نسخة الفيديو النصية
أوجد المشتقة الثالثة للدالة ﺹ تساوي سالب ستة في جتا اثنين ﺱ.
لدينا في السؤال ﺹ، وهي دالة مثلثية في المتغير ﺱ. ومطلوب منا إيجاد المشتقة الثالثة لـ ﺹ. وستكون هذه هي المشتقة الثالثة لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. لذا، سنبدأ بإيجاد المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وهي مشتقة سالب ستة جتا اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ولفعل ذلك، يمكننا تذكر إحدى نتائج المشتقات المثلثية القياسية. وهي أنه بالنسبة لأي ثابت حقيقي ﺃ، فإن مشتقة سالب جتا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃ في جا ﺃﺱ. ويمكننا ملاحظة أن مشتقتنا ليست بهذه الصورة تمامًا. لذا، سنأخذ العامل الثابت ستة خارج المشتقة.
هذا سيعطينا المقدار الآتي، ونلاحظ أن المشتقة أصبحت على هذه الصورة تمامًا؛ حيث قيمة ﺃ تساوي اثنين. بمساواة قيمة ﺃ باثنين، يمكننا اشتقاق سالب جتا اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ لنحصل على اثنين في جا اثنين ﺱ. بعد ذلك، يمكننا تبسيط المعامل في هذا المقدار. ستة في اثنين يساوي ١٢. بذلك، نكون قد أوضحنا أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي جا ١٢ اثنين ﺱ. ولكن، تذكر أن علينا إيجاد مقدار للمشتقة الثالثة لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. أي علينا اشتقاق ذلك مرة أخرى. نشتق لنوجد ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع، الذي يساوي مشتقة جا ١٢ اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ومرة أخرى، سنبسط هذا المقدار. سنأخذ العامل الثابت ١٢ خارج المشتقة.
إذن، لإيجاد مقدار يعبر عن ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع، علينا اشتقاق جا اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ومرة أخرى، يمكننا فعل ذلك باستخدام إحدى نتائج المشتقات المثلثية القياسية. وهي أنه بالنسبة لأي ثابت حقيقي ﺃ، فإن مشتقة جا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃ في جتا ﺃﺱ. ومرة أخرى، يمكننا أن نلاحظ أن قيمة الثابت ﺃ تساوي اثنين. إذن، بوضع ﺃ يساوي اثنين، نحصل على ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي ١٢ في اثنين جتا اثنين ﺱ. ويمكننا تبسيط المعامل. ١٢ في اثنين يساوي ٢٤. بذلك، نكون قد أوضحنا أن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ٢٤ في جتا اثنين ﺱ.
لإيجاد المشتقة الثالثة لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، كل ما علينا فعله هو اشتقاق ذلك بالنسبة إلى ﺱ مرة أخرى. إذن، علينا اشتقاق جتا ٢٤ اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا فعل ذلك باستخدام إحدى نتائج المشتقات المثلثية. وهي أنه بالنسبة لأي ثابت حقيقي ﺃ، فإن مشتقة جتا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ﺃ في جا ﺃﺱ. وكما فعلنا من قبل، سنأخذ العامل الثابت ٢٤ خارج المشتقة، ثم نحسب المشتقة بوضع قيمة ﺃ تساوي اثنين. عندما نفعل ذلك، نحصل على ﺩ ثلاثة ﺹ على ﺩﺱ تكعيب يساوي ٢٤ في سالب اثنين جا اثنين ﺱ.
وأخيرًا، بتبسيط المعامل، نحصل على سالب ٤٨ في جا اثنين ﺱ، وهذه هي الإجابة النهائية. وبذلك، نكون قد أوضحنا أنه إذا كانت ﺹ تساوي سالب ستة في جتا اثنين ﺱ، فإن المشتقة الثالثة لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ٤٨ في جا اثنين ﺱ.
