نسخة الفيديو النصية
أطوال عينة من الزهور موزعة حسب التوزيع الطبيعي الذي متوسطه 𝜇، وانحرافه المعياري ١٢. إذا علم أن أطوال ١٠٫٥٦ بالمائة من هذه الزهور أقل من ٤٧ سنتيمترًا، فأوجد 𝜇.
لعلنا نتذكر أن التمثيل البياني للمنحنى الذي يمثل التوزيع الطبيعي يكون على شكل الجرس ويكون متماثلًا حول المتوسط. ولعلنا نتذكر أيضًا أن المساحة الكلية أسفل المنحنى تساوي ١٠٠ بالمائة أو واحدًا. سيساعدنا كثيرًا رسم هذا المنحنى في تحديد كيفية حل مسألة عن البيانات التي تتبع توزيعًا طبيعيًّا.
في هذه المسألة، لدينا متوسط مقداره 𝜇 وانحراف معياري 𝜎 يساوي ١٢. والآن، إذا عرفنا قيمة المتوسط، فخطوتنا التالية ستكون تحويل البيانات عن طريق حساب قيمة ﻱ. لكن بما أننا لا نعرف قيمة المتوسط هنا، فعلينا الحل بطريقة عكسية باستخدام المعلومات المعطاة عن الاحتمال.
نعلم من المعطيات أن أطوال ١٠٫٥٦ بالمائة من هذه الزهور أقل من ٤٧ سنتيمترًا. وذلك يمثل هذه المساحة تقريبًا على المنحنى لدينا. والآن، عند تحويل قيم موزعة طبيعيًّا إلى قيم ذات توزيع معياري باستخدام صيغة إيجاد القيمة ﻱ، تكون القيم على الجانب الأيسر من المتوسط سالبة.
وبما أنه ليس لدينا قيم سالبة لـ ﻱ في جدول التوزيع الطبيعي المعياري، فعلينا استخدام تماثل المنحنى لمساعدتنا في إيجاد القيمة ذات الصلة التي علينا استخدامها. ونظرًا لأن المنحنى الطبيعي متماثل حول المتوسط، فإننا نحصل على هذه القيمة بالجانب الأيمن هنا، والتي تساوي أيضًا ١٠٫٥٦ بالمائة. وهذه هي قيمة ﻱ التي نريد إيجادها.
لكن تذكر أن جدول التوزيع الطبيعي المعياري يوضح لنا أن الاحتمال يتراوح بين صفر وﻱ. وبما أن المساحة الكلية أسفل المنحنى تساوي ١٠٠، يمكننا طرح ١٠٫٥٦ بالمائة من ١٠٠ لإيجاد القيمة التي نبحث عنها. ١٠٠ ناقص ١٠٫٥٦ يساوي ٨٩٫٤٤. وعلى الصورة العشرية، هذا الناتج يساوي ٠٫٨٩٤٤.
علينا إيجاد قيمة ﻱ المرتبطة بذلك، التي تناظر الاحتمال ٠٫٨٩٤٤ في جدول التوزيع الطبيعي المعياري. في الواقع، قيمة ﻱ التي تساوي ١٫٢٥ لها احتمال يساوي ٠٫٨٩٤٤ كما هو موضح من خلال الصيغة. وهذا يعني أن قيمة ﻱ التي تساوي سالب ١٫٢٥ يجب أن يكون لها هذا الاحتمال الذي حاولنا إيجاده سابقًا وهو ١٠٫٥٦ بالمائة.
سنستخدم هذه القيمة لـ ﻱ في الصيغة لدينا بالإضافة إلى قيمة الانحراف المعياري الواردة في السؤال لحساب قيمة المتوسط. لقد ذكرنا أن قيمة ﻱ التي لها احتمال مرتبط بها يساوي ١٠٫٥٦ بالمائة هي سالب ١٫٢٥. وﺱ يساوي ٤٧، والانحراف المعياري 𝜎 يساوي ١٢.
دعونا نحل هذه المعادلة بضرب كلا الطرفين في ١٢. يصبح لدينا سالب ١٥ يساوي ٤٧ ناقص 𝜇. بعد ذلك، نطرح ٤٧ من كلا الطرفين، فنحصل على سالب ٦٢ يساوي سالب 𝜇. وأخيرًا، نضرب الطرفين في سالب واحد. من ثم، نحصل على ٦٢ يساوي 𝜇.
وبذلك نكون قد أوضحنا أن المتوسط لهذه العينة من الزهور يساوي ٦٢ سنتيمترًا.
