درس: منحنى التكامل للحقل الاتجاهي

الرياضيات

في هذا الدرس، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد منحنى التكامل لحقل اتجاهي.

ملف تدريبي: ٣ أسئلة

س١:

يوضِّح الشكل الحقل الاتجاهي 󰂔𞸑،𞸎+٥٢𞸑󰂓، بجانب خطوط الانسياب.

افترِض أننا نعرف أن لبعض الأعداد 𞹏 المنحنيين التكامليين 𞸎=󰎨(𞸍)،𞸑=𞹎(𞸍)؛ حيث 󰎨، 𞹎 تشكيلان خطيان لبعض قِيَم 𞸤𞹏𞸍. ما قِيَم 𞹏؟

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (١،٠) عندما تكون 𞸍=٠؟

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (٠،٢) عندما تكون 𞸍=٠؟

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (١،١) عندما تكون 𞸍=٠؟

عندما تكون 𞸍، وعندما تكون 𞸍 على طول منحنى تكامل، يقترب قاطع تمام الزاوية بين (٠،٠)، (󰎨(𞸍)،𞹎(𞸍)) من أحد الخطين المستقيمين 𞸋١، 𞸋٢ الموضَّحين. ما ميل كلٍّ من هذين الخطين المستقيمين؟

س٢:

لدينا المنحنى البارامتري 𞸎=𞸤(𞸁𞸍)󰏡𞸍، 𞸑=𞸤(𞸁𞸍)󰏡𞸍 مع الثابتين 󰏡، 𞸁. يوضِّح الشكل البياني الحالة 󰏡=١٥، 𞸁=٥ بالنسبة إلى 𝜋𞸍٢𝜋.

أوجد الحقل الاتجاهي الذي يكون المنحنى 𞸎=𞸤(𞸁𞸍)󰏡𞸍، 𞸑=𞸤(𞸁𞸍)󰏡𞸍 هو منحنى تكامله.

أوجد معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية تحقِّقها 𞸎.

يمكنك معرفة أن 𞸎=𞸤(𞸁𞸍)󰏡𞸍 حل أيضًا لهذه المعادلة التفاضلية؛ ومن ثم، فأي 𞸎=󰎨(𞸍)=𞸋𞸤(𞸁𞸍)+𞸌𞸤(𞸁𞸍)󰏡𞸍󰏡𞸍 للثابتين 𞸋، 𞸌. باستخدام الحقل الاتجاهي، أوجد الدالة المناظرة 𞸑=𞸆(𞸍)؛ بحيث يكون 𞸎=󰎨(𞸍)، 𞸑=𞸆(𞸍) هو منحنى التكامل.

بالنسبة إلى الحالة 󰏡=١٥، 𞸁=٥، أوجد المعادلات البارامترية للمنحنى التكاملي الذي يبدأ عند النقطة (٣،٢) عندما تكون 𞸍=٠.

س٣:

باقتراض أننا نعلم أنه لعددٍ ما 𞸊، يوجد منحنيا التكامل 𞸎=󰎨(𞸍)، 𞸑=𞸓(𞸍)؛ حيث 󰎨، 𞸓 تركيبتان خطيتان لـ 𞸤𞸊𞸍. ما قيمة 𞸊؟

في تلك الحالة؛ حيث 𞸊 جذر مُكرَّر، تُستخدَم تركيبات خطية من 𞸍𞸤𞸊𞸍، 𞸤𞸊𞸍. بِناءً على ذلك، أوجد المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل الذي يقع عند (٠،٢) عندما تكون 𞸍=٠.

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل الذي يقع عند (١،١) عندما تكون 𞸍=٠؟

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل الذي يقع عند (١،٠) عندما تكون 𞸍=٠؟

افترِض أن 𞸍، 𞸍 عَبْر منحنى التكامل، والقاطع بين (٠، ٠)، 󰁓󰎨(𞸍)،𞸓(𞸍)󰁒 يصل إلى المستقيم المُتقطِّع الموضَّح. ما ميل ذلك الخط المستقيم؟

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.