فيديو: إيجاد قياس زاوية باستخدام خواص مماسات الدائرة

في الشكل التالي، ﺃﺏ مماس للدائرة ﻡ عند ﺏ، جـﺩ قطر فيها، ﻕ∠ﺏﺃﻡ = ﺱ، ﻕ∠ﻡﺩﺏ = ۲ﺱ − ٥٥. أوجد قيمة ﺱ بالدرجات.

٠٦:٢٧

‏نسخة الفيديو النصية

في الشكل التالي، ﺃﺏ مماس للدائرة ﻡ عند ﺏ، وجـﺩ قطر فيها، وقياس الزاوية ﺏﺃﻡ يساوي ﺱ، وقياس الزاوية ﻡﺩﺏ يساوي اثنين ﺱ ناقص ٥٥. أوجد قيمة ﺱ بالدرجات.

كلما يأتيكم سؤال من هذا النوع، أقول دائمًا: اكتبوا على الرسم الزوايا التي تعرفونها بالفعل أو التي يمكنكم التوصل إليها أولًا. الزاوية الأولى التي يمكن أن نعرفها هي الزاوية ﺩﺏﻡ، والتي يساوي قياسها اثنين ﺱ ناقص ٥٥. ونعرف أن قياسها يساوي اثنين ﺱ ناقص ٥٥ لأنها ستكون مساوية للزاوية ﻡﺩﺏ؛ لأن هذا مثلث متساوي الساقين. لكن كيف عرفنا أنه مثلث متساوي الساقين؟ حسنًا، لا بد أن يكون مثلثًا متساوي الساقين؛ لأن طول ﺩﻡ لا بد أن يساوي طول ﻡﺏ، إذ إن كليهما نصف قطر للدائرة.

حسنًا، رائع، والآن ما الذي يمكن أن نعرفه غير ذلك؟ الزاوية التالية التي نعرف قياسها هي الزاوية ﺃﺏﻡ. فنعرف أن قياس الزاوية ﺃﺏﻡ يساوي ٩۰ درجة. إذن، فهي زاوية قائمة؛ وذلك لأنها الزاوية التي بين مماس ونصف قطر، والزاوية التي بين المماس ونصف القطر قياسها دائمًا ٩۰ درجة. حسنًا، بذلك نكون قد كتبنا جميع قياسات الزوايا التي يمكن أن نعرفها.

وحان الآن وقت حساب قياسات بعض الزوايا الأخرى. أولًا، سنبدأ بالزاوية ﺩﻡﺏ. نحن نعرف أن قياس الزاوية ﺩﻡﺏ يساوي ۱٨۰ ناقص اثنين ﺱ ناقص ٥٥، ناقص اثنين ﺱ ناقص ٥٥، ما يساوي ۱٨۰ زائد ۱۱۰ ناقص أربعة ﺱ. والآن سأشير إلى خطأ شائع هنا. الخطأ الشائع هو أن يكون لدينا ناقص ۱۱۰. والسبب في أن يحدث ذلك هو أننا نرى أنه كان سالب ٥٥ سالب ٥٥. لكن بما أن لدينا ناقص سالب، فهذا يتحول إلى موجب. فنحصل بذلك على زائد ۱۱۰. وهكذا، يمكننا القول: إن قياس الزاوية ﺩﻡﺏ يساوي ۲٩۰ ناقص أربعة ﺱ. وهذا لأن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ۱٨۰.

إذن، يمكننا الآن الانتقال إلى الزاوية ﺏﻡﺃ، التي قياسها يساوي ۱٨۰ ناقص، ثم لدينا ۲٩۰ ناقص أربعة ﺱ. وذلك لأن هذا هو قياس الزاوية ﺩﻡﺏ. ويعطينا ذلك أربعة ﺱ ناقص ۱۱۰. مرة أخرى، ركز في القيم السالبة؛ لأن لدينا هنا ناقص سالب، ما يعطينا مرة أخرى موجب أربعة ﺱ. ومرة أخرى نوضح السبب. والسبب في ذلك هو أن الزوايا التي على خط مستقيم مجموع قياساتها يساوي ۱٨۰ درجة. لذا، فالزاوية ﺩﻡﺏ والزاوية ﺏﻡﺃ يجب أن يساوي مجموع قياسهما ۱٨۰ درجة.

حسنًا، رائع، ها قد أوجدنا قياس هذه الزاوية. يمكننا المتابعة الآن وإيجاد قياس الزاوية التي نبحث عنها، وهي الزاوية ﺏﺃﻡ. لذا، يمكننا القول: إن قياس الزاوية ﺏﺃﻡ يساوي ۱٨۰ ناقص ٩۰، ناقص أربعة ﺱ ناقص ۱۱۰. ويمكننا القول إذن: إن ﺱ يساوي ۲۰۰ ناقص أربعة ﺱ. ونقول ﺱ هنا لأن قياس الزاوية ﺏﺃﻡ يساوي ﺱ. إذن، فقد حصلنا على ﺱ يساوي ۲۰۰ ناقص أربعة ﺱ، ويمكننا حل ذلك لإيجاد قيمة ﺱ. فإذا أضفنا أربعة ﺱ إلى كل طرف، فنحصل على خمسة ﺱ يساوي ۲۰۰. ثم نقسم كلا الطرفين على خمسة. ونحصل على ﺱ يساوي ٤۰. ومن ثم، يمكننا القول: إن قياس الزاوية ﺏﺃﻡ يساوي ٤۰ درجة. وبالتالي، فإن ﺱ يساوي ٤۰ درجة.

حسنًا، رائع، ها قد وصلنا إلى الإجابة النهائية. لكن ما نريد فعله هنا هو أن نتحقق سريعًا من الإجابة. سأفعل ذلك باستخدام المثلث الأول، وهو المثلث ﺏﺩﻡ. عند جمع قياسات الزوايا الثلاث، نحصل على اثنين ﺱ ناقص ٥٥، زائد اثنين ﺱ ناقص ٥٥، زائد ۲٩۰ ناقص أربعة ﺱ. والآن إذا عوضنا بقيمة ﺱ، وهي ٤۰، فسنحصل على ٨۰ ناقص ٥٥؛ لأن حاصل ضرب اثنين في ٤۰ يعطينا ٨۰، زائد — مرة أخرى — ٨۰ ناقص ٥٥، زائد ۲٩۰ ناقص ۱٦۰؛ لأنه مرة أخرى حاصل ضرب أربعة في ٤۰ يساوي ۱٦۰.

حسنًا، رائع، لنحسب ذلك إذن. يعطينا ذلك ۱٨۰. ونحن نعرف أن هذا صحيح؛ لأن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ۱٨۰. وبالتالي، يمكننا القول بثقة: إن ﺱ يساوي ٤۰ درجة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.