فيديو: امتحان التفاضل والتكامل الدور الثاني للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثامن عشر أ

امتحان التفاضل والتكامل الدور الثاني للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثامن عشر أ

٠٧:٢٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة: د س بتساوي س أُس أربعة ناقص اتنين س تربيع؛ إن وُجدت.

في البداية لو عندنا أيّ دالة، ولتكن مثلًا دالة ر س. فمن خلال المشتقة الأولى للدالة ر س، نقدر نوجد: فترات تزايد وتناقص الدالة، والقيم العظمى والصغرى المحلية، والقيم العظمى والصغرى المطلقة. ومن خلال المشتقة التانية للدالة ر س، نقدر نوجد: تحدُّب منحنى الدالة، ونقاط الانقلاب.

وبما إن مطلوب نوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د س، فهنستخدم المشتقة الأولى للدالة. وعشان نقدر نوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د س، محتاجين ننفّذ بعض الخطوات.

أول خطوة: محتاجين نوجد المشتقة الأولى للدالة د س.

تاني خطوة: محتاجين نحلّ المعادلة إن المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر. يعني محتاجين نوجد قيم س اللي بتجعل المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر.

تالت خطوة: هندرس إشارة المشتقة الأولى للدالة د س. ولو إشارة المشتقة الأولى للدالة د س تغيّرت من موجبة إلى سالبة، فهيكون عندنا قيمة عظمى محلية. ولو إشارة المشتقة الأولى للدالة د س تغيّرت من سالبة إلى موجبة، هيكون عندنا قيمة صغرى محلية.

وبتنفيذ الخطوات. أول خطوة هنوجد المشتقة الأولى للدالة د س.

معطى إن د س بتساوي س أُس أربعة ناقص اتنين س تربيع. وبالتالي المشتقة الأولى للدالة د س هتكون بتساوي … مشتقة س أُس أربعة هتساوي أربعة في س أُس تلاتة. ومشتقة سالب اتنين س تربيع هتساوي سالب أربعة س. يبقى قدِرنا نوجد أول خطوة، وهي المشتقة الأولى للدالة د س.

بالنسبة لتاني خطوة؛ محتاجين نحلّ معادلة إن المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر.

عندما تكون المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر، يعني هيكون عندنا أربعة س أُس تلاتة ناقص أربعة س بتساوي صفر. هناخد أربعة س عامل مشترك، يعني عندنا أربعة س مضروبة في س تربيع ناقص واحد بتساوي صفر. بالتحليل هنجد إن أربعة س مضروبة في س ناقص واحد، مضروبة في س زائد واحد بتساوي صفر. يعني هيكون عندنا تلات قيم لِـ س.

أول قيمة إن س تكون بتساوي صفر. وتاني قيمة إن س ناقص واحد تكون بتساوي صفر. هنجمع واحد عَ الطرفين، فهنجد إن س هتساوي واحد. وتالت قيمة إن س زائد واحد تكون بتساوي صفر. هنطرح واحد مِ الطرفين، فَـ س هتكون بتساوي سالب واحد. يبقى قدِرنا نوجد قيم س اللي بتجعل المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر.

بالنسبة لتالت خطوة؛ محتاجين ندرس إشارة المشتقة الأولى للدالة د س.

فمن خلال الجدول الآتي. أول صف هيكون عندنا قيم س. وتاني صف هيكون عندنا إشارة المشتقة الأولى للدالة د س. وتالت صف هيكون عندنا سلوك الدالة د س.

فبالنسبة لأول صف، وهو قيم س. فقدِرنا نوجد إن قيم س اللي بتجعل المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر، هتكون هي: صفر، وسالب واحد، وواحد. وهيكون عندنا بداية ونهاية الفترة؛ يعني سالب ما لا نهاية، وما لا نهاية. فهيكون عندنا أربع فترات. أول فترة من سالب ما لا نهاية إلى سالب واحد. وتاني فترة من سالب واحد إلى صفر. تالت فترة من صفر إلى واحد. ورابع فترة من واحد إلى ما لا نهاية.

بالنسبة لأول فترة من سالب ما لا نهاية إلى سالب واحد. عشان نقدر ندرس إشارة المشتقة الأولى للدالة د س؛ هنختار أيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة، ولتكن مثلًا عند س بتساوي سالب اتنين. وهنوجد قيمة المشتقة الأولى للدالة د س لمّا س تكون بتساوي سالب اتنين.

فالمشتقة الأولى للدالة د س لمّا س تكون بتساوي سالب اتنين. هتكون بتساوي أربعة مضروبة في سالب اتنين أُس تلاتة، ناقص أربعة مضروبة في سالب اتنين. يعني بتساوي سالب أربعة وعشرين. وبالتالي إشارة المشتقّة الأولى للدالة د س في الفترة من سالب ما لا نهاية إلى سالب واحد، هتكون سالبة. يعني سلوك الدالة هيكون بالشكل ده.

بالنسبة لتاني فترة من سالب واحد إلى صفر. هنختار أيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة، ولتكن مثلًا عند س بتساوي سالب واحد على اتنين. وهنوجد قيمة المشتقة الأولى للدالة د س لمّا س تكون بتساوي سالب واحد عَ الاتنين.

فهيكون عندنا المشتقة الأولى للدالة د س لمّا س تكون بتساوي سالب واحد عَ الاتنين. هتساوي أربعة مضروبة في سالب واحد عَ الاتنين أُس تلاتة، ناقص أربعة مضروبة في سالب واحد عَ الاتنين. يعني هتساوي تلاتة على اتنين. وبالتالي إشارة المشتقة الأولى للدالة د س في الفترة من سالب واحد إلى صفر، هتكون موجبة. يعني سلوك الدالة د س هيكون بالشكل ده.

وبالنسبة لتالت فترة من صفر إلى واحد. هنختار أيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة، ولتكن مثلًا عند س بتساوي واحد على اتنين. وهنوجد قيمة المشتقة الأولى للدالة د س لمّا س تكون بتساوي واحد عَ الاتنين.

فهيكون عندنا المشتقة الأولى للدالة د س لمّا س تكون بتساوي واحد عَ الاتنين. هتساوي أربعة مضروبة في واحد عَ الاتنين أُس تلاتة، ناقص أربعة مضروبة في واحد على اتنين. يعني هتساوي سالب تلاتة عَ الاتنين. يبقى إشارة المشتقة الأولى للدالة د س في الفترة من صفر إلى واحد، هتكون سالبة. يعني سلوك الدالة د س هيكون بالشكل ده.

بالنسبة لآخِر فترة من واحد إلى ما لا نهاية. هنختار أيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة، ولتكن مثلًا عند س بتساوي اتنين. وهنوجد قيمة المشتقة الأولى للدالة د س لمّا س تكون بتساوي اتنين.

فالمشتقة الأولى للدالة د س لمّا س تكون بتساوي اتنين. هتساوي أربعة مضروبة في اتنين أُس تلاتة، ناقص أربعة مضروبة في اتنين. يعني هتساوي أربعة وعشرين. وبالتالي إشارة المشتقة الأولى للدالة د س في الفترة من واحد إلى ما لا نهاية، هتكون موجبة. يعني سلوك الدالة د س هيكون بالشكل ده.

هنلاحظ إن إشارة المشتقة الأولى للدالة د س تغيّرت من موجبة إلى سالبة عند س بتساوي صفر. يعني عند س بتساوي صفر، هيكون للدالة قيمة عظمى محلية. ولو عايزين نوجد القيمة العظمى المحلية لمّا س تكون بتساوي صفر، هنوجد قيمة د س لمّا س تكون بتساوي صفر.

هتكون بتساوي صفر أُس أربعة، ناقص اتنين مضروبة في صفر أُس اتنين؛ يعني هتساوي صفر. يبقى عند س بتساوي صفر الدالة هيكون ليها قيمة عظمى محلية، وهتكون القيمة العظمى المحلية للدالة هي صفر. يبقى كده قدِرنا نوجد القيمة العظمى المحلية للدالة.

هنلاحظ إن إشارة المشتقة الأولى للدالة د س بتتغيّر من سالبة إلى موجبة عند س بتساوي سالب واحد. وأيضًا بتتغيّر من سالبة إلى موجبة عند س بتساوي واحد. وبالتالي هيكون للدالة قيمة صغرى محلية عند س بتساوي سالب واحد، وعند س بتساوي واحد.

فعند س بتساوي سالب واحد، هيكون للدالة قيمة صغرى محلية. وعشان نقدر نوجد القيمة الصغرى المحلية للدالة، هنوجد قيمة الدالة د س لمّا س تكون بتساوي سالب واحد. اللي بتساوي سالب واحد أُس أربعة، ناقص اتنين مضروبة في سالب واحد أُس اتنين؛ يعني هتساوي سالب واحد. يبقى عند س بتساوي سالب واحد الدالة هيكون ليها قيمة صغرى محلية. والقيمة الصغرى المحلية للدالة عند س بتساوي سالب واحد هتكون سالب واحد.

وتاني قيمة صغرى محلية للدالة هتكون عند س بتساوي واحد. وعشان نقدر نوجد القيمة الصغرى المحلية عند س بتساوي واحد، هنوجد قيمة الدالة د س لمّا س تكون بتساوي واحد. يعني هتساوي واحد أُس أربعة، ناقص اتنين مضروبة في واحد أُس اتنين؛ يعني هتساوي سالب واحد. ويبقى الدالة هيكون ليها قيمة صغرى محلية عند س بتساوي واحد، وكانت القيمة الصغرى المحلية للدالة هي سالب واحد.

يبقى كده قدِرنا نوجد القيم الصغرى المحلية للدالة. يبقى الدالة هيكون ليها قيمة عظمى محلية عند س بتساوي صفر، وكانت القيمة العظمى المحلية للدالة هي صفر. والدالة هيكون ليها قيمة صغرى محلية عند س بتساوي سالب واحد، وكانت القيمة الصغرى المحلية للدالة هي سالب واحد. والدالة هيكون ليها قيمة صغرى محلية أيضًا عند س بتساوي واحد، وكانت القيمة الصغرى المحلية للدالة هي سالب واحد.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.