نسخة الفيديو النصية
أي من الآتي يمثل الدالة ﺭﺱ التي خطا تقاربها هما نفس خطي تقارب الدالة الممثلة بيانيًّا ﺩﺱ؟ الخيار أ: ﺭﺱ تساوي واحدًا مقسومًا على ﺱ ناقص اثنين ناقص ثلاثة. الخيار ب: ﺭﺱ تساوي واحدًا مقسومًا على ﺱ زائد اثنين زائد ثلاثة. الخيار ج: ﺭﺱ تساوي واحدًا مقسومًا على ﺱ ناقص اثنين زائد ثلاثة. الخيار د: ﺭﺱ تساوي واحدًا مقسومًا على ﺱ ناقص ثلاثة زائد اثنين. الخيار هـ: ﺭﺱ تساوي واحدًا مقسومًا على ﺱ زائد ثلاثة زائد اثنين.
في هذا السؤال مطلوب منا تحديد أي دالة من الدوال الخمس المعطاة تمثل الدالة ﺭﺱ. ولمساعدتنا في تحديد هذه الدالة، لدينا تمثيل بياني للدالة ﺩﺱ. ونعلم من المعطيات أن خطي تقارب ﺩﺱ هما نفس خطي تقارب ﺭﺱ. لذا علينا استخدام التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ لتحديد خطي تقاربها. لفعل ذلك دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بخطوط تقارب الدالة. خطوط التقارب لمنحنى دالة ما هي خطوط مستقيمة يقترب منها المنحنى. تحديدًا، خطوط التقارب الأفقية خطوط أفقية يقترب منها منحنى الدالة، وخطوط التقارب الرأسية خطوط رأسية يقترب منها منحنى الدالة.
بالنظر إلى منحنى ﺩﺱ، يمكننا ملاحظة أن لها خطي تقارب. أولًا، نلاحظ أن لها خط تقارب أفقيًّا كما هو موضح. هذا لأنه عندما تقترب قيم ﺱ من ∞، نجد أن منحنى الدالة يقترب من هذا الخط الأفقي. ويمكننا ملاحظة أيضًا أن الشيء نفسه ينطبق عندما تقترب قيم ﺱ من سالب ∞. إن المنحنى يقترب من هذا الخط الأفقي. وهذا هو الخط الأفقي الوحيد الذي ينطبق عليه ذلك. لذا يوجد خط تقارب أفقي وحيد لهذا المنحنى، ونلاحظ أنه يقع بين ﺹ يساوي اثنين وأربعة. وبما أن هذا الخط يقع في منتصف المسافة بالضبط بين هاتين القيمتين، فهذا يعني أنه الخط الأفقي ﺹ يساوي ثلاثة.
يمكننا اتباع طريقة مشابهة جدًّا لتوضيح أن الخط الرأسي ﺱ يساوي اثنين هو خط تقارب رأسي للدالة ﺩﺱ. نعرف ذلك بملاحظة أنه مع اقتراب قيم ﺱ من اثنين من الاتجاه الموجب، تتناقص قيم مخرجات الدالة بلا حدود. وبالمثل، مع اقتراب قيم ﺱ من اثنين من الاتجاه السالب، يمكننا أن نلاحظ أن قيم مخرجات الدالة، أي قيم الإحداثي ﺹ للنقاط الواقعة على المنحنى، تتزايد بلا حدود. لذا يقترب المنحنى أكثر فأكثر من الخط المستقيم ﺱ يساوي اثنين.
إذن منحنى الدالة ﺩﺱ له خطا تقارب: خط التقارب الأفقي ﺹ يساوي ثلاثة، وخط التقارب الرأسي ﺱ يساوي اثنين. لكن نتذكر أننا علمنا من المعطيات أن الدالة ﺭﺱ لها نفس خطي التقارب. هذا يعني أن ﺭﺱ لا بد أن يكون لها نفس خطي التقارب هذين. حسنًا، دعونا نتناول الخيارات الخمسة المعطاة لنحدد أي من هذه الخيارات له أيضًا خطي التقارب هذين.
هناك بعض الطرق المختلفة التي يمكننا اتباعها لفعل ذلك. إحدى الطرق هي أن نتذكر أننا نعرف أن منحنى الدالة ﺹ يساوي واحدًا مقسومًا على ﺱ ناقص ﺃ زائد ﺏ؛ حيث ﺃ وﺏ ثابتان، يكون له خطا تقارب هما: ﺱ يساوي ﺃ وﺹ يساوي ﺏ. هذا لأنه كلما اقتربت قيم ﺱ من ﺃ، ستقل قيمة المقدار ﺱ ناقص ﺃ أكثر فأكثر. وقسمة واحد على حد تقل قيمته أكثر فأكثر، ينتج عنها عدد تزداد قيمته بلا حدود. إذن عندما تقترب قيم ﺱ من ﺃ، ستقترب قيم مخرجات هذه الدالة من ∞ أو سالب ∞. وهذا يعني أن ﺱ يساوي ﺃ خط تقارب رأسيًّا لهذا المنحنى. بالمثل عندما تقترب قيم ﺱ من موجب ∞ أو سالب ∞، تقترب قيمة الحد الأول من الصفر، وهو ما يعني أنه سيكون لدينا خط تقارب أفقي وهو ﺹ يساوي ﺏ.
إذن يمكننا إيجاد دالة لها نفس خطي تقارب ﺩﺱ باستخدام ﺃ يساوي اثنين وﺏ يساوي ثلاثة. ومن المهم ملاحظة أننا نطرح ﺃ في المقام. من ثم سنحصل على واحد مقسومًا على ﺱ ناقص اثنين زائد ثلاثة. ويمكننا ملاحظة أن هذا هو الخيار ج. نعلم أن الدالة في هذا الخيار لها خط تقارب رأسي عند ﺱ يساوي اثنين، وخط تقارب أفقي عند ﺹ يساوي ثلاثة.
من الجدير بالذكر أنه يمكننا إثبات أن هذا هو الخيار الصحيح الوحيد الممكن. على سبيل المثال، منحنى الدالة المعطاة في الخيار أ سيكون له خط تقارب أفقي عند ﺹ يساوي سالب ثلاثة. ومنحنى الدالة في الخيار ب له خط تقارب رأسي عند ﺱ يساوي سالب اثنين. وبالنسبة إلى منحنيي الدالتين في الخيارين د، هـ، فلكل منهما خط تقارب أفقي عند ﺹ يساوي اثنين. يمكننا أيضًا ملاحظة أن منحنيات الدوال الخمس المعطاة سيكون لها خطا تقارب فقط.
إذن، من بين الخيارات الخمسة المعطاة، الخيار ج: ﺭﺱ تساوي واحدًا مقسومًا على ﺱ ناقص اثنين زائد ثلاثة، يمثل الدالة التي خطا تقاربها هما نفس خطي تقارب الدالة الممثلة بيانيًّا ﺩﺱ.
