نسخة الفيديو النصية
أوجد مجموعة أصفار الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص ١٥ مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص ١٤ﺱ زائد ٤٥.
مطلوب منا إيجاد مجموعة أصفار الدالة المعطاة ﺩﺱ. الدالة ﺩﺱ عبارة عن حاصل ضرب عاملين تربيعيين. لكن إذا قمنا بفك الأقواس، فسنجد أنها دالة كثيرة الحدود. أصفار الدالة الكثيرة الحدود ﺩﺱ أو جذورها هي قيم ﺱ يساوي ﺃ التي تجعل ﺩﺃ تساوي صفرًا. وأصفار هذه الدالة الكثيرة الحدود هي في الأساس قيم المتغير التي تجعل قيمة الدالة تساوي صفرًا. ولإيجاد قيم ﺱ هذه، نساوي المقدار الذي يعبر عن ﺩﺱ بصفر.
كما قلنا سابقًا، هذه الدالة ﺩﺱ عبارة عن حاصل ضرب دالتين تربيعيتين. إذا كان حاصل ضرب هاتين الدالتين يساوي صفرًا، فإن أحد هذين العاملين التربيعيين على الأقل يجب أن يساوي صفرًا. إذن إما أن ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص ١٥ يساوي صفرًا، وإما أن ﺱ تربيع ناقص ١٤ﺱ زائد ٤٥ يساوي صفرًا. علينا الآن حل كل من هاتين المعادلتين التربيعيتين. ولفعل ذلك، توجد عدة طرق يمكننا استخدامها، مثل تطبيق القانون العام أو طريقة إكمال المربع. لكن إذا كان من الممكن حل معادلة تربيعية باستخدام التحليل، فإن هذه هي أبسط الطرق عادة، لذا دعونا نجربها أولًا.
بالنظر أولًا إلى المعادلة التربيعية ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص ١٥، نجد أن معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا. إذن، الحد الأول في كل من العاملين الخطيين هو ﺱ. ولإكمال العاملين نفكر في عددين مجموعهما يساوي معامل ﺱ الذي يساوي سالب اثنين، وحاصل ضربهما يساوي الحد الثابت سالب ١٥. هذان العددان هما سالب خمسة وموجب ثلاثة. إذن، الصورة التحليلية للمعادلة التربيعية الأولى هي ﺱ ناقص خمسة مضروبًا في ﺱ زائد ثلاثة يساوي صفرًا.
لدينا الآن عاملان خطيان حاصل ضربهما يساوي صفرًا. مرة أخرى نسترجع أنه إذا كان حاصل ضرب العاملين يساوي صفرًا، فإن أحدهما على الأقل يجب أن يساوي صفرًا. ومن ثم يصبح لدينا المعادلتان الخطيتان ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا وﺱ زائد ثلاثة يساوي صفرًا. يمكن حل هاتين المعادلتين في خطوة واحدة؛ وذلك بإضافة خمسة إلى طرفي المعادلة الأولى وطرح ثلاثة من طرفي المعادلة الثانية، فنحصل على الحلين ﺱ يساوي خمسة وﺱ يساوي سالب ثلاثة. إذن، اثنان من أصفار الدالة ﺩﺱ هما سالب ثلاثة وخمسة.
بعد ذلك نتبع العملية نفسها لتحليل المعادلة التربيعية الثانية. هذه المرة نفكر في عددين مجموعهما سالب ١٤ وحاصل ضربهما ٤٥. هذان العددان هما سالب خمسة وسالب تسعة. إذن، الصورة التحليلية للمعادلة التربيعية الثانية هي ﺱ ناقص خمسة مضروبًا في ﺱ ناقص تسعة يساوي صفرًا. بعد ذلك نساوي كلًّا من هذين العاملين الخطيين بصفر، ونحل المعادلتين الناتجتين لنحصل على ﺱ يساوي خمسة وﺱ يساوي تسعة.
لاحظ أننا قد أوجدنا بالفعل أن إحدى هاتين القيمتين، وهي ﺱ يساوي خمسة، من أصفار الدالة ﺩﺱ، وذلك باستخدام العامل التربيعي الأول. ومن ثم ليس علينا إدراج هذه القيمة مرتين عند سرد الأصفار. إذن بإضافة القيمة تسعة فقط إلى مجموعة الأصفار، نجد أن مجموعة أصفار الدالة ﺩﺱ، وهي جميع قيم ﺱ التي تجعل ﺩﺱ تساوي صفرًا، هي المجموعة التي تحتوي على القيم سالب ثلاثة وخمسة وتسعة.
