فيديو السؤال: التعبيرات المكافئة للجذور الخماسية للعدد واحد الرياضيات

اعتبر 𝜔 أحد الجذور الخماسية للعدد واحد. أي مما يلي تعبير يكافئ 𝜔⁻^٣؟ [أ] 𝜔^٢ [ب] (𝜔)^٢‏/‏١ [ج] 𝜔⁻^٣ [د] 𝜔^٨ [هـ] 𝜔⁻^١٥.

١٣:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

اعتبر 𝜔 أحد الجذور الخماسية للعدد واحد. أي مما يلي تعبير يكافئ 𝜔 أس سالب ثلاثة؟ (أ) 𝜔 تربيع، (ب) واحد على 𝜔 تربيع، (ج) سالب واحد في 𝜔 تكعيب، (د) 𝜔 أس ثمانية، (هـ) 𝜔 أس سالب ١٥.

في هذا السؤال، لدينا العدد 𝜔 ونعلم أن 𝜔 هو أحد الجذور الخماسية للعدد واحد. لكننا لا نعلم أي جذر من الجذور الخماسية للعدد واحد يكون 𝜔. علينا استخدام هذا المعطى لتحديد تعبير مكافئ لـ 𝜔 أس سالب ثلاثة. ولدينا خمسة خيارات ممكنة. يوجد عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها للإجابة عن هذا السؤال. هيا نبدأ بتذكر المقصود بالجذر الخماسي للعدد واحد. أولًا، نتذكر أنه إذا كان ﻉ أس ﻥ يساوي واحدًا، إذن نقول إن ﻉ جذر نوني للعدد واحد. كما نعلم كيفية تكوين صور دقيقة لجميع الجذور النونية للعدد واحد لأي عدد صحيح موجب ﻥ. لكن، ليس من الضروري أن نستخدم ذلك للإجابة عن هذا السؤال. لذا، سنجيب عن السؤال بدون استخدام ذلك.

يخبرنا السؤال أن 𝜔 هو جذر خماسي للعدد واحد. ونظرًا لأنه جذر خماسي للعدد واحد، فإن هذا يعنى أن قيمة ﻥ ستساوي خمسة. إذن، بما أن 𝜔 جذر خماسي للعدد واحد، إذن 𝜔 أس خمسة يجب أن يساوي واحدًا. نريد استخدام هذه المعادلة لتحديد تعبير مكافئ لـ 𝜔 أس سالب ثلاثة. لفعل ذلك، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بـ 𝜔 أس سالب ثلاثة. تناولنا قوانين الأسس الخاصة بالأعداد الحقيقية، لكن الكثير من هذه القوانين يمتد أيضًا ليشمل الأعداد المركبة. إذن، 𝜔 أس سالب ثلاثة سيساوي واحدًا مقسومًا على 𝜔 تكعيب. إذن، علينا الاستفادة من حقيقة أن 𝜔 أس خمسة يساوي واحدًا لإيجاد تعبير لواحد مقسومًا على 𝜔 تكعيب.

إحدى طرق فعل ذلك هي قسمة طرفي المعادلة على 𝜔 تكعيب. وثمة شيء واحد جدير بالذكر هنا. وهو أن 𝜔 لا يمكن أن يساوي صفرًا؛ بالطبع لأن الصفر ليس جذرًا للعدد واحد. صفر أس ﻥ، أيًا كانت قيمة ﻥ، يساوي دائمًا صفرًا. فهو لا يساوي واحدًا أبدًا. إذن، بالقسمة على 𝜔 تكعيب، نحصل على 𝜔 أس خمسة مقسومًا على 𝜔 تكعيب يساوي واحدًا على 𝜔 تكعيب. إذا أردنا استخدام قوانين الأسس، فيمكننا تبسيط الطرف الأيمن. ذلك من خلال قسمة 𝜔 أس خمسة على 𝜔 تكعيب وهو ما يساوي 𝜔 تربيع؛ لأننا نعلم أنه عند قسمتهما، كل ما علينا فعله هو طرح الأسين.

وهذه طريقة صحيحة تمامًا لتبسيط هذا التعبير. لكن، يمكننا فعل ذلك مباشرة. بدلًا من استخدام قوانين الأسس، قد نريد كتابة التعبير بالكامل. ‏‏𝜔 أس خمسة سوف يساوي حاصل ضرب 𝜔 خمس مرات، حيث يظهر 𝜔 خمس مرات في حاصل ضربنا. وبالمثل، 𝜔 تكعيب سوف يساوي 𝜔 مضروبًا في 𝜔 مضروبًا في 𝜔. ويمكن تبسيط الطرف الأيسر من هذه المعادلة باستخدام قوانين الأسس. واحد على 𝑎 أس ﻥ يساوي 𝑎 أس سالب ﻥ. إذن، واحد على 𝜔 تكعيب يساوي 𝜔 أس سالب ثلاثة.

حسنًا، يمكننا الآن تبسيط الطرف الأيمن من المعادلة مباشرة عن طريق حذف العوامل المشتركة لـ 𝜔 في البسط والمقام، ليتبقى لنا 𝜔 في 𝜔 مقسومًا على واحد. وبالطبع 𝜔 في 𝜔 يساوي 𝜔 تربيع، ما يعطينا 𝜔 تربيع يساوي 𝜔 أس سالب ثلاثة. ويمكننا ملاحظة أن هذا الناتج معطى كإجابة في الخيار (أ).

ولمزيد من الحرص، يمكننا أيضًا التحقق من جميع الخيارات الأربعة الأخرى لمعرفة ما إذا كانت هذه الخيارات إجابات صحيحة أيضًا، لأننا لا نعلم ما إذا كانت توجد تعبيرات متعددة تكافئ 𝜔 أس سالب ثلاثة. لكننا سنلاحظ أنه ليس من الضروري أن تكون التعبيرات الأربعة كلها مكافئة لـ 𝜔 أس سالب ثلاثة. ويوجد العديد من الطرق المختلفة للتأكد من ذلك لكل خيار من هذه الخيارات. أولًا، تذكر أننا اعتبرنا أن 𝜔 يمكن أن يكون أي من الجذور الخماسية للعدد واحد. ولكي تكون التعبيرات متكافئة، يجب أن يكون التعبير صحيحًا لجميع الجذور الخماسية للعدد واحد. وبالتحديد، فإن أحد الجذور الخماسية للعدد واحد سيكون عندما 𝜔 يساوي واحدًا. وبالتالي، لكي تكون هذه التعبيرات متكافئة، يجب أن يتحقق ذلك التكافؤ عندما 𝜔 يساوي واحدًا.

لنر إذن ما يحدث عندما 𝜔 يساوي واحدًا في حالة 𝜔 أس سالب ثلاثة. عندما 𝜔 يساوي واحدًا، نحصل على واحد أس سالب ثلاثة، وهو ما يساوي واحدًا بالطبع. وإذا عوضنا بـ 𝜔 يساوي واحدًا في كل من الخيارات الأربعة المتبقية، فسنجد في الخيار (ج) أننا نحصل على سالب واحد في واحد تكعيب، وهو ما يساوي بالطبع سالب واحد. إذن، الخيار (ج) لا يمكن أن يكون صحيحًا. فهو لا يكافئ 𝜔 أس سالب ثلاثة عندما 𝜔 يساوي واحدًا. لإكمال حل هذا السؤال، سنبسط الخيارات الثلاثة المتبقية. ولفعل ذلك، علينا استخدام تعريف 𝜔. ‏‏𝜔 أس خمسة يساوي واحدًا.

لنبدأ بالخيار (د) 𝜔 أس ثمانية. بالطبع، نعلم أن رفع عدد للقوة ثمانية يعني أن نضربه في نفسه، حيث يحتوي حاصل الضرب لدينا على 𝜔، ثماني مرات. وبالطبع نعرف أن هذا يساوي 𝜔 أس خمسة مضروبًا في 𝜔 تكعيب. وكان من الممكن الانتقال مباشرة إلى هذه الخطوة باستخدام قوانين الأسس. لكن تذكر أن 𝜔 هو الجذر الخماسي للعدد واحد. و𝜔 أس خمسة يساوي واحدًا. إذن، الخيار (د) 𝜔 أس ثمانية يساوي 𝜔 تكعيب.

ويمكننا فعل الشيء نفسه للخيارين (ب) و (هـ). في الخيار (هـ)، 𝜔 أس سالب ١٥ يساوي واحدًا على 𝜔 أس ١٥. ويمكننا كتابته بالكامل والتبسيط. أو باستخدام قوانين الأسس، يمكننا فقط أن نوضح أن 𝜔 أس ١٥ يساوي 𝜔 أس خمسة الكل تكعيب. ومرة أخرى، 𝜔 هو جذر خماسي للعدد واحد. إذن، 𝜔 أس خمسة يساوي واحدًا. يمكن تبسيط ذلك ليصبح لدينا واحد على واحد تكعيب، وهو ما يساوي واحدًا. إذن، في الواقع، التعبير في الخيار (هـ) يساوي واحدًا.

وأخيرًا، سنفعل شيئًا مماثلًا في الخيار الأخير. واحد على 𝜔 تربيع سيساوي 𝜔 أس خمسة مقسومًا على 𝜔 تربيع؛ لأنه كما تتذكر 𝜔 أس خمسة يساوي واحدًا. ثم إما عن طريق كتابة هذا التعبير بالكامل والحذف أو استخدام قوانين الأسس، سنجد أنه يساوي 𝜔 تكعيب. فقط طرحنا أسي 𝜔. وبذلك، نكون قد أوضحنا شيئًا مثيرًا للاهتمام. كلا الخيارين (د) و(ب) يساويان 𝜔 تكعيب، والخيار (هـ) يساوي واحدًا.

والآن يوجد بعض الطرق المختلفة لتوضيح أن هذه الخيارات الثلاثة غير صحيحة. كل ما علينا فعله هو إيجاد جذر خامس للعدد واحد يوضح أن التعبيرات غير متكافئة. ولنفعل ذلك، سنستخدم صورة مبسطة لصيغة إيجاد جذور العدد واحد. نعلم أن ﻫ أس ﺕ في اثنين 𝜋 على ﻥ يساوي الجذر النوني للعدد واحد. ونعلم أن هذا صحيح إذا ضربنا الأس في ﻙ. هذا سيكون جذر العدد واحد لأي قيمة صحيحة لـ ﻙ. لكننا لا نحتاج إلى استخدام هذا؛ فكل ما سنفعله هو جعل قيمة ﻙ تساوي واحدًا. إننا نبحث عن الجذور الخماسية للعدد واحد، لذا سنجعل قيمة ﻥ تساوي خمسة.

لنفترض أن ﻉ هو العدد المركب ﻫ أس اثنين 𝜋 على خمسة مضروبًا في ﺕ. إذن، ﻉ هو أحد الجذور الخماسية للعدد واحد. إذن، لكي تكون التعبيرات متكافئة، يجب أن يتحقق ذلك التكافؤ عندما 𝜔 يساوي ﻉ. وللقيام بذلك، سنبدأ بحساب تعبيري ﻉ تكعيب وﻉ أس سالب ثلاثة. ‏‏ﻉ تكعيب يساوي ﻫ أس اثنين 𝜋 على خمسة في ﺕ الكل تكعيب. ثم يمكننا تبسيط ذلك إما بكتابة هذا التعبير بالكامل أو باستخدام قوانين الأسس. وفي كلتا الحالتين، ينتهي بنا المطاف بضرب أس الـ ﻫ في ثلاثة. وهذا يعطينا ﻫ أس ستة 𝜋 على خمسة في ﺕ.

يمكننا بعد ذلك القيام بخطوات مشابهة لإيجاد ﻉ أس سالب ثلاثة. إنه يساوي ﻫ أس سالب ستة 𝜋 على خمسة في ﺕ. وأخيرًا، أصبحنا مستعدين أخيرًا لتوضيح أن الخيارات الثلاثة غير صحيحة. نريد كتابة هذه التعبيرات بدلالة الصورة القطبية. وتذكر أنه لفعل ذلك، ستكون سعة دالة جيب التمام والجيب هي معامل ﺕ في الأس. بعبارة أخرى، ﻉ تكعيب يساوي جتا ستة 𝜋 على خمسة زائد ﺕ في جا ستة 𝜋 على خمسة، وﻉ أس سالب ثلاثة يساوي جتا سالب ستة 𝜋 على خمسة زائد ﺕ في جا سالب ستة 𝜋 على خمسة.

وحتى يتساوى هذان التعبيران، يجب أن يكون جزآهما الحقيقيان والتخيليان متساويين. إذا أردنا كتابة هذين التعبيرين على الآلة الحاسبة، فسنجد أن جزئيهما التخيليين غير متساويين. إذ إن جا ستة 𝜋 على خمسة لا يساوي جا سالب ستة 𝜋 على خمسة. لكن تذكر أن ﻉ هو أحد الجذور الخماسية للعدد واحد. إذن، ما أوضحناه هنا هو أن 𝜔 تكعيب لا يساوي دائمًا 𝜔 أس سالب ثلاثة. وباستخدام طريقة مشابهة للتحقق، يمكننا ملاحظة أن ﻉ أس سالب ثلاثة لا يساوي واحدًا. فعلى سبيل المثال، مركبته الحقيقية لا تساوي واحدًا. إذن، الخيار (هـ) لا يمكن أن يكون صحيحًا أيضًا؛ لأن ﻉ جذر خماسي للعدد واحد، وﻉ أس سالب ثلاثة لا يساوي واحدًا.

وهكذا، استطعنا أن نوضح أنه إذا كان 𝜔 جذرًا خماسيًا للعدد واحد، فإنه من بين التعبيرات الخمسة المعطاة، التعبير الوحيد المكافئ لـ 𝜔 أس سالب ثلاثة هو 𝜔 تربيع أي الخيار (أ).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.