فيديو: إيجاد حجم المجسَّم الناشئ من دوران منطقة حول خط مستقيم يوازي المحور س

أوجد حجم المجسَّم المكوَّن من دوران المنطقة المحصورة بالمنحنى ﺹ = ﺱ^٣ والخطين المستقيمين ﺹ = ١، ﺱ = ٢ حول الخط ﺹ = −١.

٠٦:٤٠

‏نسخة الفيديو النصية

اوجد حجم المجسّم المكوّن من دوران المنطقة المحصورة بالمنحنى ص يساوي س تكعيب. والخطين المستقيمين ص يساوي واحد، والـ س يساوي اتنين. حوْل الخط ص يساوي سالب واحد.

هنرسم المنطقة المحصورة بالمنحنى ص يساوي س تكعيب، والخطين المستقيمين ص يساوي واحد، والـ س يساوي اتنين. علشان نعرف نوجد حجم المجسّم المكوّن من دورانها حوْل الخط ص يساوي سالب واحد. المنحنى ص يساوي س تكعيب هيبقى بالشكل اللي هو اللي باللون الأزرق ده. والـ س يساوي اتنين، الخط المستقيم، اللي هو لونه أخضر. والـ ص يساوي واحد، الخط لونه أخضر التاني ده. والخط اللي إحنا هنعمل حوْله دوران، هو الـ ص يساوي سالب واحد. هنوجد نقطة التقاطع دي.

هنا الـ س بتساوي اتنين، يبقى هنعوّض في المنحنى ص يساوي س تكعيب. هيبقى قيمة الـ ص تساوي تمنية. ويبقى المنطقة اللي إحنا عايزين نوجد حجم المجسّم المكوّن من دورانها، هي المنطقة المحصورة اللي باللون البرتقالي ده.

النقطة دي، الـ ص فيها تساوي واحد، والـ س بتساوي اتنين. والنقطة دي صفر وصفر. عايزين نوجد نقطة التقاطع دي من على الرسم. الـ ص تساوي واحد، يبقى على المنحنى اللي لونه أزرق ده. هيبقى قيمة الـ س هنا، لمّا هنعوّض بالـ ص تساوي واحد، يبقى الـ س هي كمان تساوي واحد. حجم المجسّم هيبقى اتنين 𝜋 تكامل … هنا هنعمل دوران حوْل الـ ص يساوي سالب واحد. يبقى هنستخدم شريحة أفقية بالشكل ده، فيها الـ د ص. يبقى التكامل هيبقى بالنسبة للـ د ص.

حدود التكامل هتبقى من البداية أول نقطة بنقابلها في الـ ص، اللي هي الـ ص تساوي الواحد. إلى نهاية المنطقة المحصورة، اللي هي الـ ص تساوي تمنية. والحجم بيبقى اتنين 𝜋 في تكامل نصف قطر الدوران في الارتفاع. نصف قطر الدوران ده، بيبقى المسافة دي، اللي بنستخدمها لدوران المنطقة المحصورة حوْل الـ ص يساوي سالب واحد. واللي هي هنا هتبقى الـ ص زائد المسافة دي، اللي هي زائد واحد. يبقى هنا نصف قطر الدوران هيبقى ص زائد الواحد.

الارتفاع بيبقى ارتفاع المنطقة اللي إحنا هنعمل لها دوران، اللي هي المنطقة دي. فالارتفاع هنا هيبقى الخط ده، ناقص الخط ده. خط المنحنى اللي هو لونه أزرق، هنطرحه من الـ س يساوي اتنين. يبقى الارتفاع اتنين ناقص … الخط الأزرق ده، المفروض إن إحنا هنكامل بالنسبة للـ ص، فهنعرّفه بالمتغير ص. هنا الـ ص تساوي س تكعيب، يعني الـ س هتساوي الجذر التكعيبي للـ ص. يبقى الارتفاع هيبقى اتنين ناقص الجذر التكعيبي للـ ص.

يبقى الحجم هيساوي اتنين 𝜋 في تكامل من واحد لتمنية، للـ ص زائد الواحد، مضروبة في الاتنين ناقص الجذر التكعيبي للـ ص. وهنكامل بالنسبة للـ ص. هنضرب الـ ص زائد الواحد، في الاتنين ناقص الجذر التكعيبي للـ ص. يبقى التكامل من واحد لتمنية، وهنبقى مضروب برّه في اتنين 𝜋، هيساوي … ص في اتنين يبقى اتنين ص. الـ ص في الناقص الجذر التكعيبي للـ ص، هيبقى ناقص ص أُس، أربعة على تلاتة، اللي هو بنجمع الأُسُس. بعد كده هنضرب الواحد في الاتنين، يبقى زائد اتنين. والواحد في الناقص الجذر التكعيبي للـ ص، هيبقى ناقص الجذر التكعيبي للـ ص. وهنوجد التكامل بالنسبة للـ ص.

هنكامل … ده دالة كثيرة حدود، هنكامل كل حدّ منها. بنزوّد الأُس واحد للـ ص، وبنقسم على الأُس الجديد. يبقى التكامل هيساوي اتنين 𝜋 … اتنين ص هنكاملها، هتبقى اتنين ص تربيع على اتنين. زوّدنا الأُس واحد، وقسمنا على الأُس الجديد. ناقص … ص أُس، أربعة على تلاتة، هنزوّد الأُس واحد، ونقسم على الأُس الجديد. يبقى ص أُس، سبعة على تلاتة؛ وهنقسم على، سبعة على تلاتة. زائد … الاتنين تكاملها هيبقى اتنين ص. ناقص … الجذر التكعيبي للـ ص؛ هنزوّد الأُس واحد، يبقى ص أُس، أربعة على تلاتة، ونقسم على الأُس الجديد. وكل ده هنعوّض بحدود التكامل من واحد إلى تمنية.

هنعوّض بحدود التكامل، الـ ص تساوي تمنية. وبعدين نعوّض بالواحد، ونطرحهم من بعض. لمّا هنعوّض بالتمنية، يبقى الاتنين 𝜋 دي مشترك برّه. الـ ص تربيع، يبقى تمنية تربيع. ناقص … تلاتة ص أُس، سبعة على تلاتة، يبقى تلاتة في تمنية أُس، سبعة على تلاتة؛ على السبعة. زائد اتنين في تمنية. ناقص تلاتة في تمنية أُس، أربعة على تلاتة؛ على أربعة. وبعدين هنعوّض بالواحد، ونطرحهم من بعض.

يبقى ناقص. واحد تربيع ناقص. تلاتة في واحد أُس، سبعة على تلاتة؛ على سبعة. زائد اتنين في واحد. ناقص تلاتة في واحد أُس، أربعة على تلاتة؛ على أربعة. بالتبسيط هيساوي اتنين 𝜋 مضروبة في؛ اتنين وتسعين على سبعة، ناقص واحد وخمسين على تمنية وعشرين. يبقى الحجم هيساوي تلتمية وسبعتاشر 𝜋، على أربعتاشر، وبيبقى وحدة مكعبة. وهي دي الإجابة المطلوبة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.