تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد مساحة صفيحة بمعلومية معدل تغيرها باستخدام التكامل غير المحدد الرياضيات

معدل التغير في المساحة ﺃ لصفيحة معدنية بالنسبة إلى الزمن المستغرق لتسخينها يعطى بالعلاقة: ﺩﺃ‏/‏ﺩﻥ = ٠٫٠٣٦ﻥ^٢ + ٠٫٠٣٨ﻥ؛ حيث المساحة ﺃ مقيسة بالمتر المربع، والزمن ﻥ مقيس بالدقائق. إذا كانت ﺃ = ٦٧ م^٢ عند ﻥ = ٨ دقائق، فأوجد مساحة الصفيحة قبل التسخين مباشرة لأقرب منزلتين عشريتين.

٠٦:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

معدل التغير في المساحة ﺃ لصفيحة معدنية بالنسبة إلى الزمن المستغرق لتسخينها يعطى بالعلاقة: ﺩﺃ على ﺩﻥ تساوي ٠٫٠٣٦ﻥ تربيع زائد ٠٫٠٣٨ﻥ؛ حيث المساحة ﺃ مقيسة بالمتر المربع والزمن ﻥ مقيس بالدقائق. إذا كانت ﺃ تساوي ٦٧ مترًا مربعًا عند ﻥ يساوي ثماني دقائق، فأوجد مساحة الصفيحة قبل التسخين مباشرة لأقرب منزلتين عشريتين.

في هذا السؤال، لدينا مسألة تتضمن التغير في مساحة صفيحة معدنية نتيجة التسخين. ومساحة هذه الصفيحة المعدنية تعطى بواسطة الدالة ﺃﻥ؛ حيث ﺃ مقيسة بالمتر المربع، وﻥ مقيس بالدقائق. والمطلوب منا هو إيجاد مساحة الصفيحة قبل التسخين مباشرة. وبما أن الزمن ﻥ سيساوي صفرًا دقيقة عند بداية التسخين، فإن المطلوب هو إيجاد قيمة ﺃ عند صفر. لكن، لا يمكننا التعويض بـ ﻥ يساوي صفرًا في الدالة ﺃﻥ. وهذا لأن الدالة ﺃﻥ غير معطاة لنا. بدلًا من ذلك، أخبرنا السؤال أن مشتقة ﺃ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ٠٫٠٣٦ﻥ تربيع زائد ٠٫٠٣٨ﻥ.

لذلك، علينا استخدام مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى الزمن لإيجاد الدالة الأصلية. هذا يعني أن علينا إيجاد مشتقتها العكسية. ويمكننا أن نتذكر أن التكاملات غير المحددة تعطينا المشتقة العكسية العامة. وعلى وجه التحديد، ﺃﻥ ستساوي التكامل غير المحدد لـ ﺩﺃ على ﺩﻥ بالنسبة إلى ﻥ. وهناك أمر تجدر الإشارة إليه. بما أننا نوجد المشتقة العكسية العامة، سنضيف ثابت التكامل ﺙ. لحساب التكامل غير المحدد هذا، دعونا نبدأ بالتعويض بقيمة التعبير ﺩﺃ على ﺩﻥ في التكامل. وهكذا، نحصل على التكامل غير المحدد لـ ٠٫٠٣٦ﻥ تربيع زائد ٠٫٠٣٨ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. وهذا هو التكامل غير المحدد لكثيرة حدود. يمكننا إيجاد قيمة كل حد في ذلك التعبير باستخدام قاعدة القوة للتكامل.

وتنص على أنه بالنسبة إلى أي عددين ثابتين حقيقيين ﻙ وﻥ؛ حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد، فإن تكامل ﻙ في ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻙ في ﺱ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. إننا نضيف واحدًا إلى أس المتغير ونقسم على هذا الأس الجديد. وسنطبق ذلك على كل حد على حدة. هيا نبدأ بإيجاد تكامل الحد الأول. نضيف واحدًا إلى الأس لنحصل على الأس الجديد وهو ثلاثة، ثم نقسم على هذا الأس الجديد. وبذلك، نحصل على ٠٫٠٣٦ﻥ تكعيب على ثلاثة. ويمكننا إضافة ثابت التكامل هنا. ولكن، يمكننا فقط تجميع جميع ثوابت التكامل في ثابت واحد للتكامل في نهاية التعبير.

والآن دعونا نوجد تكامل الحد الثاني. سنفعل ذلك بإعادة كتابة ﻥ على صورة ﻥ أس واحد. نضيف واحدًا إلى أس المتغير ﻥ لنحصل على الأس الجديد وهو اثنان، ثم نقسم على هذا الأس الجديد. ومن ثم، نحصل على ٠٫٠٣٨ﻥ تربيع على اثنين. علينا أن نذكر إضافة ثابت التكامل ﺙ. والآن يمكننا تبسيط هذه المعادلة بحساب قيمتي المعاملين. نجد أن ﺃﻥ تساوي ٠٫٠١٢ تكعيب زائد ٠٫٠١٩ﻥ تربيع زائد ﺙ. والآن نلاحظ أنه لا يمكننا الإجابة عن السؤال بالتعويض بـ ﻥ يساوي صفرًا في المعادلة لأن لدينا القيمة المجهولة ﺙ. هذا يعني أن علينا إيجاد قيمة ﺙ. ويمكننا فعل ذلك باستخدام المعطيات في السؤال

أخبرنا السؤال أن مساحة الصفيحة المعدنية تساوي ٦٧ مترًا مربعًا عند ﻥ يساوي ثماني دقائق. وبالنسبة إلى دالتنا، فإن هذا يعني أن قيمة ﺃ عند ثمانية تساوي ٦٧. إذن، يمكننا استخدام ذلك لإيجاد قيمة المعادلة عند ﻥ يساوي ثمانية. بالتعويض بـ ﻥ يساوي ثمانية، يكون لدينا قيمة ﺃ عند ثمانية تساوي ٦٧. وهذا يساوي ٠٫٠١٢ في ثمانية تكعيب زائد ٠٫٠١٩ في ثمانية تربيع زائد ﺙ. والآن يمكننا إعادة ترتيب ذلك لإيجاد قيمة ﺙ. بإعادة الترتيب وحساب قيمة ذلك، نجد أن ﺙ يساوي ٥٩٫٦٤. ويمكننا التعويض بقيمة ﺙ هذه في معادلة ﺃﻥ. هذا يعطينا ﺃﻥ تساوي ٠٫٠١٢ ﻥ تكعيب زائد ٠٫٠١٩ﻥ تربيع زائد ٥٩٫٦٤.

والآن يمكننا الإجابة عن السؤال. علينا التعويض بـ ﻥ يساوي صفرًا في هذه المعادلة. لكن عند فعل ذلك، سيساوي الحد الأول صفرًا وسيساوي الحد الثاني صفرًا. وبذلك، يتبقى لدينا قيمة الثابت ﺙ. وعليه، فإن قيمة ﺃ عند صفر تساوي ٥٩٫٦٤. لكن تذكر أن هذا يمثل كمية فيزيائية. وهي المساحة الابتدائية للصفيحة المعدنية قبل بدء التسخين. ونعلم من المعطيات أن هذه المساحة مقيسة بالمتر المربع؛ لذا يمكننا إعطاء ذلك وحدة. وهذه المساحة التي حصلنا عليها هي بالفعل مقربة لأقرب منزلتين عشريتين.

وبذلك نكون قد أوضحنا أن المساحة الابتدائية للصفيحة المعدنية قبل البدء في التسخين لأقرب منزلتين عشريتين هي ٥٩٫٦٤ مترًا مربعًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.