فيديو السؤال: إيجاد فترات التقعر لأعلى أو لأسفل لدالة تتضمن جذورًا الرياضيات

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة ﺩ(ﺱ) = −٣ﺱ + √(٩ﺱ^٢ + ١) مقعرة لأعلى أو مقعرة لأسفل.

٠٨:٤٨

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ثلاثة ﺱ زائد الجذر التربيعي لتسعة ﺱ تربيع زائد واحد مقعرة لأعلى أو مقعرة لأسفل.

سنبدأ بتذكر معنى أن تكون الدالة مقعرة لأعلى أو مقعرة لأسفل. عندما يكون منحنى دالة مقعرًا لأعلى، فإن مماسات المنحنى تقع أسفل المنحنى نفسه. نلاحظ هنا أن ميل هذه المماسات يتزايد. في الرسم، يتغير الميل من سالب إلى صفر إلى موجب. وبذلك، تزداد قيمة الميل. يمكننا القول إذن إنه عندما يكون منحنى الدالة مقعرًا لأعلى، فإن مشتقتها الأولى ﺩ شرطة ﺱ تكون تزايدية. وإذا كانت ﺩ شرطة ﺱ تزايدية، فلا بد أن تكون مشتقتها ﺩ شرطتين ﺱ موجبة. إذن يمكننا أيضًا استنتاج أنه عندما يكون منحنى الدالة مقعرًا لأعلى، تكون مشتقتها الثانية أكبر من صفر.

لكن عندما يكون منحنى الدالة مقعرًا لأسفل، يكون العكس صحيحًا. ونجد أن مماسات المنحنى تقع أعلى المنحنى نفسه. وهذا يعني أن المشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ تناقصية. وفي الرسم، نلاحظ أن الميل يتغير من موجب إلى صفر إلى سالب. وبذلك، تكون المشتقة الثانية ﺩ شرطتين ﺱ سالبة. للإجابة عن السؤال لدينا، سنحتاج إلى إيجاد مقدار للمشتقة الثانية للدالة ﺩ ﺱ. وعليه، سيكون علينا الاشتقاق مرتين.

لكن قبل أن نفعل ذلك، قد نجد أنه من الأسهل كتابة الجزء الثاني من تعريف الدالة ﺩ ﺱ؛ أي الجذر التربيعي لتسعة ﺱ تربيع زائد واحد، على الصورة: تسعة ﺱ تربيع زائد واحد أس نصف. والآن، يمكننا الاشتقاق لإيجاد مقدار للمشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ. باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق، فإن مشتقة سالب ثلاثة ﺱ تساوي سالب ثلاثة. لكن ماذا عن مشتقة تسعة ﺱ تربيع زائد واحد أس نصف؟

حسنًا، يتعين علينا هنا استخدام قاعدة السلسلة الموسعة بما يشمل قاعدة القوة، والتي تتعلق بوجود دالة ما ﺭ ﺱ مرفوعة للقوة ﻥ، وأننا نريد إيجاد مشتقتها بالنسبة إلى ﺱ. في هذه الحالة، سيكون هذا مساويًا لـ ﻥ مضروبًا في ﺭ شرطة ﺱ مضروبًا في ﺭ ﺱ مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص واحد. إننا نضرب في الأس ثم نطرح واحدًا منه. لكننا نضرب أيضًا في مشتقة الدالة ﺭ ﺱ.

نريد إذن اشتقاق تسعة ﺱ تربيع زائد واحد أس نصف. لدينا ﻥ؛ أي الأس، وهو نصف. ومشتقة تسعة ﺱ تربيع زائد واحد؛ وهي ١٨ﺱ. ولدينا أيضًا تسعة ﺱ تربيع زائد واحد مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص واحد، وهو ما يساوي سالب نصف. يمكن تبسيط ذلك كله إلى سالب ثلاثة زائد تسعة ﺱ مضروبًا في تسعة ﺱ تربيع زائد واحد أس سالب نصف. وعليه، أصبح لدينا مقدار للمشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ. لكن علينا الآن الاشتقاق مرة أخرى.

مشتقة الحد الأول سالب ثلاثة مباشرة جدًّا. فهي تساوي صفرًا؛ لأن سالب ثلاثة ثابت. لكن ماذا عن مشتقة تسعة ﺱ مضروبًا في تسعة ﺱ تربيع زائد واحد أس سالب نصف؟ حسنًا، لدينا هنا دالتان قابلتان للاشتقاق مضروبتان معًا. لذا سيكون علينا تطبيق قاعدة الضرب. وتوضح القاعدة أنه بالنسبة إلى أي دالتين قابلتين للاشتقاق ﻉ وﻕ، فإن مشتقة حاصل ضربهما ﻉﻕ بالنسبة إلى ﺱ تساوى ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. سنضرب كل دالة في مشتقة الأخرى.

حسنًا، يمكننا تعريف ﻉ ليكون العامل الأول؛ أي تسعة ﺱ، وﻕ ليكون العامل الثاني؛ أي تسعة ﺱ تربيع زائد واحد أس سالب نصف. باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق، نجد أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي تسعة. وبعد ذلك لإيجاد قيمة ﺩﻕ على ﺩﺱ، علينا مرة أخرى استخدام قاعدة السلسلة الموسعة بما يشمل قاعدة القوة. وتوضح القاعدة أن ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي سالب نصف مضروبًا في ١٨ﺱ مضروبًا في تسعة ﺱ تربيع زائد واحد أس سالب ثلاثة على اثنين. فقد طرحنا واحدًا من الأس.

باستخدام قاعدة الضرب بعد ذلك، نجد أن مشتقة ﻉﻕ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ. هذا يساوي تسعة ﺱ مضروبًا في سالب نصف في ١٨ﺱ مضروبًا في تسعة ﺱ تربيع زائد واحد أس سالب ثلاثة على اثنين. نضيف إلى ذلك ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ، وهذا يساوي تسعة مضروبًا في تسعة ﺱ تربيع زائد واحد أس سالب نصف. يمكننا بعد ذلك أخذ العامل المشترك تسعة مضروبًا في تسعة ﺱ تربيع زائد واحد أس سالب ثلاثة على اثنين.

وبهذا يتبقى في الحد الأول سالب تسعة ﺱ تربيع. ويتبقى في الحد الثاني تسعة ﺱ تربيع زائد واحد أس واحد. وذلك لأنه عندما نجمع الأسين واحدًا وسالب ثلاثة على اثنين، نحصل على سالب نصف. ويمكن تبسيط ما بداخل القوس الكبير بسهولة. لدينا سالب تسعة ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ تربيع زائد واحد، وهذا كله يبسط إلى واحد. إذن مشتقتنا هي تسعة مضروبًا في تسعة ﺱ تربيع زائد واحد أس سالب ثلاثة على اثنين. وبتطبيق قوانين الأسس، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: تسعة على الجذر التربيعي لتسعة ﺱ تربيع زائد واحد تكعيب.

إذن بالعودة إلى كتابة مقدار لـ ﺩ شرطتين ﺱ، نجد أن المشتقة الثانية تساوي صفرًا زائد تسعة على الجذر التربيعي لتسعة ﺱ تربيع زائد واحد تكعيب. وبالطبع، لا داعي لوجود الصفر.

تذكر أن الهدف من هذا السؤال هو تحديد المواضع التي تكون فيها الدالة ﺩ ﺱ مقعرة لأعلى أو مقعرة لأسفل. ونتذكر أننا قد ذكرنا أن منحنى الدالة يكون مقعرًا لأعلى عندما تكون قيمة مشتقتها الثانية أكبر من صفر. لذا، دعونا نرى أولًا متى يتحقق ذلك. حسنًا، سيكون الأمر كذلك عندما يكون تسعة على الجذر التربيعي لتسعة ﺱ تربيع زائد واحد تكعيب أكبر من صفر. دعونا نفكر في عملية القسمة هذه. لدينا في البسط لعملية القسمة هذه تسعة، وهو ثابت أكبر من صفر. ولدينا في المقام تسعة ﺱ تربيع زائد واحد، وهو ما يعطينا قيمة أكبر من أو تساوي واحدًا. وعندما نأخذ جذره التربيعي، وفقًا للتعريف، فإننا نأخذ الجذر التربيعي الموجب؛ لذا نحصل على قيمة موجبة. ثم نكعب هذا، وهو ما يعطينا قيمة موجبة أخرى.

ومن ثم، نلاحظ أنه لجميع قيم ﺱ، سيكون خارج القسمة هذا قيمة موجبة مقسومة على قيمة موجبة، وهو ما يعطينا قيمة موجبة. هذا يعني أن المشتقة الثانية ﺩ شرطتين ﺱ دائمًا موجبة. وعليه، يكون منحنى الدالة ﺩ ﺱ مقعرًا لأعلى على جميع قيم مجالها، وهو في هذه الحالة مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها. باستخدام رمز الفترة، يمكننا إذن استنتاج أن منحنى الدالة ﺩ ﺱ سيكون مقعرًا لأعلى على الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى ∞، ولا توجد فترة تكون فيها الدالة ﺩ ﺱ مقعرة لأسفل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.