تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حساب المساحة تحت المنحنى باستخدام المستطيلات

سوزان فائق

يوضح الفيديو طريقة حساب المساحة تحت المنحنى (لأي شكل ثنائي الأبعاد) بتقسيمها إلى مستطيلات متساوية العرض، واستخدام الأطراف اليسرى أو اليمنى لقاعدة المستطيلات.

٠٩:٢٠

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على حساب المساحة تحت المنحنى باستخدام مستطيلات.

هنعرف إزاي نحسب مساحة تحت منحنى باستخدام الأطراف اليمنى لقواعد المستطيلات. أو الأطراف اليسرى لقواعد المستطيلات. ليه بنستخدم طريقة المستطيلات دي؟ لأن يمكن حساب مساحات الأشكال الأساسية؛ زيّ المثلث والمستطيل وشبه المنحرف، ومساحات الأشكال المركَّبة من أشكال أساسية. بإن إحنا بنحسب مساحة مثلًا المثلث: بقانون نصّ القاعدة في الارتفاع. المستطيل: الطول في العرض. كل شكل أساسي له طريقة في حساب المساحة. والأشكال المركَّبة بنقسِّمها لأشكال أساسية. وبنجمع مجموع المساحات ليهم.

لكن فيه بعض الأشكال ما بتبقاش مكوّنة من أشكال أساسية. علشان كده محتاجين طريقة عامَّة لحساب مساحة أيّ شكل ثنائي الأبعاد. وده بيبقى عن طريق إن إحنا نقرَّب مساحة الشكل الغير المنتظِم ده، من خلال استخدام شكل أساسي معلوم المساحة؛ كالمستطيل. ونقسِّمه مستطيلات متساوية القياس. زيّ مثلًا منحنى الدالة د س تساوي سالب س تربيع زائد اتناشر س. المساحة المحصورة ما بين المنحنى ده ومحور السينات على الفترة صفر لاتناشر، بنقدر نقسّمها لمجموعة مستطيلات متساوية العرض. يعني بنقطّع المساحة، اللي هي المحصورة دي، لمستطيلات متساوية في العرض بتاعها. ونجمع مجموع المساحات دي. ويبقى هو ده مساحة المنطقة المحصورة تحت المنحنى.

نقلب الصفحة، ونشوف مثال. قرّب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى د س يساوي سالب س تربيع زائد اتناشر س. والمحور س على الفترة المغلَقة من صفر لاتناشر. باستخدام أربع وست واتناشر مستطيل على الترتيب. استخدم الطرف الأيمن لقاعدة كل مستطيل لتحديد ارتفاعه.

هنقسّم المنطقة المحصورة بين المنحنى د س ومحور السينات مرة أربع مستطيلات، مرة ست مستطيلات، مرة اتناشر مستطيل. وهنستخدم الطرف الأيمن لقاعدة كل مستطيل لتحديد ارتفاعه. يعني إيه الكلمة دي؟ يعني مثلًا لو أنا هقسّم الأربع مستطيلات، يبقى الفترة من صفر لاتناشر هتتقسّم أربع مستطيلات. كل واحدة هتبقى تلات مستطيلات. ارتفاع المستطيل اللي هو بيقطع المنحنى يبقى الطرف الأيمن لقاعدة كل مستطيل.

يعني المستطيل الأولاني قاعدته اليمين؛ الطرف اليمين ده، هو اللي هيقطع المنحنى. وبعد كده اللي بعده هيبقى قاعدته اليمين هي اللي هتقطع المنحنى. وهكذا لغاية ما نكمّل عدد المستطيلات المطلوبة. لكن لو هنحسب باستخدام الطرف الأيسر، يبقى المستطيل طرفه الأيسر هو اللي على المنحنى، على حسب التقسيم اللي هنقسّمه.

طيب في المثال ده، هنقسِّم مرة باستخدام أربع مستطيلات، ومرة بست مستطيلات، ومرة باتناشر مستطيل. هنقلب الصفحة. ونشوف التلات رسومات. التلات أشكال اللي قدامنا بيمثِّلوا التمثيل البياني للتقسيم المنحنى باستخدام أربع مستطيلات. ومرة باستخدام ست مستطيلات. ومرة باستخدام اتناشر مستطيل. عرض المستطيل بيبقى ثابت في الأربع مستطيلات، وفي الست مستطيلات، وهكذا. يبقى عندنا لمّا هنحسب المساحة، هيبقى الطول في العرض. الطول هيمثّل قيمة الصادات، اللي هي قيمة الدالة عند الطرف الأيمن لقاعدة المستطيل؛ يعني عند التلاتة. يبقى قيمة الدالة عند تلاتة ده بيمثِّل طول المستطيل، وهكذا. هنجمع الأربع مستطيلات، ونشوف المساحة الكلية. ومرة هنجمع الست مستطيلات، ونشوف المساحة الكلية. ومرة هنحسب الاتناشر مستطيل، ونشوف المساحة الكلية.

في أول رسم، مساحة المستطيل الأول هتبقى تلاتة في قيمة الدالة عند تلاتة. وبعدين مساحة المستطيل التاني هتبقى التلاتة في قيمة الدالة عند ستة. مساحة المستطيل التالت هتبقى تلاتة في قيمة الدالة عند تسعة. المستطيل الرابع: تلاتة في قيمة الدالة عند اتناشر. رابع مستطيل قيمته صفر؛ لأن الطرف الأيمن لقاعدة المستطيل عند قيمة الـ ص بتساوي صفر.

هنكرَّر نفس الكلام ده في استخدام الست مستطيلات، واستخدام الاتناشر مستطيل. مساحة المستطيل الأول هتبقى أربعين وحدة مربعة. المستطيل التاني هيبقى أربعة وستين وحدة مربعة. وهنكمِّل باقي المستطيلات بنفس الطريقة. والاتناشر مستطيل هيبقى عرض المستطيل يساوي واحد. والطول هيبقى قيمة الدالة عند الواحد، والاتنين، والتلاتة، والأربعة، والخمسة لغاية الاتناشر.

لمّا هنجمع مساحة المستطيلات، هتبقى المساحة الكلية في حالة الأربع مستطيلات ميتين وسبعين وحدة مربعة. في حالة الست مستطيلات، هيبقى ميتين وتمانين وحدة مربعة. في حالة الاتناشر مستطيل، هتبقى ميتين ستة وتمانين وحدة مربعة. هنقلب الصفحة. يبقى كده المساحة التقريبية باستخدام الأربعة والستة واتناشر مستطيلًا هي بالترتيب: ميتين وسبعين وحدة مربعة. وميتين وتمانين وحدة مربعة. وميتين ستة وتمانين وحدة مربعة.

هنلاحظ من الكلام ده إن المستطيلات اللي أقل في العرض بتمثِّل المساحة المطلوبة بصورة أفضل. يعني لمّا جينا حسبنا المساحة تحت المنحنى الفعلية كانت أقرب للميتين وستة وتمانين وحدة مربعة. وده بيُعطِي أدقّ قيمة للمساحة الكلية. وكل امّا استخدمنا الأطراف اليمنى لقاعدة كل مستطيل لتحديد ارتفاعها، يمكننا أيضًا استخدام الأطراف اليسرى لتحديد ارتفاعها. وده بينتج عنه تقريب مختلف للمساحة. بس استخدام الطريقة دي بيضيف قيم تحت المنحنى مش موجودة في المنحنى.

يعني مثلًا إحنا عندنا هنا في المستطيل الأولاني ده، ده المنحنى. إحنا حسبنا القيمة اللي هي المستطيل كله. فالجزء اللي بره المنحنى ده مش معانا. والجزء ده مش معانا. وضِفناه في المساحة التقريبية. ورغم كده كمان ما حسبناش قيمة الجزء ده، ولا الجزء ده. فاستخدام الأطراف اليمنى أو اليسرى لقواعد المستطيلات لتحديد ارتفاعها قد يؤدِّي إلى إضافة أجزاء لا تقع بين المنحنى ومحور الـ س. أو حذف أجزاء تقع بين المنحنى ومحور الـ س. علشان كده ممكن نحصل على تقريب أفضل في بعض الأحيان بإن إحنا نحسب المساحة باستخدام الأطراف اليسرى أو باستخدام الأطراف اليمنى. والقيمتين دول نجيب الوسط ما بينهم. بيبقى قيمة المساحة أدقّ من إن إحنا نستخدم يا الطرف الأيمن يا الطرف الأيسر.

لكن في الفيديو ده، إحنا اتكلّمنا عن استخدام الأطراف اليسرى، أو الأطراف اليمنى في حساب مساحة تحت المنحنى باستخدام المستطيلات. عرفنا إزاي هنستخدم تقسيم تحت المنحنى لمستطيلات متساوية العرض ولكن مختلفة الطول. نجمعها ونجيب المساحة تحت المنحنى.