نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية إيجاد احتمال الأحداث المركبة وتفسيره. وسنتناول كلًا من الأحداث المركبة المستقلة وغير المستقلة.
عندما نفكر في احتمال حدث بسيط، فهذا يعني أننا بصدد احتمال حدث واحد لا يعتمد على حدث آخر. على سبيل المثال، يعد إلقاء عملة معدنية حدثًا بسيطًا. فهو حدث واحد تنتج عنه إحدى نتيجتين: صورة أو كتابة.
نذكر أن احتمال وقوع الحدث ﺃ يعني جميع طرق وقوع الحدث ﺃ على جميع النتائج الممكنة. بالنسبة إلى حدث بسيط، مثل إلقاء عملة معدنية، نجد أن احتمال الحصول على صورة هو واحد على اثنين. فمن بين الخيارين المحتملين، هناك احتمال واحد للحصول على صورة. لكن إذا ألقينا العملة مرتين، فهذا يعني أن الحدث لم يعد يستوفي تعريف الحدث البسيط؛ لأنه لا يمثل حدثًا واحدًا. وبإلقاء العملة مرتين، فإننا ننتقل من حدث بسيط إلى حدث مركب.
والآن، نريد معرفة الخطوات التي سنتبعها لإيجاد احتمال وقوع حدث مركب. وبالمثل، فإن احتمال حدث مركب يساوي عدد النتائج الناجحة على عدد جميع النتائج الممكنة. ولكنه سيتطلب عدة خطوات إضافية لحسابه. إليك مثال على إيجاد احتمال وقوع حدث مركب.
إذا ألقينا عملة معدنية مرتين، فما احتمال الحصول على صورة في المرتين؟
لعلنا نذكر أن الاحتمال يساوي عدد النتائج الناجحة على عدد جميع النتائج الممكنة. ألقيت العملة مرتين. يمكننا هنا استخدام مخطط الشجرة البيانية لاستعراض جميع النتائج الممكنة. في المرة الأولى لإلقاء العملة، تكون لديك نتيجة محتملة للحصول على صورة أو كتابة. احتمال الحصول على صورة في المرة الأولى هو نصف. واحتمال الحصول على كتابة في المرة الأولى لإلقاء العملة هو نصف.
والآن، علينا التفكير في موقفين مختلفين. سنفكر في احتمالات المرة الثانية لإلقاء العملة إذا كانت نتيجة المرة الأولى صورة. بما أن النتيجة المحتملة للرمية الثانية هي صورة أو كتابة فقط، فإن احتمال الحصول على صورة هو نصف واحتمال الحصول على كتابة هو نصف كذلك. لنفكر الآن إذا كانت نتيجة الرمية الأولى هي كتابة، فإن النتيجة المحتملة للرمية الثانية هي صورة أو كتابة. ولكل من هذين الخيارين احتمال يساوي نصفًا.
يمكننا من خلال مخطط الشجرة البيانية رؤية جميع النتائج الممكنة؛ صورة صورة أو صورة كتابة أو كتابة صورة أو كتابة كتابة. نريد معرفة احتمال الحصول على صورة في المرتين. وهذا يحدث مرة واحدة من أصل النتائج الأربع الممكنة. وكما نلاحظ، فإن احتمال الحصول على صورة في المرة الأولى كان نصفًا، واحتمال الحصول على صورة في المرة الثانية كان نصفًا.
والفكرة هنا أنه لإيجاد احتمال الحصول على صورة في المرتين، فإننا نضرب احتمال الحصول على صورة في المرة الأولى في احتمال الحصول على صورة في المرة الثانية. ربع يساوي نصفًا في نصف. ولعلنا نذكر أنه بإمكاننا أيضًا كتابة الاحتمال كعدد عشري. إذن، إذا ألقينا عملة معدنية مرتين، فإن احتمال الحصول على صورة في المرتين هو ربع أو ٠٫٢٥.
إليك مثال بسيط آخر على احتمال حدث مركب.
إذا أدير هذان القرصان الدواران، فما احتمال توقف السهمين على عددين مجموعهما أحد مضاعفات العدد خمسة؟
لحساب هذا الاحتمال، سنفترض أن تدوير القرص الأول يمثل الحدث الأول وتدوير القرص الثاني يمثل الحدث الثاني، وهو ما يجعل هذا حدثًا مركبًا. لمعرفة احتمال أن يكون مجموع الأعداد التي يستقر عندها القرصان أحد مضاعفات العدد خمسة، علينا تحديد النتائج التي تمثل مضاعفات العدد خمسة على إجمالي عدد النتائج ككل. هناك عدة طرق يمكننا استخدامها. يمكننا إنشاء مخطط شجرة بيانية للقرصين واحد واثنين. لكن، علينا جمع نتائج القرصين واحد واثنين، ومن ثم فالجدول يمثل الخيار الأفضل هنا.
في الصف الأول والعمود الأول، سنضيف العدد الذي يستقر عنده السهم في القرص الأول عند العدد واحد والعدد الذي يستقر عنده السهم في القرص الثاني عند العدد اثنين، وسيكون المجموع هنا ثلاثة. وبعد ذلك، سنرى إذا استقر السهم في القرص الأول عند واحد وفي القرص الثاني عند أربعة. وبذلك، يكون المجموع خمسة. سنملأ بقية خانات الجدول بنواتج الجمع الصحيحة. وبذلك، سيكون لدينا في الجدول جميع النتائج الممكنة. ويمكننا هنا وضع دائرة حول النتائج التي تمثل مضاعفات العدد خمسة.
سنجد أننا حددنا خمس نتائج تمثل مضاعفات العدد خمسة من أصل ٢١ احتمالًا. احتمال أن يكون مجموع الأعداد الناتجة في القرصين أحد مضاعفات العدد خمسة هو خمسة على ٢١. ونظرًا لأنه لا يمكن تبسيط الكسر أكثر من ذلك، فستكون الإجابة النهائية هي خمسة على ٢١.
قبل الانتقال إلى أمثلة أخرى، دعونا نلقي نظرة عن قرب على الأحداث المركبة. هناك نوعان من الأحداث المركبة. لدينا أحداث مركبة مستقلة، وأحداث مركبة غير مستقلة. في الأمثلة السابقة، لم نتعامل حتى الآن إلا مع الأحداث المستقلة.
إلقاء عملة عدة مرات هو حدث مستقل. فما يحدث عند إلقاء عملة في المرة الأولى لا يؤثر على ما يحدث في المرة الثانية. وسواء حصلنا على صورة أم كتابة في الرمية الأولى، فإن هذا لن يؤثر على الاحتمال ناتج التجربة في الرمية الثانية. وينطبق الأمر نفسه على القرصين الدوارين. فالقرص الأول، أو في الواقع المرة الأولى لتدوير القرص، لا يؤثر على نتائج التدوير في المرات التالية.
من ناحية أخرى، إذا كانت لدينا حقيبة مليئة بكرات صغيرة ونريد إيجاد احتمال سحب كرة صفراء دون أن نعيدها إلى داخل الحقيبة، فنحن هنا نغير عدد النتائج الممكنة للحدث الثاني. إذا كنا نريد إيجاد احتمال سحب كرة صفراء في المرة الأولى وكرة خضراء في المرة الثانية، فإننا سنعمل على إيجاد احتمال سحب كرة صفراء أولًا. وعلينا بعد ذلك إيجاد احتمال سحب كرة خضراء، مع العلم بسحب الكرة الصفراء بالفعل.
إذا كان لدينا حدثان ﺃ وﺏ ونعلم أن وقوع الحدث ﺃ لا يؤثر على احتمال وقوع الحدث ﺏ، فهذا يعني أن الحدثين مستقلان. وفي تلك الحالة، نقول إن احتمال وقوع الحدثين ﺃ وﺏ هو احتمال وقوع ﺃ مضروبًا في احتمال وقوع ﺏ. وتكون الأحداث المركبة غير مستقلة إذا كان وقوع الحدث ﺃ يؤثر على احتمال وقوع الحدث ﺏ. وفي تلك الحالة، يكون احتمال وقوع الحدثين ﺃ وﺏ مساويًا لاحتمال وقوع الحدث ﺃ في احتمال وقوع الحدث ﺏ مع العلم بوقوع الحدث ﺃ.
لننظر الآن في كيفية إيجاد احتمال وقوع حدثين إذا كنا نعلم بالفعل أنهما حدثان مستقلان.
ﺃ وﺏ حدثان مستقلان، حيث احتمال وقوع ﺃ يساوي ثلثًا واحتمال وقوع ﺏ يساوي خمسين. ما احتمال وقوع الحدثين ﺃ وﺏ معًا؟
نعلم أن هذين الحدثين مستقلان، ما يعني أن وقوع الحدث ﺃ لا يؤثر على احتمال وقوع ﺏ. ويمكننا القول إن احتمال وقوع كل من ﺃ وﺏ هو احتمال وقوع ﺃ مضروبًا في احتمال وقوع ﺏ. وبذلك، فإن احتمال وقوع ﺃ وﺏ يساوي ثلث في خمسين. نضرب البسطين ثم المقامين بذلك فنحصل على اثنين على ١٥. ولا يمكننا هنا التبسيط أكثر من ذلك. إذن، هذه هي الإجابة النهائية. أي أن احتمال وقوع الحدثين ﺃ وﺏ هو اثنان على ١٥.
ويعد هذا السؤال مباشرًا للغاية لأننا نعلم أن الحدثين مستقلان، وكان لدينا احتماليهما ضمن المعطيات. ولكن، لن تكون العملية مباشرة هكذا طوال الوقت. وسنحتاج في حالات عديدة إلى تحديد ما إذا كانت الأحداث مستقلة أم لا. يعد المثال التالي واحدًا من الحالات التي سنحتاج فيها إلى تحديد ما إذا كان الحدثان مستقلين أم غير مستقلين.
تحتوي حقيبة على ثماني كرات حمراء وسبع كرات خضراء و ١٢ كرة زرقاء و ١٥ كرة برتقالية وسبع كرات صفراء. إذا سحبت كرتان على التوالي، دون إعادتهما إلى داخل الحقيبة، فما احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية زرقاء؟
يجب أن نلاحظ أننا نتعامل مع حدثين مختلفين، ما يعني أنهما حدثان مركبان. وبما أننا نسحب الكرات من الحقيبة ولا نعيدها، فإننا لا نعيدها إلى الحقيبة مجددًا. هذا يعني أن ما يحدث في المرة الأولى سيؤثر على احتمال الناتج في المرة الثانية. ونستنتج من ذلك أن هذين حدثان مركبان غير مستقلين. عندما نحاول إيجاد احتمال حدثين مركبين غير مستقلين، فإننا نجد أنه يساوي احتمال وقوع الحدث ﺃ في احتمال وقوع الحدث ﺏ مع العلم بوقوع الحدث ﺃ.
في هذه الحالة، نريد حساب احتمال سحب كرة حمراء ثم كرة زرقاء. نعلم أن الاحتمال يساوي عدد النتائج الناجحة على عدد جميع النتائج الممكنة. وعلينا أولًا حساب احتمال اختيار كرة حمراء عند السحب أول مرة. عندما بدأنا، كانت هناك ثماني كرات حمراء. وسنجد أن لدينا في الحقيبة قبل السحب سبعة زائد سبعة زائد ثمانية زائد ١٢ زائد ١٥ كرة، ليكون الإجمالي ٤٩ كرة. عند السحب أول مرة، سنجد أن احتمال سحب كرة حمراء هو ثمانية على ٤٩.
إذا سحبنا كرة حمراء في أول مرة، فستتبقى لدينا ٤٨ كرة. ومن أصل ٤٨ كرة، هناك ١٢ كرة زرقاء. ومن ثم، سيكون احتمال سحب كرة حمراء ثم كرة زرقاء هو ثمانية على ٤٩ في ١٢ على ٤٨. ويمكننا تبسيط هذين الكسرين قبل ضربهما. يمكن تبسيط ١٢ على ٤٨ إلى ربع. وتبسيط ثمانية على أربعة إلى اثنين على واحد. إذن، فإن احتمال سحب كرة حمراء ثم كرة زرقاء يساوي اثنين على ٤٩، وهو ما لا يمكن تبسيطه أكثر من ذلك. لذا، ستكون الإجابة النهائية هي اثنان على ٤٩.
سنلقي نظرة الآن على مثال آخر غير معلوم فيه ما إذا كان الحدثان مستقلين أم غير مستقلين.
سقط نيزك بشكل عشوائي في حقل مليء بالأغنام. بالنظر إلى حجم النيزك ومساحة الحقل والمساحة التي تشغلها الأغنام، فإن احتمال تعرض بعض الأغنام للضرر في هذا الحادث يساوي واحد على ٣٥. في مكان مجاور، سقط لوح من طائرة مروحية في حقل به أبقار. حجم اللوح كبير جدًا والحقل يكاد يكون ممتلئًا بالأبقار. احتمال تعرض بعض الأبقار للضرر يساوي ثلثًا. ما احتمال عدم إصابة أي حيوان في الحادثين؟
ما يعنينا هو الاحتمال. ولدينا هنا حادثان. إذن، نحن نعلم أننا سنتعامل مع حدثين مركبين لحساب الاحتمال. إذا فكرنا في الحدثين، سقوط النيزك واللوح، فهل نرى أنهما مستقلان أم غير مستقلين؟ هل وقوع الحدث الأول يؤثر على احتمال وقوع الحدث الثاني؟ إذا أصيب أحد الأغنام، فهل سيؤثر هذا على احتمالية إصابة إحدى الأبقار؟
بما أن الحدث الأول لا يؤثر على احتمال الحدث الثاني، يمكننا القول إن هذين الحدثين المركبين مستقلان. ونظرًا لأننا نتعامل مع أحداث مركبة مستقلة، فإن احتمال وقوع الحدثين ﺃ وﺏ هو احتمال وقوع ﺃ في احتمال وقوع ﺏ.
ما يهمنا هو احتمال سلامة الأغنام والأبقار. ينبغي توخي الحذر هنا؛ لأننا ليس لدينا سوى احتمال إصابة الأغنام. لإيجاد احتمال سلامة الأغنام، يمكننا طرح احتمال إصابة الأغنام من واحد. إذا كان احتمال إصابة الأغنام هو واحد من أصل ٣٥ احتمالًا، فهذا يعني أن احتمال سلامة الأغنام هو ٣٤ من ٣٥. وبهذا، يمكننا الاستعانة بتلك المعلومات والتعويض بها في الصيغة لدينا. احتمال أن تكون الأغنام سالمة هو ٣٤ من ٣٥.
علينا إجراء الخطوات نفسها مع الأبقار. احتمال أن تكون الأبقار سالمة هو واحد ناقص ثلث، وهو ما يساوي ثلثين. ويمكننا التعويض بهذا للحدث ﺏ. احتمال أن تكون جميع الأغنام والأبقار سالمة يساوي احتمال سلامة الأغنام في احتمال سلامة الأبقار. ٣٤ على ٣٥ في ثلثين، ومن ثم نحصل على ٦٨ على ١٠٥. إذن، احتمال عدم إصابة أي حيوان في الحادثين هو ٦٨ على ١٠٥. ولا يمكن اختزال أو تبسيط الكسر، لذا هذه هي الإجابة النهائية.
وهنا، علينا أن نلاحظ شيئًا. احتمالات الأحداث المركبة هي احتمالات تتعامل مع أكثر من حدث بسيط واحد. وهذا يعني أنه يمكن أن يكون لدينا أكثر من حدثين نتعامل معها. يمكنك إلقاء عملة معدنية ثلاث مرات أو ١٥ مرة. يعد هذا حدثًا مستقلًا. إذن، عليك اتباع الخطوات نفسها لإيجاد احتمال وقوع الأحداث المركبة عندما تكون أكثر من حدثين. سنضرب احتمال وقوع الحدث ﺃ في احتمال وقوع الحدث ﺏ في احتمال وقوع الحدث ﺟ.
تتبع الخطوات نفسها مع الأحداث غير المستقلة، لكن علينا أن نكون أكثر حذرًا. لإيجاد احتمال وقوع ثلاثة أحداث مستقلة، ﺃ وﺏ وﺟ، نحسب احتمال وقوع ﺃ في احتمال وقوع ﺏ مع العلم بوقوع ﺃ. ثم علينا الضرب في احتمال وقوع ﺟ مع العلم بوقوع كل من ﺃ وﺏ.
والآن، لنلخص ما تعلمناه. يعنى احتمال الأحداث المركبة باحتمال وقوع أكثر من حدث. قد تكون الأحداث المركبة مستقلة أو غير مستقلة. بالنسبة إلى الأحداث المركبة غير المستقلة، فإن احتمال وقوع ﺃ وﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ في احتمال وقوع ﺏ. لحساب احتمال وقوع أحداث مركبة غير مستقلة، يمكننا القول إن احتمال وقوع ﺃ وﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ في احتمال وقوع ﺏ مع العلم بوقوع ﺃ.
