درس: النمذجة باستخدام المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية

الرياضيات

في هذا الدرس، سوف نتعلَّم كيف نستخدم معادلات تفاضلية من الرتبة الثانية لتمثيل المواقف في الحياة الواقعية.

ملف تدريبي

س١:

نحصل على معادلة شرودينجر المعتمدة على الزمن في بُعد واحد من العلاقة:𞸃𝜓𞸃𞸎=٢𞸊󰁖𞹑(𞸎)𞸈󰁕𝜓،٢٢

؛ حيث 𝜓 دالة موجية تصف الإزاحة 𞸎 لجسم واحد كتلته 𞸊، وطاقته الكلية 𞸈، وطاقته الكامنة 𞹑، ثابت معلوم. إذا كان 𞹑(𞸎)=٠ بالنسبة إلى نموذج الجسيم في صندوق؛ حيث ٠𞸎󰏡، تصبح هذه المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية:𝜓=𝛼𝜓،𝛼=٢𞸊𞸈.٢٢٢؛

أوجد الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية.

س٢:

افترِض أن الكتلة 𞸊 تتذبذب عند نهاية زنبرك له ثابت زنبرك 𞸖. المعادلة التفاضلية التالية من الدرجة الثانية تَصِف الإزاحة الرأسية 𞸑 لنظام كتلة الزنبرك: 𞸊𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸖𞸑.٢٢ تتجاهل المعادلة التفاضلية تأثير مقاومة الهواء أو قوى الاحتكاك. أوجد الحل العام الذي يَصِف الإزاحة الرأسية لذلك الزنبرك في صورة دالة في الزمن 𞸍.

س٣:

لدينا الكتلة 𞸊 تتذبذب عند نهاية زنبرك له ثابت زنبركي 𞸖. تَصِف المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية التالية الإزاحة الرأسية 𞸑 لنظام كتلة هذا الزنبرك: 𞸊𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸖𞸑.٢٢

تدل هذه المعادلة التفاضلية على أن الكتلة 𞸊 فَوْرَ ابتدائها، تتذبذب لأعلى ولأسفل دائمًا. تُهمِل هذه المعادلة التفاضلية تأثير قوة الاحتكاك. افترِض أن هناك قوة إرجاع تتناسب مع سرعة الحركة؛ حيث يتم التعامل مع 𞸢 باعتباره ثابت التناسب (𞸢>٠). أصبحت الآن المعادلة التفاضلية المذكورة سابقًا كالآتي: 𞸊𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸖𞸑𞸢𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢

افترِض أن 𝜔=𞸖𞸊٢، ٢𞸁=𞸢𞸊؛ حيث 𞸁>٠.

يوجد ثلاثة أنواع مُمكِنة من الحلول التي تعتمد على الحجم النسبي لكلٍّ من 𞸁٢، 𝜔٢:

تخامد فوق الحد إذا كان 𞸁>𝜔٢٢.

تخامد حرج إذا كان 𞸁=𝜔٢٢.

تخامد تحت الحد أو متذبذب إذا كان 𞸁<𝜔٢٢.

أوجد الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية، التي تَصِف الإزاحة الرأسية لهذا الزنبرك في صورة دالة في الزمن 𞸍 للحركة ذات «التخامد فوق الحد».

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.