درس: منحنى التكامل للحقل الاتجاهي

الرياضيات

في هذا الدرس، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد منحنى التكامل لحقل اتجاهي.

ملف تدريبي

س١:

يوضِّح الشكل الحقل الاتجاهي 𝑦,𝑥+52𝑦، بجانب خطوط الانسياب.

افترِض أننا نعرف أن لبعض الأعداد 𝑘 المنحنيين التكامليين 𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡)؛ حيث 𝑓، 𝑔 تشكيلان خطيان لبعض قِيَم 𝑒. ما قِيَم 𝑘؟

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (1,0) عندما تكون 𝑡=0؟

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (0,2) عندما تكون 𝑡=0؟

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (1,1) عندما تكون 𝑡=0؟

عندما تكون 𝑡، وعندما تكون 𝑡 على طول منحنى تكامل، يقترب قاطع تمام الزاوية بين (0,0)، (𝑓(𝑡),𝑔(𝑡)) من أحد الخطين المستقيمين 𝐿، 𝐿 الموضَّحين. ما ميل كلٍّ من هذين الخطين المستقيمين؟

س٢:

يوضِّح الشكل الحقل الاتجاهي 𝑦,𝑥32𝑦، بالإضافة إلى تمثيلات لانسيابه.

افترِض أننا نعرف أن لبعض الأعداد 𝑘 منحنيَي التكامل 𝑥=𝑓(𝑡)، 𝑦=𝑔(𝑡)؛ حيث كلٌّ من 𝑓، 𝑔 تركيب خطي من 𝑒. ما قِيَم 𝑘؟

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (0,2) عندما تكون 𝑡=0؟

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (1,1) عندما تكون 𝑡=0؟

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (2,2) عندما تكون 𝑡=0؟

باستخدام حقيقة أن 𝑒𝑒=1، أوجد معادلة ديكارتية تُحقِّقها نِقاط منحنى التكامل المار بالنقطة (0,2) عندما تكون 𝑡=0. لا حاجة إلى تبسيط المقدار.

عندما تكون 𝑡، وعندما تكون 𝑡 على طول منحنى التكامل، يقترب المستقيم القاطع الواصل بين (0,0)، (𝑓(𝑡),𝑔(𝑡)) من أحد الخطين المستقيمين 𝐿، 𝐿 الموضَّحين. ما ميل كلٍّ من هذين الخطين المستقيمين؟

س٣:

لدينا المنحنى البارامتري 𝑥=𝑒(𝑏𝑡)cos، 𝑦=𝑒(𝑏𝑡)sin مع الثابتين 𝑎، 𝑏. يوضِّح الشكل البياني الحالة 𝑎=15، 𝑏=5 بالنسبة إلى 𝜋𝑡2𝜋.

أوجد الحقل الاتجاهي الذي يكون المنحنى 𝑥=𝑒(𝑏𝑡)cos، 𝑦=𝑒(𝑏𝑡)sin هو منحنى تكامله.

أوجد معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية تحقِّقها 𝑥.

يمكنك معرفة أن 𝑥=𝑒(𝑏𝑡)sin حل أيضًا لهذه المعادلة التفاضلية؛ ومن ثم، فأي 𝑥=𝑓(𝑡)=𝑃𝑒(𝑏𝑡)+𝑄𝑒(𝑏𝑡)cossin للثابتين 𝑃، 𝑄. باستخدام الحقل الاتجاهي، أوجد الدالة المناظرة 𝑦=𝑔(𝑡)؛ بحيث يكون 𝑥=𝑓(𝑡)، 𝑦=𝑔(𝑡) هو منحنى التكامل.

بالنسبة إلى الحالة 𝑎=15، 𝑏=5، أوجد المعادلات البارامترية للمنحنى التكاملي الذي يبدأ عند النقطة (3,2) عندما تكون 𝑡=0.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.