فيديو السؤال: تقدير احتمالات التوزيع الطبيعي الواردة في سياق الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

متوسط وزن التفاحة في محصول التفاح يساوي ١٠٥ جرامات والانحراف المعياري يساوي ثلاثة جرامات. من المفترض أن التوزيع الطبيعي هو نموذج ملائم لهذه البيانات. ما الاحتمال التقريبي لأن يكون وزن تفاحة تم اختيارها عشوائيًّا من المحصول بين ٩٩ جرامًا و١١١ جرامًا؟

حسنًا، تذكر أن التمثيل البياني للمنحنى الذي يمثل التوزيع الطبيعي وله متوسط 𝜇 وانحراف معياري 𝜎 يكون على شكل جرس ويكون متماثلًا حول المتوسط، وأن المساحة الكلية أسفل المنحنى تساوي ١٠٠ بالمائة أو واحدًا. من المفيد رسم المنحنى لمساعدتك في تحديد أفضل طريقة لحساب الاحتمالات.

متوسط وزن التفاحة في محصول التفاح في هذه المسألة هو ١٠٥ جرامات، والانحراف المعياري هو ثلاثة. مطلوب منا في هذا السؤال حساب احتمال اختيار تفاحة عشوائيًّا يتراوح وزنها بين ٩٩ جرامًا و١١١ جرامًا. ويمثل ذلك بالمساحة المظللة. بعد أن نرسم ذلك، يمكننا حساب قيمة ﺹ. هذه طريقة لمعايرة البيانات الموجودة لدينا أو توحيدها معياريًّا؛ فيما يعرف باسم التوزيع الطبيعي المعياري. بمجرد إكمال هذه الخطوة، يمكننا إيجاد الحل باستخدام جدول توزيع طبيعي معياري واحد.

دعونا نلق نظرة على قيمة ﺱ التي تساوي ١١١ جرامًا. يمكننا التعويض عن 𝜇 بـ ١٠٥، وعن 𝜎 بثلاثة. وبذلك، نجد أن قيمة ﺹ تساوي ١١١ ناقص ١٠٥ الكل مقسومًا على ثلاثة، وهذا يساوي اثنين. يمكننا بذلك إيجاد احتمال أن يكون وزن تفاحة اختيرت عشوائيًّا أقل من ١١١ جرامًا من خلال البحث عن قيمة ﺹ التي تساوي اثنين في الجدول. احتمال أن يكون ﺹ أصغر من اثنين هو ٠٫٩٧٧٢. وبالمثل، احتمال أن يكون ﺱ، الذي يمثل التفاحة التي اختيرت عشوائيًّا، أقل من ١١١ جرامًا هو أيضًا ٠٫٩٧٧٢.

لكن، تذكر أن المطلوب في السؤال هو معرفة احتمال أن يكون الوزن بين ٩٩ جرامًا و١١١ جرامًا. سيكون علينا إذن أن نطرح احتمال أن يكون الوزن أقل من ٩٩ جرامًا. سنعوض بـ ٩٩ في صيغة حساب قيمة ﺹ لدينا، فنحصل على: ٩٩ ناقص ١٠٥ الكل مقسوم على ثلاثة، ومن ذلك نجد أن قيمة ﺹ تساوي سالب اثنين.

حسنًا، بما أن جدول التوزيع الطبيعي المعياري لا يحتوي إلا على قيم موجبة لـ ﺹ، فعلينا استخدام تماثل المنحنى. بدلًا من ذلك، سنبحث عن قيمة ﺹ التي تساوي اثنين. إذا بحثنا عن قيمة ﺹ التي تساوي اثنين، فسنحصل على نسبة مئوية بين صفر واثنين. وبما أن المساحة الكلية أسفل المنحنى تساوي ١٠٠ بالمائة أو واحدًا، فسنطرح احتمال أن يكون ﺹ أقل من اثنين من واحد لإيجاد القيمة المطلوبة.

لقد ذكرنا من قبل أن احتمال أن يكون ﺹ أصغر من اثنين يساوي ٠٫٩٧٧٢. وعليه، فإن احتمال أن يكون ﺹ أكبر من اثنين هو واحد ناقص ٠٫٩٧٧٢، وهو ما يساوي ٠٫٠٢٢٨. وهذا بدوره يعني أن احتمال أن يكون وزن تفاحة اختيرت عشوائيًّا أقل من ٩٩ جرامًا هو ٠٫٠٢٢٨.

تذكر أننا نريد إيجاد احتمال أن يكون وزن التفاحة بين ٩٩ و١١١ جرامًا. إذن، في هذه الحالة، نطرح احتمال أن يكون ﺱ أقل من ٩٩ من احتمال أن يكون ﺱ أقل من ١١١. وهذا يعطينا: ٠٫٩٧٧٢ ناقص ٠٫٠٢٢٨، وهو ما يساوي ٠٫٩٥٤٤. بالضرب في ١٠٠ ثم التقريب لأقرب نسبة مئوية، نجد أن الاحتمال التقريبي لأن يكون وزن تفاحة تم اختيارها عشوائيًّا من المحصول بين ٩٩ جرامًا و١١١ جرامًا يساوي ٩٥ بالمائة.