فيديو السؤال: إيجاد السرعة القصوى لجسيم الرياضيات

يتحرك جسيم في خط مستقيم على طول المحور ﺱ؛ بحيث نحصل على إزاحته ﻑ متر بعد ﻥ ثانية من العلاقة ﻑ (ﻥ) = −ﻥ^٣ + ٦ﻥ^٢ + ٢ﻥ. أوجد السرعة القصوى للجسيم في الاتجاه الموجب للمحور ﺱ.

٠٣:٣٥

‏نسخة الفيديو النصية

يتحرك جسيم في خط مستقيم على طول المحور ﺱ؛ بحيث نحصل على إزاحته ﻑ متر بعد ﻥ ثانية من العلاقة ﻑ ﻥ يساوي سالب ﻥ تكعيب زائد ستة ﻥ تربيع زائد اثنين ﻥ. أوجد السرعة القصوى للجسيم في الاتجاه الموجب للمحور ﺱ.

في هذا السؤال، لدينا إزاحة الجسيم معبرًا عنها على صورة دالة في الزمن. وهي تعطى بالعلاقة ﻑ ﻥ يساوي سالب ﻥ تكعيب زائد ستة ﻥ تربيع زائد اثنين ﻥ؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. نحن نعرف أن مشتقة ﻑ ﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ﻉ ﻥ. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد مقدار يعبر عن السرعة المتجهة بدلالة الزمن بالاشتقاق حدًّا حدًّا. وباستخدام قاعدة القوة للاشتقاق، فإن ﻉ ﻥ يساوي سالب ثلاثة ﻥ تربيع زائد ١٢ﻥ زائد اثنين. وبما أن الإزاحة مقيسة بالمتر والزمن مقيس بالثانية، فإن السرعة المتجهة تقاس بوحدة المتر لكل ثانية.

دالة السرعة المتجهة هذه هي دالة تربيعية معاملها الرئيسي سالب، وقيمته هي سالب ثلاثة. لذا، فإن منحنى هذه الدالة عبارة عن قطع مكافئ مفتوح لأسفل. يمثل رأس القطع المكافئ القيمة العظمى للسرعة المتجهة؛ حيث إن ميل المنحنى عند هذه النقطة، وعجلة الجسيم، يساويان صفرًا. يمكننا إيجاد هذه القيمة بحساب مشتقة السرعة المتجهة أولًا، أي العجلة، وإيجاد الزمن الذي قيمتها عنده تساوي صفرًا. مرة أخرى، نشتق حدًّا حدًّا لنحصل على ﺟ ﻥ يساوي سالب ستة ﻥ زائد ١٢، مع ملاحظة أن اشتقاق ثابت يعطينا صفرًا. وبجعل هذه الدالة تساوي صفرًا، يصبح لدينا سالب ستة ﻥ زائد ١٢ يساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك إضافة ستة ﻥ إلى كلا الطرفين. وبقسمة الطرفين على ستة، يصبح لدينا ﻥ يساوي اثنين. إذن، عجلة الجسيم تساوي صفرًا عند ﻥ يساوي ثانيتين.

يمكننا الآن التعويض بقيمة ﻥ هذه في المقدار الذي يعبر عن السرعة المتجهة. يصبح لدينا ﻉ لاثنين يساوي سالب ثلاثة مضروبًا في اثنين تربيع زائد ١٢ مضروبًا في اثنين زائد اثنين. يبسط هذا إلى سالب ١٢ زائد ٢٤ زائد اثنين، وهو ما يساوي ١٤. وهكذا نعلم أن القيمة العظمى للسرعة المتجهة تساوي ١٤ مترًا لكل ثانية. ورغم أنه يبدو أن هذه هي السرعة القصوى، فإنه علينا التعويض ببعض القيم للتحقق من صحة الحل.

سنتحقق من قيمتي السرعة المتجهة قبل وبعد ﻥ يساوي ثانيتين. بالتعويض بـ ﻥ يساوي واحدًا في المقدار الذي يعبر عن ﻉ ﻥ، يصبح لدينا ﻉ لواحد يساوي ١١ مترًا لكل ثانية. وبالمثل، عند ﻥ يساوي ثلاث ثوان، فإن السرعة المتجهة تساوي أيضًا ١١ مترًا لكل ثانية. وبما أن هاتين القيمتين أقل من ١٤، فهذا يؤكد أن لدينا سرعة قصوى عند ﻥ يساوي ثانيتين، وهي ١٤ مترًا لكل ثانية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.