فيديو السؤال: إيجاد حدود متتابعة هندسية بمعلومية حدها العام الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد الحدود الخمسة الأولى للمتتابعة التي حدها النوني يعطى بالعلاقة ﺣﻥ يساوي جتا ١١ﻥ على ستة ‏𝜋‏؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا.

لحساب الحدود الخمسة الأولى لأي متتابعة تبدأ بـ ﻥ يساوي واحدًا، نعوض بالقيم واحد، واثنين، وثلاثة، وأربعة، وخمسة في التعبير لدينا. إذن ﺣ واحد يساوي جتا ١١ مضروبًا في واحد على ستة ‏𝜋‏. وﺣ اثنان يساوي جتا ١١ مضروبًا في اثنين مقسومًا على ستة ‏𝜋‏. يمكن تبسيط هذين التعبيرين إلى جتا ١١ على ستة ‏𝜋‏ وجتا ٢٢ على ستة ‏𝜋‏، على الترتيب. ‏ﺣ ثلاثة يساوي جتا ٣٣ على ستة ‏𝜋‏؛ لأن ١١ مضروبًا في ثلاثة يساوي ٣٣. وبالمثل، ﺣ أربعة يساوي جتا ٤٤ على ستة ‏𝜋‏، وﺣ خمسة يساوي جتا ٥٥ على ستة ‏𝜋‏.

عند هذه المرحلة، يمكننا المتابعة بطرق مختلفة. يمكننا ببساطة كتابة جميع هذه القيم الخمسة على الآلة الحاسبة، والتأكد من أننا كنا في وضع راديان. هذا سيعطينا أول خمسة حدود في المتتابعة. أو يمكننا تبسيط الكسور كلما أمكن؛ فمثلًا يمكن تبسيط ٢٢ على ستة، و٣٣ على ستة، و٤٤ على ستة. لكن بدلًا من استخدام أي من هاتين الطريقتين، سننظر إلى خصائص منحنى جيب التمام وبعض الزوايا الخاصة. سيتيح لنا هذا أن نحسب الإجابات دون استخدام الآلة الحاسبة.

نتذكر أن جتا ٣٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. وبما أن ١٨٠ درجة تساوي ‏𝜋‏ راديان، فإن جتا ‏𝜋‏ على ستة راديان يساوي أيضًا جذر ثلاثة على اثنين. وجتا ‏𝜋‏ على ثلاثة أو ٦٠ درجة يساوي نصفًا. وبما أن ‏𝜋‏ على ثلاثة يكافئ اثنين ‏𝜋‏ على ستة، فإن جتا اثنين ‏𝜋‏ على ستة يساوي نصفًا. نعلم أيضًا أن جتا ‏𝜋‏ على اثنين أو ٩٠ درجة يساوي صفرًا. وهذا يعني أن جتا ثلاثة ‏𝜋‏ على ستة يساوي صفرًا. وجتا أربعة ‏𝜋‏ على ستة يساوي سالب نصف، وجتا خمسة ‏𝜋‏ على ستة يساوي سالب جذر ثلاثة على اثنين. وبما أن منحنى جيب التمام دوري وطول دورته اثنان ‏𝜋‏، فيمكننا حساب قيمة جتا ١١ على ستة ‏𝜋‏، وجتا ٢٢ على ستة ‏𝜋‏، وهكذا باستخدام هذه القيم والنمط.

باستخدام مخطط إشارات الدوال المثلثية، يمكننا إيجاد جيب التمام لجميع مضاعفات ‏𝜋‏ على ستة التي تساوي جذر ثلاثة على اثنين. اثنان ‏𝜋‏ ناقص ‏𝜋‏ على ستة يساوي ١١‏𝜋‏ على ستة. وكما ذكرنا من قبل، بما أن منحنى جيب التمام دوري وطول دورته اثنان ‏𝜋‏، فيمكننا إضافة اثنين ‏𝜋‏ إلى كلتا القيمتين لإيجاد عدد لا نهائي من الحلول. ‏جتا ١٣‏𝜋‏ على ستة وجتا ٢٣‏𝜋‏ على ستة كلاهما يساوي جذر ثلاثة على اثنين. وبما أن القيمة الأولى ﺣ واحدًا في المتتابعة هي جتا ١١ على ستة ‏𝜋‏، فإن هذا يساوي جذر ثلاثة على اثنين. بتكرار هذه العملية، نجد أن جتا اثنين على ستة ‏𝜋‏ وجتا ١٠ على ستة ‏𝜋‏ كلاهما يساوي نصفًا. مرة أخرى، يمكننا إضافة اثنين ‏𝜋‏ أو ١٢ على ستة ‏𝜋‏ إلى هاتين القيمتين، لنحصل على ١٤ على ستة ‏𝜋‏ و٢٢ على ستة ‏𝜋‏.

أما ﺣ اثنان، جتا ٢٢ على ستة ‏𝜋‏، فيساوي نصفًا. يمكننا الاستمرار بهذه الطريقة لحساب جتا ٣٣ على ستة ‏𝜋‏ يساوي صفرًا، وجتا ٤٤ على ستة ‏𝜋‏ يساوي سالب نصف، وجتا ٥٥ على ستة ‏𝜋‏، وهو ما يساوي سالب جذر ثلاثة على اثنين. كما ذكرنا سابقًا، لا توجد مشكلة في كتابة القيم الخمس على الآلة الحاسبة في وضع الراديان للحصول على الحدود الخمسة الأولى جذر ثلاثة على اثنين، ونصف، وصفر، وسالب نصف، وسالب جذر ثلاثة على اثنين. لكن من المهم أن نتذكر الزوايا الخاصة؛ لأنها ستوفر لنا بعض الوقت عند التعامل مع بعض المسائل.