فيديو: امتحان الجبر والهندسة الفراغية للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الحادي عشر

امتحان الجبر والهندسة الفراغية للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الحادي عشر

٠٦:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المسافة العمودية من النقطة اتنين وتلاتة وواحد إلى المستوى اتنين س ناقص اتنين ص زائد ع يساوي خمسة.

لو افترضنا بصورة عامة إن عندنا مستوى ما، ولْيكُن المستوى ط. وعندنا نقطة أ لا تنتمي لهذا المستوى. وإحداثياتها س واحد وَ ص واحد وَ ع واحد. عندنا المتجه ن هو متجه اتجاه عمودي على المستوى. أمَّا ب فهنفترض إنها نقطة بتنتمي لهذا المستوى. وإحداثياتها هنفرضها: س اتنين، وَ ص اتنين، وَ ع اتنين.

إحنا مطلوب منّنا في السؤال إن إحنا نوجد المسافة العمودية من النقطة أ إلى المستوى، اللي هي هنسمِّيها ل. ولو بصّينا عَ الشكل اللي عندنا، هنلاحظ إن المسافة العمودية دي هي نفسها مسقط المتجه أ على متجه الاتجاه العمودي ن. فكده نقدر نقول: إن ل هيساوي القيمة المطلقة لحاصل الضرب القياسي للمتجهين: المتجه ب أ والمتجه ن على معيار المتجه ن.

دلوقتي إحنا محتاجين نوجد المتجه ب أ، اللي هيبقى بيساوي المتجه أ ناقص المتجه ب. وبالتعويض عن المتجه أ بِـ س واحد وَ ص واحد وَ ع واحد، وعن المتجه ب بِـ س اتنين وَ ص اتنين وَ ع اتنين. فبكده هيصبح المتجه ب أ يساوي س واحد ناقص س اتنين، وَ ص واحد ناقص ص اتنين، و ع واحد ناقص ع اتنين.

هنعوَّض دلوقتي عن المتجه ب أ بالإحداثيات اللي حصلنا عليها، وعن المتجه ن بالإحداثيات اللي معطاة عندنا، اللي هي أ وَ ب وَ ج. فهيبقى ل يساوي القيمة المطلقة لحاصل الضرب القياسي للمتجهين: المتجه س واحد ناقص س اتنين، وَ ص واحد ناقص ص اتنين، وَ ع واحد ناقص ع اتنين. والمتجه أ وَ ب وَ ج. أمَّا معيار المتجه ن، فهيبقى بيساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركّبات المتجه ن. يعني الجذر التربيعي لِـ أ تربيع زائد ب تربيع زائد ج تربيع.

دلوقتي حاصل الضرب القياسي للمتجهين اللي عندنا دول هيبقى بيساوي أ في س واحد ناقص س اتنين، زائد ب في ص واحد ناقص ص اتنين، زائد ج في ع واحد ناقص ع اتنين. وباستخدام خاصية التوزيع، هنقدر نفكّ المقدار اللي عندنا ده بالشكل ده. هيبقى أ س واحد زائد ب ص واحد زائد ج ع واحد ناقص، أ س اتنين زائد ب ص اتنين زائد ج ع اتنين.

إحنا عارفين إن النقطة ب هي نقطة بتنتمي إلى المستوى ط، واللي إحداثياتها س اتنين وَ ص اتنين وَ ع اتنين. وإحنا عارفين إن معادلة المستوى بصورة عامة هي: أ س زائد ب ص زائد ج ع زائد د يساوي صفر. وبما إن ب نقطة بتنتمي إلى المستوى، يعني إحداثياتها هتحقَّق معادلة المستوى. يعني هنقدر نقول: إن أ س اتنين زائد ب ص اتنين زائد ج ع اتنين زائد د تساوي صفر. وبعدين بطرح د من طرفَي المعادلة اللي عندنا، هنقدر نستنتج إن أ س اتنين زائد ب ص اتنين زائد ج ع اتنين تساوي سالب د.

فبكده نقدر نعوَّض عن أ س اتنين زائد ب ص اتنين زائد ج ع اتنين بسالب د. فتصبح العلاقة اللي عندنا بالشكل ده. وبعدين عندنا ناقص سالب د، اللي نقدر نكتبها زائد د. وبكده هتصبح ل تساوي القيمة المطلقة لِـ أ س واحد زائد ب ص واحد زائد ج ع واحد زائد د على، الجذر التربيعي لِـ أ تربيع زائد ب تربيع زائد ج تربيع. ودي الصورة الإحداثية للمسافة العمودية من نقطة إلى مستوى. أو اللي بنطلق عليها طول العمود المرسوم من نقطة إلى مستوى.

إحنا كده أوجدنا العلاقة اللي بنقدر نحسب بيها المسافة العمودية من نقطة إلى مستوى. مش لازم في الامتحان نعمل الخطوات دي لغاية ما نوصل للعلاقة. إحنا ممكن نبقى حافظين العلاقة ونستخدمها على طول. ونعوَّض فيها مباشرةً لإيجاد المسافة العمودية من النقطة المعطاة عندنا إلى المستوى المعطى.

هنكتب دلوقتي العلاقة اللي استنتجناها من شوية. واللي من خلالها بنقدر نوجد المسافة العمودية من نقطة إلى مستوى. هنكتب الصورة العامة لمعادلة أيِّ مستوى. وهنكتب معادلة المستوى اللي معطاة عندنا في السؤال. بطرح خمسة من طرفَي المعادلة اللي عندنا، هتصبح المعادلة: اتنين س ناقص اتنين ص زائد ع ناقص خمسة يساوي صفر. لو قارنَّا المعادلة اللي حصلنا عليها دي بالصورة العامة لمعادلة المستوى. هنلاقي إن أ يساوي اتنين، وَ ب هيساوي سالب اتنين، ج هتساوي واحد، وَ د تساوي سالب خمسة. يبقى كده قدرنا نوجد قيم أ وَ ب وَ ج وَ د. ونقدر نعوَّض بيها في العلاقة اللي عندنا دي.

ناخد بالنا إن النقطة أ، اللي إحداثياتها س واحد وَ ص واحد وَ ع واحد، هي النقطة اللي بنرسم منها العمود إلى المستوى، أو اللي بنحسب المسافة العمودية بينها وبين المستوى. يعني هي النقطة اللي معطى عندنا إحداثياتها في السؤال: اتنين، وتلاتة، واحد. وده معناه إن س واحد بتساوي اتنين، وَ ص واحد هتساوي تلاتة، وَ ع واحد تساوي واحد. وبعد التعويض هتصبح العلاقة اللي عندنا بالشكل ده. وبعد إجراء العمليات الحسابية والتبسيط عشان نحصل على قيمة ل في أبسط صورة، هنلاقي إن ل تساوي اتنين.

يعني كده قدرنا نوجد المسافة العمودية من النقطة اتنين وتلاتة وواحد إلى المستوى اتنين س ناقص اتنين ص زائد ع يساوي خمسة. وهي قيمتها: اتنين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.