نسخة الفيديو النصية
أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ تساوي أربعة ﺱ على تسعة ﺱ تربيع ناقص سبعة.
حسنًا، لحل هذه المسألة وإيجاد المشتقة الأولى، سنستخدم قاعدة القسمة. ويمكننا استخدام قاعدة القسمة لأن الدالة لدينا على الصورة: ﻉ على ﻕ؛ فهي تحتوي على كسر. وتنص قاعدة القسمة على أن ﺩﺹ على ﺩﺱ؛ أي المشتقة الأولى، تساوي ﻕ ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ ﺩﻕ على ﺩﺱ الكل على ﻕ تربيع. إذن، من الناحية العملية، هذا يعني أن لدينا المقام مضروب في مشتقة البسط ناقص البسط مضروبًا في مشتقة المقام، الكل مقسوم على المقام تربيع.
الآن وقد تذكرنا هذه القاعدة، دعونا نبدأ في استخدامها وإيجاد مشتقة الدالة. الخطوة الأولى هي تحديد ﻉ وﻕ. حسنًا، ﻉ يساوي أربعة ﺱ، وﻕ يساوي تسعة ﺱ تربيع ناقص سبعة؛ وذلك لأنهما في الواقع البسط والمقام على الترتيب. الخطوة التالية هي اشتقاق أربعة ﺱ واشتقاق تسعة ﺱ تربيع ناقص سبعة.
سنبدأ بـ ﻉ. لدينا ﺩﻉ على ﺩﺱ، لكن قبل أن نوجد قيمة ذلك دعونا نتوقف هنا ونسترجع معًا كيفية الاشتقاق. إذا كانت لدينا دالة على الصورة: ﺃﺱ أس ﺏ، فإننا نعلم أن المشتقة الأولى ستكون: ﺃﺏﺱ أس ﺏ ناقص واحد. إذن ما فعلناه هنا هو أننا ضربنا المعامل في الأس، ثم طرحنا واحدًا من الأس. ولهذا، أصبح لدينا: ﺃﺏﺱ أس ﺏ ناقص واحد.
حسنًا، دعونا الآن نطبق ذلك ونشتق ﻉ. إذا اشتققنا ﻉ، فسنحصل على أربعة، وذلك لأننا ضربنا المعامل أربعة في الأس لدينا؛ أي واحد، وهذا يعطينا أربعة. ولدينا بعد ذلك ﺱ أس واحد ناقص واحد؛ أي أس صفر، وﺱ أس صفر يساوي واحدًا. إذن، نجد أن لدينا أربعة فقط.
سننتقل الآن إلى ﺩﻕ على ﺩﺱ. حسنًا، ﺩﻕ على ﺩﺱ يعطينا ١٨ﺱ، وذلك لأننا اشتققنا الحد الأول —تسعة مضروبًا في اثنين يساوي ١٨ — وطرحنا واحدًا من الأس. وبذلك، يصبح لدينا ﺱ فقط. وهذا هو كل شيء هنا؛ لأن اشتقاق سالب سبعة يساوي صفرًا وذلك لأنه إذا كان لديك عدد صحيح، فإن اشتقاقه يساوي صفرًا. حسنًا، لدينا الآن ﺩﻉ على ﺩﺱ و ﺩﻕعلى ﺩﺱ، دعونا نطبق قاعدة القسمة.
لدينا في البداية ﻕ ﺩﻉ على ﺩﺱ. إذن لدينا أربعة مضروبًا في تسعة ﺱ تربيع ناقص سبعة، أو يمكننا الضرب بالطريقة الإبدالية؛ فذلك أسهل، ثم نفك القوس. ونطرح من هذا أربعة ﺱ مضروبًا في ١٨ﺱ؛ هذه قيمة ﻉ ﺩﻕ على ﺩﺱ، الكل مقسوم على ﻕ تربيع — أي تسعة ﺱ تربيع ناقص سبعة الكل تربيع.
سننتقل الآن إلى الخطوة التالية، وهي فك الأقواس. لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ما يلي: الحد الأول في البسط وهو ٣٦ﺱ تربيع — لأنه حاصل ضرب أربعة في تسعة ﺱ تربيع— ناقص ٢٨؛ أي حاصل ضرب أربعة في سالب سبعة. وأخيرًا، لدينا ناقص ٧٢ﺱ تربيع. وهذا لأن لدينا أربعة ﺱ مضروب في ١٨ﺱ، وهو ما يعطينا ٧٢ﺱ تربيع، ثم لدينا إشارة السالب في المنتصف. حسنًا، هذا كله مقسوم على ﻕ تربيع الذي يساوي تسعة ﺱ تربيع ناقص سبعة الكل تربيع.
سننتقل الآن إلى الخطوة الأخيرة؛ وهي تبسيط البسط. كل ما علينا فعله هو طرح ٧٢ﺱ تربيع من ٣٦ﺱ تربيع، وهو ما يساوي سالب ٣٦ﺱ تربيع.
إذن، يمكننا القول إن المشتقة الأولى للدالة ﺹ تساوي أربعة ﺱ على تسعة ﺱ تربيع ناقص سبعة تساوي سالب ٣٦ﺱ تربيع ناقص ٢٨ على تسعة ﺱ تربيع ناقص سبعة الكل تربيع.
