فيديو السؤال: إيجاد مجموعة حل معادلة تربيعية بمعلومية نقطة رأس منحنى الدالة التربيعية ذات الصلة الرياضيات

إذا كانت النقطة (٩‎، ٠) هي نقطة رأس منحنى الدالة التربيعية ﺩ، فما مجموعة حل المعادلة ﺩ(ﺱ) = ٠؟

٠٦:١٦

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت النقطة تسعة، صفر هي نقطة رأس منحنى الدالة التربيعية ﺩ، فما مجموعة حل المعادلة ﺩﺱ يساوي صفرًا؟

في هذا السؤال، لدينا بعض المعلومات عن الدالة التربيعية ﺩ. علمنا أن النقطة تسعة، صفر هي رأس منحنى هذه الدالة. وعلينا استخدام هذه المعلومة لتحديد مجموعة حل المعادلة ﺩﺱ يساوي صفرًا. ولكي نفعل ذلك، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه برأس الدالة التربيعية ﺩ.

يمكننا البدء بتذكر أن منحنى أي دالة تربيعية سيكون له شكل قطع مكافئ، وهناك اتجاهان محتملان يمكن أن يأخذهما قوس القطع المكافئ هذا. أولًا، عندما يكون المعامل الرئيسي سالبًا، نعلم أن قوس القطع المكافئ سيكون مفتوحًا لأسفل. ثانيًا، إذا كان المعامل الرئيسي موجبًا، فإننا نعلم أن قوس القطع المكافئ سيكون مفتوحًا لأعلى. إذن، هذان هما الشكلان العامان المحتملان اللذان يمكن أن يتخذهما منحنى الدالة ﺩ. هناك أمر مثير للانتباه يمكننا ملاحظته بشأن هذين الشكلين. توجد نقطة تحول واحدة ونسميها «رأس الدالة التربيعية».

ثمة خواص مثيرة للانتباه بشأن رأس القطع المكافئ تجدر الإشارة إليها. أولًا، يمر خط التماثل لهذا القطع المكافئ عبر الرأس. ثانيًا، إذا فتحت الدالة التربيعية لأسفل، فإن الرأس يقع عند أكبر قيمة مخرجة للدالة. وبالمثل، إذا فتحت الدالة التربيعية لأعلى، فإن هذا الرأس يقع عند أصغر قيمة مخرجة للدالة. يمكننا استخدام هذا لتحديد معلومات حول منحنى الدالة ﺩ. لكن علينا أيضًا ربط هذا بمجموعة حل المعادلة ﺩﺱ يساوي صفرًا. ويمكننا فعل ذلك بملاحظة أنه إذا كان ﺱ حلًّا لهذه المعادلة، حيث ﺩﺱ يساوي صفرًا، فإن القيمة المخرجة للدالة هي صفر. إذن، الإحداثي ﺹ لهذه النقطة على المنحنى هو صفر. وسيكون الجزء الذي يقطعه المنحنى من المحور ﺱ.

ومن ثم، يمكننا الإجابة عن هذا السؤال عن طريق تحديد الأجزاء المقطوعة المحتملة من المحور ﺱ من منحنى الدالة ﺩﺱ من خلال معرفة أن رأسها هو النقطة تسعة، صفر. حسنًا، دعونا نرسم الآن بعض المنحنيات المحتملة للدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ. وسنبدأ بتحديد الرأس على التمثيل البياني؛ وهو النقطة تسعة، صفر.

أحد المنحنيات المحتملة للدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ قد يبدو كما هو موضح؛ فهو قطع مكافئ مفتوح لأعلى يقع رأسه عند النقطة تسعة، صفر. ومع ذلك، علينا أن نعرف أن هناك عددًا لا نهائيًّا من الدوال التربيعية التي تقع رءوسها عند النقطة تسعة، صفر. على سبيل المثال، قد يبدو منحنى الدالة كما هو موضح. فيمكن أن يكون قطعًا مكافئًا ذا فتحة أوسع؛ وقد يكون أيضًا قطعًا مكافئًا ذا فتحة أضيق. وبالمثل، بما أنه ليس لدينا أي معلومات عن الدالة ﺩﺱ غير إحداثيات رأسها، فيمكن كذلك أن يكون القطع المكافئ مفتوحًا لأسفل.

لكن إذا نظرنا إلى الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ لكل هذه المنحنيات المحتملة، يمكننا أن نلاحظ شيئًا مثيرًا للانتباه. جميع هذه المنحنيات لها جزء واحد مقطوع من المحور ﺱ، وهو رأس القطع المكافئ. وهذه الحقيقة ترتبط بخواص القطوع المكافئة التي ناقشناها من قبل. ففي القطع المكافئ المفتوح لأسفل، يقع الرأس عند أكبر قيمة مخرجة للدالة، وفي القطع المكافئ المفتوح لأعلى، يقع الرأس عند أصغر قيمة مخرجة للدالة. وفي كلتا الحالتين، نحصل فقط على جزء واحد مقطوع من المحور ﺱ عند النقطة تسعة، صفر.

إذن، يوجد حل واحد فقط لهذه المعادلة، وهو أن قيمة ﺱ يجب أن تساوي تسعة. ولكي نكتب ذلك على صورة مجموعة حل، وهي مجموعة كل الحلول الممكنة للمعادلة، نحصل على المجموعة التي عنصرها الوحيد هو تسعة. من الجدير بالملاحظة أن هذه الخاصية تنطبق بوجه عام على أي قطع مكافئ. فإذا كان رأس الدالة التربيعية يقع على المحور ﺱ، فإن هذا هو الحل الوحيد للمعادلة ﺩﺱ يساوي صفرًا. وسيكون لها جزء واحد مقطوع من المحور ﺱ.

إذن، تمكنا من توضيح أنه إذا كانت النقطة تسعة، صفر هي رأس منحنى الدالة التربيعية ﺩ، فإن مجموعة حل المعادلة ﺩﺱ يساوي صفرًا هي المجموعة التي عنصرها الوحيد هو تسعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.