نسخة الفيديو النصية
الحد الأول في إحدى المتتابعات الهندسية اثنان، والحد الثالث سبعة. إذا كان أساس المتتابعة سالبًا، فما الحد الثاني؟
المتتابعة الهندسية هي متتابعة تتضمن نسبة مشتركة بين الحدود. وللانتقال من أحد الحدود إلى الحد التالي، نضرب دائمًا في القيمة نفسها، التي نطلق عليها النسبة المشتركة (أساس المتتابعة الهندسية) ونرمز لها بالحرف ﺭ. وعلمنا من المعطيات أن الحد الأول في هذه المتتابعة الهندسية هو اثنان، والحد الثالث هو سبعة. وعلينا إيجاد قيمة الحد الثاني. للانتقال من الحد الأول إلى الثاني، نضرب في ﺭ. ثم للانتقال من الحد الثاني إلى الحد الثالث، نضرب في ﺭ مرة أخرى. إذن بوجه عام، ضربنا في ﺭ تربيع، وعليه يمكننا تكوين معادلة. وهي اثنان ﺭ تربيع يساوي سبعة. ويمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة النسبة المشتركة.
بقسمة كلا الطرفين على اثنين، نحصل على ﺭ تربيع يساوي سبعة على اثنين. بعد ذلك نأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة، لنحصل على ﺭ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لسبعة على اثنين. ولكن بالتدقيق في معطيات السؤال نجد أن النسبة المشتركة سالبة. إذن، قيمة ﺭ في هذا السؤال تساوي سالب الجذر التربيعي لسبعة على اثنين. وعليه لإيجاد الحد الثاني في المتتابعة، علينا ضرب الحد الأول، وهو اثنان، في هذه النسبة المشتركة. وهذا يعطينا اثنين مضروبًا في سالب الجذر التربيعي لسبعة على اثنين.
وباستخدام قوانين الجذور الصماء أو الجذور، يمكننا القول بأن الجذر التربيعي لسبعة على اثنين هو الجذر التربيعي لسبعة على الجذر التربيعي لاثنين. إذن، يصبح لدينا اثنان مضروبًا في سالب جذر سبعة على جذر اثنين. ونرى بعد ذلك أن لدينا اثنين مقسومًا على الجذر التربيعي لاثنين. وأي عدد موجب مقسوم على جذره التربيعي فهو يساوي جذره التربيعي. إذن، اثنان مقسومًا على الجذر التربيعي لاثنين يساوي الجذر التربيعي لاثنين. من ثم، يصبح لدينا الجذر التربيعي لاثنين مضروبًا في سالب الجذر التربيعي لسبعة.
ويمكننا بعد ذلك تطبيق قاعدة أخرى من قواعد الجذور الصماء أو الجذور. والتي تنص على أن الجذر التربيعي لـ ﺃ مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ﺏ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃﺏ. إذن، الجذر التربيعي لاثنين مضروبًا في الجذر التربيعي لسبعة يساوي الجذر التربيعي لـ ١٤. وهذا كله مضروب في سالب واحد. ومن ثم نجد أن الحد الثاني في هذه المتتابعة الهندسية يساوي سالب الجذر التربيعي لـ ١٤.
ويمكننا التحقق من إجابتنا لأننا إذا ضربنا في النسبة المشتركة مرة أخرى، فإننا سنحصل على الحد الثالث، وهو سبعة. وعليه، نضرب سالب جذر ١٤ في النسبة المشتركة سالب الجذر التربيعي لسبعة على اثنين. وحاصل ضرب قيمتين سالبتين يعطي قيمة موجبة. وباستخدام قاعدة الجذور التي كتبناها من قبل، فإن هذا يساوي الجذر التربيعي لـ ١٤ مضروبًا في سبعة على اثنين. ويمكننا بعد ذلك حذف العامل اثنين من البسط والمقام، لنحصل على الجذر التربيعي لسبعة مضروبًا في سبعة. أي نحصل على الجذر التربيعي لسبعة تربيع أو الجذر التربيعي لـ ٤٩، وهو ما يساوي سبعة. وهذا يؤكد أن إجابتنا صحيحة. إذن، إذا كان أساس المتتابعة (النسبة المشتركة) سالبًا، فإن الحد الثاني في هذه المتتابعة الهندسية هو سالب الجذر التربيعي لـ ١٤.
