فيديو السؤال: إيجاد العدد المجهول في نسبة الظل للزوايا في المثلثات المتساوية الأضلاع

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة ‪𝐾‬‏ إذا كان ‪𝐴𝐵𝐶‬‏ مثلثًا متساوي الأضلاع؛ حيث ‪𝐷‬‏ تقع على ‪𝐴𝐵‬‏، و‪𝐴𝐷‬‏ يساوي خمسة سنتيمترات و‪𝐷𝐵‬‏ يساوي ‪12‬‏ سنتيمترًا و‪𝐾‬‏ في ظل الزاوية ‪𝑋‬‏ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة.

تتضمن المعطيات صورة لنستخدمها هنا. وطولا الضلعين ‪𝐴𝐷‬‏ و‪𝐵𝐷‬‏ مكتوب عليهما: خمسة و‪12‬‏ على الترتيب. نعلم أن المثلث ‪𝐴𝐵𝐶‬‏ هو مثلث متساوي الأضلاع. وهذا يعني أن المسافة من ‪𝐶‬‏ إلى ‪𝐵‬‏ تساوي ‪17‬‏ سنتيمترًا. وهذا يساوي خمسة زائد ‪12‬‏. وطول ‪𝐴𝐶‬‏ أيضًا يساوي ‪17‬‏ سنتيمترًا. ففي المثلث المتساوي الأضلاع، تكون أطوال الأضلاع كلها متساوية. ثمة شيء آخر يمكننا قوله بخصوص هذا المثلث. نعلم قياسي الزاويتين ‪𝐵‬‏ و‪𝐴‬‏؛ فقياس كل منهما ‪60‬‏ درجة.

وذلك لأنه في المثلث المتساوي الأضلاع، يكون قياس كل زاوية من الزوايا الثلاثة ‪60‬‏ درجة. الأمر التالي الذي علينا وضعه في الاعتبار هو أننا نتعامل مع نسبة ظل الزاوية، لكننا لا نتعامل مع زاوية قائمة. وهذا يعني أنه علينا استخدام بضعة قوانين مختلفة لحل هذه المسألة. ظل الزاوية ‪𝑋‬‏ يساوي جيب الزاوية ‪𝑋‬‏ على جيب تمام الزاوية ‪𝑋‬‏، وهذا يعني أنه علينا إيجاد قيمة كل من جيب وجيب تمام الزاوية ‪𝑋‬‏ هذه. تقع الزاوية ‪𝑋‬‏ داخل المثلث الصغير الموجود داخل المثلث المتساوي الأضلاع.

نعلم طولي ضلعين، طول الضلع ‪12‬‏ وطول الضلع ‪17‬‏، ونعلم قياس الزاوية بين هذين الضلعين: ضلع-زاوية-ضلع. ينقصنا طول هذه المسافة من ‪𝐶‬‏ إلى ‪𝐷‬‏. وبما أن لدينا ضلعًا وزاوية وضلعًا، يمكننا استخدام قانون جيب التمام لإيجاد طول الضلع الثالث. الطول المجهول ‪𝑏‬‏ تربيع يساوي ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑐‬‏ تربيع ناقص اثنين ‪𝑎𝑐‬‏ في جيب تمام الزاوية ‪𝐵‬‏. نعوض بطولي الضلعين الآخرين ‪12‬‏ و‪17‬‏ عن ‪𝑎‬‏ و‪𝑐‬‏، ثم ناقص اثنين في ‪12‬‏ في ‪17‬‏ في جيب تمام الزاوية ‪𝐵‬‏. قياس الزاوية ‪𝐵‬‏ يساوي ‪60‬‏ درجة.

بحل جزء واحد في المرة الواحدة؛ ‪12‬‏ تربيع يساوي ‪144‬‏، و‪17‬‏ تربيع يساوي ‪289‬‏، واثنان في ‪12‬‏ في ‪17‬‏ يساوي ‪408‬‏، وجيب تمام الزاوية ‪60‬‏ درجة يساوي نصفًا. يمكنني ضرب ‪408‬‏ في نصف. فيكون الناتج ‪204‬‏. نكتب كل شيء بالأسفل هنا: ‪144‬‏ زائد ‪289‬‏ ناقص ‪204‬‏ يساوي ‪229‬‏. إذن ‪𝑏‬‏ تربيع يساوي ‪229‬‏. نحتاج إلى أخذ الجذر التربيعي لنوجد قيمة ‪𝑏‬‏ وحده.

‏‏‪𝑏‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪229‬‏، ولن نبسط هذا أكثر من ذلك. سنتركه بصورة الجذر التربيعي لـ ‪229‬‏. في المثلث الأصفر، نعلم الآن أطوال الأضلاع الثلاثة: ضلع-ضلع-ضلع. يمكننا استخدام أطوال الأضلاع الثلاثة هذه لإيجاد قيمة جيب تمام الزاوية ‪𝑋‬‏. سنستخدم قانون جيب التمام مرة أخرى. في قانون جيب التمام، إذا أردنا إيجاد قيمة الزاوية ‪𝑋‬‏، فسنستخدم القيمة ‪12‬‏ المكتوبة على الضلع المقابل.

وتصبح ‪12‬‏ تربيع يساوي ‪17‬‏ تربيع زائد الجذر التربيعي لـ ‪229‬‏ تربيع ناقص اثنين في ‪17‬‏ في الجذر التربيعي لـ ‪229‬‏ في جيب تمام ‪𝑋‬‏، وهي قيمة لا نعرفها. هذه هي القيمة المجهولة. نحتاج إلى إيجاد قيمة جيب تمام الزاوية ‪𝑋‬‏. سنحل المعادلة جزءًا جزءًا؛ ‪12‬‏ تربيع يساوي ‪144‬‏. ‏‏‪17‬‏ تربيع يساوي ‪289‬‏. الجذر التربيعي لـ ‪229‬‏ تربيع يساوي ‪229‬‏. اثنان في ‪17‬‏ يساوي ‪34‬‏. وسنترك الجذر التربيعي لـ ‪229‬‏ كما هو دون أن نبسطه.

نكتب بالأسفل جيب تمام ‪𝑋‬‏. وبجمع ‪289‬‏ و‪229‬‏، نحصل على ‪518‬‏. ونكتب كل شيء آخر بالأسفل. نطرح ‪518‬‏ من كلا طرفي المعادلة، و‪518‬‏ في اليمين ناقص ‪518‬‏ يلغي كل منهما الآخر. وفي اليسار، نحصل على سالب ‪374‬‏. بعد ذلك، نكتب كل شيء آخر بالأسفل. لنحصل على جيب تمام الزاوية ‪𝑋‬‏ في طرف وحده، سنقسم كلا طرفي المعادلة على سالب ‪34‬‏ في الجذر التربيعي لـ ‪229‬‏. في الطرف الأيمن يلغي كل منهما الآخر، إذن جيب تمام ‪𝑋‬‏ يساوي سالب ‪374‬‏ على سالب ‪34‬‏ في الجذر التربيعي لـ ‪229‬‏.

ربما تتساءل في هذه المرحلة عن نتيجة ما نفعله الآن، لكن انتظر قليلًا! ما سأفعله الآن هو قسمة سالب ‪374‬‏ على سالب ‪34‬‏. وهذا يعطينا موجب ‪11‬‏. ولن نبسط الجذر التربيعي لـ ‪229‬‏. لقد وجدنا أن جيب تمام ‪𝑋‬‏ يساوي ‪11‬‏ على الجذر التربيعي لـ ‪229‬‏. والآن نحن نريد إيجاد جيب الزاوية ‪𝑋‬‏. وللقيام بذلك، سنستخدم قانون الجيب الذي ينص على أن جيب الزاوية ‪𝐵‬‏ على طول الضلع المقابل لها ‪𝑏‬‏ يساوي جيب الزاوية ‪𝐴‬‏ على طول الضلع المقابل لها ‪𝑎‬‏.

نستخدم جيب الزاوية وطول الضلع المقابل لها، وجيب زاوية أخرى وطول الضلع المقابل لها. لدينا جيب الزاوية ‪60‬‏ درجة على الجذر التربيعي لـ ‪229‬‏، وجيب الزاوية ‪𝑋‬‏، الذي لا نعرف قيمته بعد، على ‪12‬‏. لإيجاد قيمة جيب الزاوية ‪𝑋‬‏، سأضرب الطرف الأيمن في ‪12‬‏ على واحد. وإذا ضربنا الطرف الأيمن في ‪12‬‏ على واحد، فعلينا القيام بذلك في الطرف الأيسر أيضًا. مرة أخرى! انتظر قليلًا وسيتضح لم نقوم بكل هذا قريبًا!

ما قيمة جيب الزاوية ‪60‬‏ درجة؟ جيب الزاوية ‪60‬‏ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. سأفسح لنا القليل من المساحة للكتابة. ‏‏‪12‬‏ في الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين يساوي ستة في الجذر التربيعي لثلاثة. ومرة أخرى، سنكتب الجذر التربيعي لـ ‪229‬‏ بالأسفل. وهذه قيمة جيب الزاوية ‪𝑋‬‏. إذا استخدمنا جيب التمام والجيب لإيجاد الظل، فسنحتاج للبسطين فقط لأن المقامين سيلغي كل منهما الآخر.

سنستخدم بسط جيب الزاوية ‪𝑋‬‏ وبسط جيب تمام الزاوية ‪𝑋‬‏ بالتعويض في ظل الزاوية. ظل الزاوية ‪𝑋‬‏ يساوي ستة في الجذر التربيعي لثلاثة على ‪11‬‏. لدينا هذه المعلومة الأخرى: ‪𝐾‬‏ في ظل الزاوية ‪𝑋‬‏ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة. وسؤالنا يطلب إيجاد قيمة ‪𝐾‬‏. سنستخدم قيمة ظل الزاوية ‪𝑋‬‏ التي أوجدناها ونعوض بها.

‏‏‪𝐾‬‏ في ستة في الجذر التربيعي لثلاثة على ‪11‬‏ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة. سأحلل العوامل فقط حتى يمكننا رؤيتها بوضوح أكثر. إذا قسمت كلا طرفي المعادلة على الجذر التربيعي لثلاثة، ففي الطرف الأيسر يلغي كل منهما الآخر؛ وفي الطرف الأيمن، الجذر التربيعي لثلاثة على الجذر التربيعي لثلاثة يساوي واحدًا. إذن، ‪𝐾‬‏ في ستة على ‪11‬‏ يساوي واحدًا. ثم نضرب كلا الطرفين في ‪11‬‏ على ستة. في الطرف الأيسر يلغي كل منهما الآخر، فيتبقى لدينا ‪𝐾‬‏ يساوي واحدًا في ‪11‬‏ على ستة. إذن، ‪𝐾‬‏ يساوي ‪11‬‏ على ستة. وهكذا حللنا السؤال! حللنا السؤال خطوة بخطوة وأوجدنا قيمة كل مجهول، لنجد أخيرًا أن قيمة ‪𝐾‬‏ تساوي ‪11‬‏ على ستة.