربعة، وهو ما يمكن أن نكتبه على الصورة ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة.

وإن كنت غير مقتنع بأن مجرد النظر إلى المنحنى يثبت صحة ذلك، فيمكنك استخدام حقيقة أن جا ‏𝜋‏ ناقص 𝜃 يساوي جا 𝜃. إذن جا ‏𝜋‏ ناقص ‏𝜋‏ على أربعة يساوي جا ‏𝜋‏ على أربعة، مع التعويض فقط عن 𝜃 بـ ‏𝜋‏ على أربعة. ولأن جا ‏𝜋‏ على أربعة يساوي جذر اثنين على اثنين كما أوضحنا سابقًا، فإن جا ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة يساوي جذر اثنين على اثنين كذلك.

إذن لدينا الآن حلان للمعادلة، وإن كنا ما نزال نرى أكثر من ذلك على المنحنى. لكن، على الرغم من أن هذين الحلين ليسا الوحيدين، فهما الحلان الوحيدان اللذان يقعان بين صفر واثنين ‏𝜋‏.

تنتج جميع الحلول الأخرى بسبب دورية جيب الدالة. على سبيل المثال، هذا الحل يزيد بمقدار اثنين ‏𝜋‏ فقط عن الحل السابق، وهو ‏𝜋‏ على أربعة، وبالطبع سيوجد حل آخر عند إضافة اثنين ‏𝜋‏ مرة أخرى، وإن كان غير مرسوم على المنحنى.

وينطبق الأمر نفسه إذا طرحنا اثنين ‏𝜋‏. في الحقيقة، لأي عدد صحيح ﻥ، يمثل ‏𝜋‏ على أربعة زائد اثنين ‏𝜋‏ﻥ أحد الحلول. وينطبق الأمر نفسه على الحل ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة لأي عدد صحيح ﻥ، ومن ثم يعد ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة زائد اثنين ‏𝜋‏ﻥ حلًا للمعادلة، ومن المفترض أنك بالنظر إلى المنحنى ستعرف أن أي حل لهذه المعادلة تكون صورته على هاتين الصورتين.

إذن، لنكتب هاتين الصورتين معًا، وسيكون ذلك هو الحل العام. بدمج المقدارين اللذين توصلنا إليهما، نحصل على الحل العام وهو أن 𝜃 تساوي ‏𝜋‏ على أربعة زائد اثنين ‏𝜋‏ﻥ أو ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة زائد اثنين ‏𝜋‏ﻥ؛ حيث ﻥ عدد صحيح.

بدلًا من ذلك، يمكننا أن نختار عدم تبسيط ‏𝜋‏ ناقص ‏𝜋‏ على أربعة. وهذا من شأنه أن يسهل علينا ملاحظة العلاقة مع الدالة العكسية لـ جا لجذر اثنين على اثنين، وهو ما يساوي ‏𝜋‏ على أربعة، ومن ثم نحصل على الإجابة نفسها بطريقة مختلفة قليلًا ومبسطة وهي ‏𝜋‏ على أربعة زائد اثنين ‏𝜋‏ﻥ أو ‏𝜋‏ ناقص ‏𝜋‏ على أربعة زائد اثنين ‏𝜋‏ﻥ؛ حيث ﻥ عدد صحيح.