فيديو: امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثامن

امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثامن

٠٣:٤٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنى: ص بتساوي س تربيع زائد اتنين. ومحور السينات. والخطَّين المستقيمين: س بتساوي سالب اتنين، وَ س بتساوي اتنين. دورة كاملة حول محور السينات.

في البداية، لو افترضنا إن عندنا منحنى دالة ر س، وكان بالشكل ده. وكان عندنا الخطّين المستقيمين: س بتساوي أ، وَ س بتساوي ب بالشكل ده. فلو كُنَّا عايزين نوجد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنى ر س. ومحور السينات. وَ س بتساوي أ. وَ س بتساوي ب. يعني هتكون هي المنطقة دي. وبالتالي دوران المنطقة الموضَّحة دورة كاملة حول محور السينات هينشأ مجسَّم بالشكل ده. وحجم المجسَّم هيساوي 𝜋 مضروبة في تكامل الدالة ر س تربيع بالنسبة لِـ س من ب إلى أ.

وإذا كانت الدالة ر س متماثلة حول محور الصادات. حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة اللي عَ الطرف الأيمن هيساوي حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة اللي عَ الطرف الأيسر. يعني نقدر نعتبر إن الحجم هيساوي اتنين مضروبة في حجم المجسَّم الناشئ من دوران المنطقة اللي عَ الطرف الأيمن فقط. اللي هتكون من صفر إلى أ. واللي بتساوي اتنين 𝜋 في تكامل الدالة ر س تربيع بالنسبة لِـ س من صفر إلى أ.

لو عايزين نمثِّل بيانيًّا المنحنى المعطى عشان نقدر نوجد حجم المجسَّم الناشئ. هنلاحظ إن معادلة المنحنى ص بتساوي س تربيع زائد اتنين معامل س تربيع موجب، يعني المنحنى بينظر إلى أعلى. ولو عوَّضنا عن س بصفر، فهنجد قيمة ص هتساوي اتنين. يعني المنحنى بيتقاطع مع محور الصادات عند اتنين. فالمنحنى هيكون بالشكل ده. وبالنسبة للخطِّين المستقيمين س بتساوي سالب اتنين، فهيكون بالشكل ده. وَ س بتساوي اتنين، فهيكون بالشكل ده. وبالتالي المنطقة المحدَّدة بالمنحنى ومحور السينات والخطّين المستقيمين هتكون هي المنطقة دي.

وهنلاحظ إن المنحنى ص بتساوي س تربيع زائد اتنين متماثل حول محور الصادات. وبالتالي نقدر نوجد الحجم عن طريق ح بتساوي اتنين 𝜋 في تكامل ر س تربيع بالنسبة لِـ س من صفر إلى أ. حيث ر س هي منحنى الدالة ص. يعني الحجم هيساوي اتنين 𝜋 في تكامل المنحنى ص. هنعوَّض عن المنحنى ص بِـ س تربيع زائد اتنين الكل تربيع بالنسبة لِـ س. والمنطقة هتكون من صفر لحدِّ الخطّ المستقيم س بتساوي اتنين. يعني حدود التكامل هتكون من صفر إلى اتنين.

يعني الحجم هيساوي اتنين 𝜋 مضروبة في تكامل س أُس أربعة زائد أربعة س تربيع زائد أربعة بالنسبة لِـ س من صفر إلى اتنين. يعني الحجم هيساوي اتنين 𝜋 مضروبة في … تكامل س أُس أربعة هتكون بتساوي س أُس خمسة مقسومة على خمسة زائد … تكامل أربعة س أُس اتنين هتساوي أربعة في س أُس تلاتة الكل مقسوم على تلاتة زائد … تكامل أربعة هيساوي أربعة س، من صفر إلى اتنين. يعني الحجم هيساوي اتنين 𝜋 مضروبة في … أول حاجة هنعوَّض عن س باتنين. فهيكون عندنا اتنين أُس خمسة على خمسة، زائد أربعة في اتنين أُس تلاتة على تلاتة، زائد أربعة في اتنين، ناقص … هنعوَّض عن س بصفر، فهيكون عندنا صفر زائد صفر زائد صفر. وبالتالي الحجم هيساوي سبعمية اتنين وخمسين على خمستاشر 𝜋.

وبكده يكون حجم المجسَّم الناشئ بيساوي سبعمية اتنين وخمسين على خمستاشر 𝜋.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.