درس: النمذجة باستخدام المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية

نحصل على معادلة شرودينجر المعتمدة على الزمن في بُعد واحد من العلاقة:

؛ حيث دالة موجية تصف الإزاحة لجسم واحد كتلته ، وطاقته الكلية ، وطاقته الكامنة ، ثابت معلوم. إذا كان بالنسبة إلى نموذج الجسيم في صندوق؛ حيث ، تصبح هذه المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية:

أوجد الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية.

افترِض أن الكتلة تتذبذب عند نهاية زنبرك له ثابت زنبرك . المعادلة التفاضلية التالية من الدرجة الثانية تَصِف الإزاحة الرأسية لنظام كتلة الزنبرك: تتجاهل المعادلة التفاضلية تأثير مقاومة الهواء أو قوى الاحتكاك. أوجد الحل العام الذي يَصِف الإزاحة الرأسية لذلك الزنبرك في صورة دالة في الزمن .

لدينا الكتلة تتذبذب عند نهاية زنبرك له ثابت زنبركي . تَصِف المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية التالية الإزاحة الرأسية لنظام كتلة هذا الزنبرك:

تدل هذه المعادلة التفاضلية على أن الكتلة فَوْرَ ابتدائها، تتذبذب لأعلى ولأسفل دائمًا. تُهمِل هذه المعادلة التفاضلية تأثير قوة الاحتكاك. افترِض أن هناك قوة إرجاع تتناسب مع سرعة الحركة؛ حيث يتم التعامل مع باعتباره ثابت التناسب . أصبحت الآن المعادلة التفاضلية المذكورة سابقًا كالآتي:

افترِض أن ، ؛ حيث .

يوجد ثلاثة أنواع مُمكِنة من الحلول التي تعتمد على الحجم النسبي لكلٍّ من ، :

تخامد فوق الحد إذا كان .

تخامد حرج إذا كان .

تخامد تحت الحد أو متذبذب إذا كان .

أوجد الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية، التي تَصِف الإزاحة الرأسية لهذا الزنبرك في صورة دالة في الزمن للحركة ذات «التخامد فوق الحد».