فيديو الدرس: إيجاد الحد النوني في متتابعة هندسية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعرف على المتتابعات الهندسية. سنكتشف كيف نوجد الحد العام أو الحد النوني، وكيف نوجد قاعدة حد إلى حد. كما سنتناول كيف نوجد رتبة حد بمعلومية قيمته.

أول ما يجب ملاحظته بشأن المتتابعة الهندسية هو أنها متتابعات تكون فيها النسبة بين الحدود ثابتة. لاحظ أن هذا يختلف عن المتتابعات الحسابية، حيث يكون الفرق بين الحدود هو الثابت. يمكننا وصف المتتابعة الهندسية بإحدى طريقتين، إما باستخدام قاعدة حد إلى حد أو باستخدام قاعدة موضع إلى حد. عادة ما تسمى قاعدة موضع إلى حد بالحد النوني، وتكون مفيدة جدًّا لإيجاد قيمة حد معين. على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد الحد رقم ١٥ لمتتابعة ما، يمكننا حسابه مباشرة بالتعويض بـ ١٥ في قاعدة الحد النوني بدلًا من الاضطرار إلى إيجاد جميع الحدود حتى الحد رقم ١٥ باستخدام قاعدة حد إلى حد.

لنفكر إذن في بعض التعريفات التي نستخدمها في المتتابعات الهندسية. إننا نقول إنه إذا كان الحد الأول يشار إليه بالحرف ﺃ، والنسبة المشتركة هي ﺭ، فإن المتتابعة قد تبدو بهذا الشكل. الحد الأول هو ﺃ. والحد الثاني هو ﺃﺭ لأننا ضربنا الحد الأول ﺃ في النسبة المشتركة ﺭ. وبضرب الحد الثاني ﺃﺭ في ﺭ أخرى، نحصل على ﺃﺭ تربيع. يمكننا التعبير عن الحدود باستخدام الرمز السفلي. على سبيل المثال، سيكتب الحد الأول بالرمز ﺡ واحد، والحد الثاني سيكتب بالرمز ﺡ اثنين، والحد الثالث بالرمز ﺡ ثلاثة، وهكذا.

إذن، كيف يمكننا إيجاد قاعدة لإيجاد الحد النوني المكتوب بالرمز ﺡﻥ؟ حسنًا، يمكننا أن نبدأ بملاحظة أن كل حد له قيمة أس لـ ﺭ وهي أقل من رقم الحد بمقدار واحد. ونعلم أن الحد النوني سيظل له القيمة ﺃ، وأن الأس لـ ﺭ سيكون أقل من ﻥ بمقدار واحد. لذا يمكننا القول إن الحد النوني لأي متتابعة هندسية يمكن كتابته على الصورة ﺃ في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد. نتذكر بالطبع أن ﺭ فقط هي التي رفعت إلى القوة ﻥ ناقص واحد، وأنه لا يتضمن ﺃ أيضًا. إذن، فلنر كيف نضع هذه الصيغة موضع التطبيق العملي لإيجاد الحد النوني للمتتابعة الهندسية الأولى.

أوجد الحد العام للمتتابعة الهندسية سالب ٧٦، سالب ٣٨، سالب ١٩، سالب ١٩ على اثنين.

هناك طريقة أخرى لصياغة الحد العام، وهو الحد النوني. لذا سنبحث عن الحد النوني لهذه المتتابعة الهندسية، وهي متتابعة لها نسبة مشتركة بين الحدين. لذا، فلنلق نظرة على المتتابعة ونر ما يمكننا تحديده. أولًا، نلاحظ أن الحد الأول في المتتابعة هو سالب ٧٦. عندما نتعامل مع متتابعات هندسية، نستخدم عادة الحرف ﺃ للإشارة إلى الحد الأول من المتتابعة. لإيجاد الحد النوني، علينا أيضًا إيجاد ﺭ، أو النسبة المشتركة. عندما نفكر في متتابعة هندسية عامة تكتب على الصورة ﺃ ثم ﺃﺭ ثم ﺃﺭ تربيع، وهكذا، يمكننا إيجاد النسبة المشتركة ﺭ بقسمة أي حد على الحد الذي يسبقه مباشرة.

إذن، يمكننا هنا أخذ الحد الثاني وهو سالب ٣٨ وقسمته على سالب ٧٦. وبالتالي، فإن ﺭ يساوي نصفًا. لاحظ أنه حتى إذا أخذنا حدين مختلفين، على سبيل المثال، إذا قسمنا الحد الثالث سالب ١٩ على الحد الثاني سالب ٣٨، فسنجد مجددًا أن النسبة المشتركة ﺭ تساوي نصفًا. فعلى أي حال، إذا لم تكن النسب المشتركة متساوية، فلن يكون لدينا متتابعة هندسية.

والآن بعد أن توصلنا إلى قيمتي ﺃ وﺭ، نتذكر الصيغة العامة للحد النوني للمتتابعة الهندسية. ﺡﻥ، أي الحد النوني، يساوي ﺃ في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد. كل ما علينا فعله الآن هو التعويض بقيمتي ﺃ يساوي سالب ٧٦ وﺭ يساوي نصفًا في هذه الصيغة. هذا يعطينا ﺃﻥ يساوي سالب ٧٦ في نصف أس ﻥ ناقص واحد. وبما أنه لا يمكننا تبسيط النتيجة أكثر من ذلك، فإن هذه هي إجابتنا للحد العام أو الحد النوني للمتتابعة الهندسية.

لنلق نظرة على سؤال آخر، حيث علينا إيجاد الحد النوني لمتتابعة أكثر تعقيدًا نوعًا ما.

أوجد، بدلالة ﻥ، الحد العام للمتتابعة ربع، تسعة على ١٦، ٨١ على ٦٤، ٧٢٩ على ٢٥٦، إلخ.

في هذا السؤال، لدينا الحدود الأربعة الأولى في هذه المتتابعة. لا يبدو أن هناك فرقًا مشتركًا بين الحدود، لذا يمكننا القول إن هذه ليست متتابعة حسابية بالتأكيد. يمكننا التحقق من أن هذه المتتابعة متتابعة هندسية لها نسبة مشتركة بين الحدين من خلال معرفة ما إذا كان بإمكاننا إيجاد النسبة المشتركة.

إذن، لإيجاد النسبة ﺭ بين أول حدين، سنقسم الحد الثاني، وهو تسعة على ١٦، على الحد الذي يسبقه، وهو ربع. نتذكر أن القسمة على ربع تكافئ الضرب في المقلوب، وهو ما يساوي أربعة على واحد. يمكننا تبسيط العدد أربعة في البسط و١٦ في المقام من خلال القسمة على العامل المشترك أربعة. سنضرب بعد ذلك البسطين والمقامين. تسعة في واحد يساوي تسعة، وأربعة في واحد يساوي أربعة. ويمكننا التحقق مما إذا كانت هناك النسبة نفسها بين الحد الثالث والحد الثاني. إذن، نحسب ٨١ على ٦٤ مقسومًا على تسعة على ١٦. نلاحظ أن مقلوب تسعة على ١٦ هو ١٦ على تسعة. ونبسط الكسرين قبل أن نضرب البسطين والمقامين، وهو ما يعطينا النسبة المشتركة ﺭ نفسها لتسعة على أربعة. وإذا تحققنا من ذلك عن طريق إيجاد القيمة المطلوب ضربها في الحد الثالث ٨١ على ٦٤ للحصول على الحد الرابع ٧٢٩ على ٢٥٦، فسنحصل على الإجابة نفسها وهي تسعة على أربعة.

لنفكر إذن في كيفية إيجاد الحد العام لهذه المتتابعة. نتذكر أن الحد العام هو طريقة أخرى للتعبير عن الحد النوني. يمكننا أن نتذكر أن صيغة إيجاد الحد النوني ﺃﻥ هي ﺡﻥ يساوي ﺃ في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد. تمثل قيمة ﺭ النسبة المشتركة، وتمثل قيمة ﺃ الحد الأول من المتتابعة. عرفنا من قبل أن ﺭ يساوي تسعة على أربعة، وأن قيمة ﺃ، أي الحد الأول في المتتابعة، هي ربع. يمكننا بعد ذلك أخذ قيمتي ﺃ وﺭ والتعويض بهما في هذه الصيغة. وهذا يعطينا ﺡﻥ يساوي ربعًا في تسعة أرباع أس ﻥ ناقص واحد.

على الرغم من أن هذه إجابة صحيحة تمامًا للحد النوني للمتتابعة، فمن الجدير بنا النظر إلى ما إذا كان بإمكاننا تبسيط هذا الطرف الأيسر أكثر من ذلك. يمكننا البدء في التبسيط بالتفكير فيما يحدث عندما يكون لدينا قوة للكسر. أي كسر له قيمة أسية معينة يكافئ البسط الذي يكون أسه هذه القيمة على المقام الذي يكون أسه تلك القيمة. إذا فكرنا في ضرب هذه الكسور، فإن ضرب البسطين واحد في تسعة أس ﻥ ناقص واحد يعطينا القيمة الموجودة في البسط تسعة أس ﻥ ناقص واحد. وبضرب المقامين، نحصل على أربعة في أربعة أس ﻥ ناقص واحد.

إذا نظرنا إلى المقام، يمكننا تطبيق قاعدة أسية أخرى، وهي أن ﺱ أس ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ. وفي المقام، ستكون قيمة ﺱ هنا هي أربعة. وقيمتا ﺃ وﺏ، أي الأسين، ستكونان واحدًا وﻥ ناقص واحد. وبجمع واحد وﻥ ناقص واحد، نحصل على قيمة ﻥ. وبذلك نكون قد توصلنا إلى إجابة مبسطة بالكامل للحد العام لهذه المتتابعة بدلالة ﻥ. وهي تساوي تسعة أس ﻥ ناقص واحد على أربعة أس ﻥ.

في السؤالين اللذين رأيناهما للتو، كنا نوجد الحد النوني أو قاعدة موضع إلى حد. في السؤال التالي، سنلقي نظرة على كيفية إيجاد قاعدة حد إلى حد.

أوجد صيغة تكرارية للمتتابعة: ٤٨٦، ١٦٢، ٥٤، ١٨، ستة، اثنان، ثلثان.

لدينا هنا متتابعة تبدأ بالعدد ٤٨٦، ومطلوب منا إيجاد صيغة تكرارية. هذا يعني أنه بدلًا من إيجاد حد عام أو حد نوني للمتتابعة، سنوجد قاعدة حد إلى حد. وهذا يعني أننا سنفكر في كيفية الانتقال من حد إلى حد آخر. لنبدأ بمعرفة ما إذا كان يمكننا إيجاد النسبة المشتركة بين الحدود. يمكننا الإشارة إلى ذلك بالحرف ﺭ. في المتتابعة الهندسية، نقول إن الحد الأول هو ﺃ، والحد الثاني هو ﺃ في النسبة المشتركة ﺭ، والحد الثالث هو ﺃﺭ تربيع، والحد الرابع هو ﺃﺭ تكعيب، وهكذا. ومن ثم، لإيجاد النسبة بين الحدود، فإننا نأخذ أي حد ونقسمه على الحد الذي يسبقه مباشرة.

إذن، يمكننا، على سبيل المثال، أخذ الحد الثاني وهو ١٦٢ وقسمته على الحد الذي يسبقه، وهو ٤٨٦. أو إذا كانت هذه متتابعة هندسية، كما نفترض، يمكننا أخذ الحد الثالث وقسمته على الحد الثاني. ويمكننا أيضًا أخذ الحد السادس وهو اثنان وقسمته على الحد الخامس. يجب أن نرى مباشرة أن سدسين يمكن تبسيطهما إلى ثلث. إذن هل يمكن تبسيط الكسرين الآخرين إلى ثلث؟ حسنًا، إذا أخذنا ٥٤ وأضفنا ٥٤، فإننا نحصل على ١٠٨. وبإضافة ٥٤ أخرى نحصل على ١٦٢. إذن، يمكن تبسيط هذا الكسر أيضًا إلى ثلث. ١٦٢ على ٤٨٦ يساوي ثلثًا أيضًا.

يبدو أن النسبة المشتركة تساوي ثلثًا. في الحقيقة، إذا أخذنا أي حدين متتاليين في هذه المتتابعة، فعلينا ضرب أول حد في ثلث لنحصل على الحد الثاني. الحدود التي حصلنا عليها لها نسبة مشتركة بالتأكيد وهي ثلث. إذن هل هذا يجيب عن السؤال لإيجاد صيغة تكرارية؟ هل يكفي أن نقول إننا سنضرب حدًّا في ثلث لإيجاد الحد التالي؟

حسنًا، ليس تمامًا. يمكننا استخدام المزيد من الرموز المنهجية هنا. نقول إن الحد الأول ﺡ واحد يساوي ٤٨٦. لإيجاد الحد الثاني، نعرف أن هذا يساوي ٤٨٦ في النسبة ﺭ؛ التي تساوي ثلثًا. إذن، ﺡ اثنان، وهو الحد الثاني، يساوي ثلث ﺡ واحد. وبالطريقة نفسها، إذا أردنا إيجاد الحد الثالث ولم نكن نعرف قيمته، فإننا نضرب الحد الثاني في النسبة ﺭ التي تساوي ثلثًا. يمكننا الاستمرار على هذا المنوال ونقول إن الحد الرابع يساوي ثلثًا في الحد الثالث.

لذا، إذا أردنا إيجاد الحد النوني لهذه المتتابعة، فإننا نحسب ثلثًا مضروبًا في الحد الذي يسبقه، المكتوب بالرمز ﺡﻥ ناقص واحد. ومن هنا نحصل على الصيغة المفيدة التالية، وهي أننا إذا أردنا إيجاد الحد ﻥ زائد واحد في المتتابعة، فإننا نضرب النسبة المشتركة في الحد النوني. الأمر يبدو مثل صيغة الحد النوني للمتتابعة، ولكن في هذه المرة يعتمد الحد على الحد الذي يسبقه، وليس على حد بداية المتتابعة. لكن يمكننا هنا الإجابة بأن أي حد في المتتابعة ﺡﻥ يمكن حسابه بضرب الثلث في الحد الذي يسبقه، أي ﺡﻥ ناقص واحد.

في السؤال التالي، سنتعرف على كيفية إيجاد رتبة حد بمعلومية قيمته والحد النوني للمتتابعة.

عين رتبة الحد الذي قيمته ٤٣٧٤ في المتتابعة الهندسية ﺡﻥ يساوي ثلثين في ثلاثة أس ﻥ.

لنبدأ بالنظر إلى المعلومات المعطاة. تمثل قيمة ﺃﻥ هذه الحد النوني لهذه المتتابعة. والمطلوب منا هو إيجاد رتبة الحد الذي قيمته ٤٣٧٤. هذا يعني أن لدينا متتابعة، وفي مكان ما من هذه المتتابعة توجد هذه القيمة ٤٣٧٤. رتبة هذا الحد تعني أننا نسأل بالفعل: هل هو الحد الثاني، أم الحد العاشر، أم الحد ١٠٠؟ هذا هو ما نريد إيجاده. يمكننا فعل ذلك بالسعي إلى إيجاد رتبة هذا الحد ﻥ، وسيكون في هذه الحالة الحد النوني هو ٤٣٧٤. يمكننا بعد ذلك كتابة ذلك في الصيغة وإعادة ترتيبها لإيجاد قيمة ﻥ، التي ستعطينا رتبة هذا الحد.

يمكننا البدء في إعادة الترتيب بقسمة طرفي هذه المعادلة على ثلثين. في الطرف الأيمن، يمكننا تذكر أنه للقسمة على كسر، نضرب في مقلوبه. وفي الطرف الأيسر، يتبقى لدينا ثلاثة أس ﻥ. يمكننا تبسيط القيم الموجودة في الطرف الأيمن. إذن، نحسب ٢١٨٧ مضروبًا في ثلاثة، وهو ما يعطينا ٦٥٦١ يساوي ثلاثة أس ﻥ.

في هذه المرحلة، هناك فرع من الرياضيات يسمى اللوغاريتمات، ما سيساعدنا في حل هذه المسألة مباشرة. ولكن بما أن معظم الناس يتعلمون اللوغاريتمات بعد فترة طويلة من تعلم المتتابعات الهندسية، سوف نعتمد هنا على القليل من أسلوب التجربة والتحسين بدلًا من ذلك. تذكر أن قيمة مثل ثلاثة أس ﻥ تساوي ٦٥٦١ تكافئ بالفعل القول بأن ثلاثة أس ما يعطينا هذه القيمة. لعلك تعرف القوى الأولى لثلاثة عن ظهر قلب، وصولًا إلى ثلاثة أس أربعة يساوي ٨١ تقريبًا. بعد ذلك، يمكننا الاستمرار قليلًا بضرب كل قيمة من القيم في ثلاثة على نحو تصاعدي. إذا كنا نستخدم طريقة بدون استخدام الآلة الحاسبة، فسنحتاج على الأرجح إلى البدء في الحل باستخدام القلم الرصاص والورقة. إذن نجد أن ثلاثة أس ثمانية يساوي ٦٥٦١. هذا يعني أن قيمة ﻥ هنا يجب أن تساوي ثمانية. ولذا، يمكننا كتابة الإجابة بأن رتبة الحد الذي قيمته ٤٣٧٤ هي ثمانية؛ حيث سيكون هذا الحد هو الحد الثامن في هذه المتتابعة.

يمكننا الآن تلخيص ما تعلمناه في هذا الفيديو. أولًا، رأينا أن المتتابعة الهندسية هي متتابعة تكون فيها النسبة بين الحدود ثابتة. إذا كان الحد الأول ﺃ والنسبة المشتركة ﺭ، يكون لدينا حدود المتتابعة على الصورة ﺃ وﺃﺭ وﺃﺭ تربيع وﺃﺭ أس ثلاثة، وهكذا. لإيجاد النسبة المشتركة ﺭ بمعلومية قيم الحدود في المتتابعة، يمكننا قسمة أي حد على الحد الذي يسبقه. على سبيل المثال، يمكن إيجاد ﺭ بقسمة الحد الثالث على الحد الثاني. يمكن كتابة قاعدة موضع إلى حد أو الحد النوني بالصيغة ﺡﻥ يساوي ﺃ في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد.

وأخيرًا، رأينا قاعدة حد إلى حد، أو الصيغة التكرارية، التي يمكن كتابتها بالصيغة ﺃﻥ زائد واحد يساوي ﺭ في ﺃﻥ، مع تذكر أن هذا يعني أننا إذا أردنا إيجاد قيمة الحد الذي رتبته ﻥ زائد واحد، نأخذ إذن قيمة الحد الذي رتبته ﻥ ونضربه في النسبة المشتركة ﺭ.