تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: منحنيات السرعة-الزمن الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب إزاحة أو عجلة جسيم يتحرَّك في خط مستقيم من منحنى السرعة-الزمن.

تخيَّل جسمًا يتحرَّك بسرعة متجهة ثابتة 𞸏 لفترة زمنية تبدأ من 𞸍=٠ث إلى 𞸍=٠١ث.

يبدو التمثيل البياني للسرعة المتجهة للجسم مقابل الزمن كما يلي.

بما أن السرعة المتجهة ثابتة فإن التمثيل البياني يوضِّح خطًا مستقيمًا أفقيًّا. ما التغيُّر في إزاحة الجسم خلال الفترة الزمنية الموضَّحة؟ تذكَّر أنه بالنسبة لجسم يتحرَّك بسرعة متجهة ثابتة 𞸏 لفترة زمنية Δ𞸍 فإن التغيُّر في إزاحة الجسم Δ𞸐 يُعطَى بالصيغة: Δ𞸐=𞸏Δ𞸍.

يتحرَّك الجسم في التمثيل البياني في الأعلى بسرعة متجهة ١٢ م/ث لمدة ١٠ ث؛ ومن ثَمَّ فإنه يتحرَّك مسافة ٢١/×٠١=٠٢١مثثم في اتجاه حركته. لاحظ كيف أن هذا يساوي أيضًا المساحة الموجودة بين الخط المستقيم والمحور 𞸍.

ثمة سؤال آخَر يمكننا طرحه وهو: «ما عجلة الجسم في الفترة الزمنية الموضَّحة؟» بما أن الجسم يتحرَّك بسرعة متجهة ثابتة فإننا نعلم أن عجلته تساوي صفرًا؛ لذا يمكننا القول إنه عندما يكون الخط المستقيم الموجود على منحنى السرعة-الزمن أفقيًّا فإن العجلة تساوي صفرًا.

والآن، تخيَّل جسمًا يتحرَّك بسرعة متجهة تزيد بمعدَّل ثابت خلال فترة زمنية تبدأ من 𞸍=٠ث إلى 𞸍=٠١ث. يبدو التمثيل البياني للسرعة المتجهة للجسم مقابل الزمن كما يلي:

بما أن السرعة المتجهة تزيد بمعدَّل ثابت مع مرور الزمن فإن التمثيل البياني يوضِّح خطًا مستقيمًا، ولكن ليس خطًا مستقيمًا أفقيًّا. وبما أن السرعة المتجهة ليست ثابتة فلا يمكننا استخدام الصيغة نفسها التي استخدمناها من قبل لإيجاد التغيُّر في إزاحة الجسم. ومع هذا، يمكننا استخدام الصيغة نفسها إذا أردنا إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة للجسم 𞸏ا. في هذه الحالة، السرعة المتجهة المتوسطة للجسم تساوي السرعة المتجهة الابتدائية 𞸏𞸁 زائد السرعة المتجهة النهائية 𞸏𞸍 مقسومة على اثنين: 𞸏=𞸏𞸁+𞸏𞸍٢.ا

في هذه الحالة السرعة المتجهة الابتدائية تساوي ١٢ م/ث، والسرعة المتجهة النهائية تساوي ١٨ م/ث؛ أي إن السرعة المتجهة المتوسطة تساوي 󰁓٢١/+٨١/󰁒٢=٥١/مثمثمث. يمكننا الآن استخدام صيغة التغيُّر في إزاحة الجسم التي استخدمناها من قبل: Δ𞸐=𞸏Δ𞸍Δ𞸐=٥١/×٠١Δ𞸐=٠٥١.امثثم

لكنَّ ثمة طريقة أخرى للتفكير في ذلك؛ وهي المساحة الموجودة بين الخط المستقيم والمحور 𞸍، أو المساحة أسفل الخط المستقيم. التغيُّر في الإزاحة يساوي المساحة أسفل الخط المستقيم. يمكننا إيجاد المساحة أسفل الخط المستقيم بسهولة أكثر عن طريق تقسيمها إلى منطقتين كما يلي:

المنطقة الزرقاء عبارة عن مستطيل، إذن مساحته تساوي ارتفاعه ١٢ م/ث مضروبًا في عرضه ١٠ ث؛ وهو ما يساوي ١٢٠ م. والمنطقة الحمراء عبارة عن مثلث قائم الزاوية، إذن مساحته تساوي ارتفاعه ٦ م/ث مضروبًا في عرض قاعدته ١٠ ث مقسومًا على اثنين؛ وهو ما يساوي ٣٠ م. إذن المساحة الكلية هي: ٠٢١+٠٣=٠٥١ممم.

بما أننا ذكرنا أن السرعة المتجهة تزداد بمعدَّل ثابت بمرور الزمن، وأن عجلة الجسم ثابتة؛ فيمكننا القول إنه عندما يكون الخط على منحنى السرعة-الزمن مستقيمًا تكون العجلة ثابتة. وعند ميل الخط المستقيم لأعلى إلى اليمين فإن حركة الجسم تتسارع، وعند ميله لأسفل إلى اليمين فإن حركته تتباطأ.

دعونا نلقِ نظرة على بعض الأمثلة.

مثال ١: إيجاد التغيُّر في إزاحة جسم ما خلال فترة زمنية معطاة من منحنى السرعة-الزمن

يعبِّر منحنى السرعة-الزمن الموضَّح عن جسيم يتحرَّك في خط مستقيم. أوجد إزاحة الجسيم عند 𞸍=٢ث.

الحل

يوضِّح لنا هذا التمثيل البياني سرعة الجسيم خلال ٧ ثوانٍ، لكنَّ ما يعنينا فقط هو أول ثانيتين. إن الخط الموضَّح على التمثيل البياني هو مستقيم، ويميل لأعلى إلى اليمين؛ وهذا يعني أن الجسم يتحرَّك بعجلة ثابتة لا تساوي صفرًا.

لإيجاد التغيُّر في إزاحة الجسيم بين ٠ ث و٢ ث كل ما علينا فعله هو إيجاد المساحة المحصورة بين الخط المستقيم والمحور 𞸍 في الفترة من 𞸍=٠ث إلى 𞸍=٢ث.

بما أن هذه المنطقة على شكل مثلث فإن المساحة تساوي التغيُّر في السرعة المتجهة Δ𞸏 مضروبًا في الفترة الزمنية Δ𞸍 مقسومًا على اثنين: ااا=Δ𞸏Δ𞸍٢=٠٣×٢٢=٠٣.

هذه المساحة تساوي التغيُّر في إزاحة الجسيم. وبما أن السرعة تُقاس بوحدة سنتيمتر لكل ثانية، والزمن يُقاس بوحدة ثانية؛ فإن قيمة الإزاحة تُقاس بوحدة سنتيمتر، إذن التغيُّر في إزاحة الجسيم يساوي ٣٠ سم.

حتى الآن لم نتناول سوى السرعة المتجهة الموجبة. إذا كانت السرعة المتجهة للجسم سالبة، ولكن زاد مقدار السرعة المتجهة على نحو ثابت بمرور الزمن؛ فسيبدو التمثيل البياني للسرعة كما يلي:

في هذه الحالة، بما أن السرعة المتجهة سالبة خلال الفترة الزمنية الموضَّحة فإن التغيُّر في الإزاحة أيضًا سيكون سالبًا خلال هذه الفترة الزمنية. يمكننا مرة أخرى إيجاد التغيُّر في الإزاحة من خلال إيجاد مساحة المنطقة المظلَّلة في التمثيل البياني، لكنَّ علينا ضرب هذه المساحة في ١ بعد ذلك للحصول على قيمة التغيُّر في الإزاحة: اا=٠١×٠٢×١٢=٠٠١، وبما أن السرعة سالبة فعلينا ضرب هذه القيمة في ١: Δ𞸐=٠٠١.م

بذلك نكون قد تناولنا ما يتوجَّب علينا فعله إذا كانت السرعة سالبة خلال فترة زمنية محدَّدة، ولكن ماذا لو تغيَّرت السرعة المتجهة بين الموجب والسالب؟ يوضِّح التمثيل البياني التالي سرعة الجسم التي تبدأ موجبة قبل أن تصبح سالبة:

يقطع الخط المستقيم المحور 𞸍 عند 𞸍=٠١ث؛ حيث تبدأ السرعة موجبة ثم تصبح سالبة، وهذا يحدث عندما يعكس الجسم اتجاهه. يبدأ الجسم في التحرُّك في اتجاه واحد، ثم يبدأ في التحرُّك في الاتجاه المعاكس.

في أول ١٠ ثوانٍ من حركته تزايدت إزاحة الجسم، ولكن في آخِر ١٠ ثوانٍ، ولأن الجسم يتحرَّك في الاتجاه المعاكس؛ فإن إزاحته تتناقص. هذا يعني أنه لإيجاد التغيُّر في الإزاحة خلال الفترة الزمنية كلها من 𞸍=٠ث إلى 𞸍=٠٢ث علينا طرح المساحة بين الخط والمحور 𞸍، الموجودة أسفل المحور 𞸍 (المنطقة الحمراء)، من المساحة بين الخط والمحور 𞸍، الموجودة فوق المحور 𞸍 (المنطقة الزرقاء). في هذه الحالة، بما أن مساحة المنطقة الحمراء تساوي مساحة المنطقة الزرقاء فإن التغيُّر في إزاحة الجسم خلال هذه الفترة الزمنية التي مقدارها ٢٠ ثانية يساوي صفرًا.

لنلقِ نظرة على مثال آخَر.

مثال ٢: إيجاد الإزاحة التي يقطعها جسم ما باستخدام منحنى السرعة-الزمن

لدينا التمثيل البياني السرعة-الزمن لجسم يتحرَّك في خط مستقيم، أوجد إزاحة الجسيم في نطاق الفترة الزمنية [٠،٩].

الحل

يطلب منَّا السؤال إيجاد الإزاحة بين 𞸍=٠ث، 𞸍=٩ث؛ ومن ثَمَّ يمكننا تجاهل كل ما هو موجود على التمثيل البياني بعد 𞸍=٩ث.

تكون السرعة المتجهة من 𞸍=٠ث إلى 𞸍=١ث موجبة؛ وعليه يكون التغيُّر في الإزاحة في هذه الفترة الزمنية موجبًا أيضًا. وتكون السرعة المتجهة من 𞸍=١ث إلى 𞸍=٩ث سالبة؛ وعليه يكون التغيُّر في الإزاحة في هذه الفترة الزمنية سالبًا أيضًا. لإيجاد إزاحة الجسيم علينا طرح المساحة بين الخط المستقيم والمحور 𞸍 خلال الفترة الزمنية [١،٩] من المساحة بين الخط المستقيم والمحور 𞸍 خلال الفترة الزمنية [٠،١].

لنبدأ بإيجاد المساحة المحصورة بين الخط المستقيم والمحور 𞸍 خلال الفترة الزمنية [٠،١]. هذه المنطقة على شكل مثلث؛ ومن ثَمَّ فإن مساحته 𞸌١ تُعطَى بدلالة: 𞸌=٤×١×١٢𞸌=٢.١١

والآن دعونا نوجد المساحة بين الخط المستقيم والمحور 𞸍 خلال الفترة الزمنية [١،٩]. هذه المنطقة على شكل شبه منحرف؛ إذن مساحته 𞸌٢ تُعطَى بدلالة: 𞸌=٨+٥٢×٤𞸌=٦٢.٢٢

ومن ثَمَّ، تُعطَى الإزاحة بدلالة: Δ𞸐=𞸌𞸌Δ𞸐=٢٦٢Δ𞸐=٤٢.١٢

بما أن 𞸏 تُقاس بوحدة متر لكل ثانية، والزمن 𞸍 يُقاس بوحدة ثانية؛ فإن قيمة هذه الإزاحة تُقاس بوحدة متر.

حتى الآن لم نتناول سوى كيفية إيجاد الإزاحة من منحنى السرعة-الزمن. لإيجاد الإزاحة نجمع المساحات بين الخط المستقيم والمحور 𞸍 الموجودة فوق المحور 𞸍، ونطرح منها جميع المساحات بين الخط المستقيم والمحور 𞸍 في المنطقة الموجودة أسفل المحور 𞸍.

لكن، إذا أردنا إيجاد المسافة الكلية التي يقطعها جسم ما على منحنى السرعة-الزمن فبدلًا من ذلك سنجمع كل المساحات بين الخط المستقيم والمحور 𞸍؛ سواء أكانت موجودة أعلى المحور أم أسفله.

مثال ٣: إيجاد المسافة التي يقطعها جسيم باستخدام منحنى السرعة-الزمن

بالنظر إلى منحنى السرعة-الزمن لجسيم يتحرَّك في خط مستقيم، أوجد المسافة التي يقطعها الجسيم خلال الفترة الزمنية [٠،٨].

الحل

يسألنا هذا السؤال عن الفترة الزمنية [٠،٨] فقط؛ ومن ثَمَّ يمكننا تجاهل كل ما هو موجود على التمثيل البياني بعد 𞸍=٨ث.

لإيجاد إجمالي المسافة المقطوعة كل ما علينا فعله هو جمع المساحات الموجودة بين الخط المستقيم والمحور 𞸍 خلال الفترة الزمنية 𞸍=٠ث، 𞸍=٨ث فقط.

تظهر المنطقة الواقعة بين الخط المستقيم والمحور 𞸍 في الفترة الزمنية [٠،١] على شكل مثلث؛ لذا فإن مساحته التي سنطلق عليها 𞸌١ ستساوي ارتفاعه مضروبًا في عرض قاعدته مقسومًا على اثنين: 𞸌=٥×١٢𞸌=٥٫٢.١١

وتظهر المنطقة الموجودة بين الخط المستقيم والمحور 𞸍 في الفترة الزمنية [١،٨] على شكل شبه منحرف؛ ومن ثَمَّ فإن مساحته التي سنطلق عليها 𞸌٢ ستساوي طول ضلعه المتوسط مضروبًا في ارتفاعه: 𞸌=٤+٧٢×٥𞸌=٥٫٧٢.٢٢

المسافة الكلية المقطوعة تساوي المساحة الكلية: اااااا=𞸌+𞸌=٥٫٢+٥٫٧٢=٠٣.١٢

إذن، المسافة الكلية التي يقطعها الجسم في الفترة الزمنية [٠،٨] تساوي ٣٠ م.

عندما يكون الخط على منحنى السرعة-الزمن مستقيمًا فإنه يمكننا أيضًا إيجاد عجلة الجسم. خلال الفترة الزمنية التي يكون فيها الخط مستقيمًا تكون العجلة ثابتة، وتساوي التغيُّر في السرعة المتجهةΔ𞸏 مقسومًا على الفترة الزمنية Δ𞸍: 𞸢=Δ𞸏Δ𞸍، حيث 𞸢 هي العجلة.

مثال ٤: إيجاد عجلة جسم من منحنى السرعة-الزمن

إذا كان هذا هو التمثيل البياني للسرعة والزمن لجسم يتحرَّك في خط مستقيم، فأوجد عجلته عند 𞸍=٣ث.

الحل

يكون الخط مستقيمًا على طول الفترة الزمنية الموضَّحة بالكامل؛ ومن ثَمَّ فإن العجلة تكون ثابتة طوال الفترة الزمنية.

لإيجاد عجلة الجسم يمكننا استخدام الصيغة: 𞸢=Δ𞸏Δ𞸍، حيث 𞸢 هي العجلة، وΔ𞸏 هو التغيُّر في السرعة المتجهة خلال الفترة الزمنية، وΔ𞸍 هو الفترة الزمنية.

من التمثيل البياني يمكننا ملاحظة أن السرعة المتجهة للجسم تتزايد من ٠ سم/ث إلى ٢١٠ سم/ث، وأن الفترة الزمنية هي ١٠ ثوانٍ؛ لذا: 𞸢=٠١٢٠١𞸢=١٢، ومن ثَمَّ، بما أن عجلة الجسم ثابتة خلال الفترة الزمنية الموضَّحة على التمثيل البياني فإن عجلة الجسم عند 𞸍=٣ث تساوي ٢١ سم/ث٢.

مثال ٥: إيجاد عجلة جسم من منحنى السرعة-الزمن

يوضِّح الشكل منحنى السرعة-الزمن لجسم يتحرَّك في خط مستقيم. أوجد تباطؤ الجسم خلال الجزء الأخير من حركته، إذا كان قد وصل إلى السكون بعد ١٠٠ ثانية من بدء الحركة.

الحل

ما يعنينا هو الجزء الأخير من حركة الجسم فقط، وهو الذي يقع بين ٩٠ ث و١٠٠ ث، ويمكننا تجاهل كل ما هو خارج هذه الفترة الزمنية.

في هذه الفترة الزمنية [٠٩،٠٠١] نلاحظ أن الخط على التمثيل البياني مستقيم؛ وعليه تكون العجلة ثابتة. هذا يعني أنه لإيجاد عجلة الجسم يمكننا استخدام الصيغة: 𞸢=Δ𞸏Δ𞸍، حيث 𞸢 هي العجلة، وΔ𞸏 هو التغيُّر في السرعة المتجهة خلال الفترة الزمنية، وΔ𞸍 هو الفترة الزمنية.

من التمثيل البياني يمكننا ملاحظة أن السرعة المتجهة للجسم تتباطأ من ٤٥ م/ث إلى ٠ م/ث؛ أي إن التغيُّر ٥٤ م/ث، خلال فترة زمنية مقدارها ١٠ ثوانٍ: 𞸢=٠٥٤٠٠١٠٩𞸢=٥٤٠١𞸢=٥٫٤.

وعليه؛ فإن عجلة الجسم في الجزء الأخير من حركته تساوي ٥٫٤ م/ث، وهي تشبه تباطؤ ٤٫٥ م/ث.

النقاط الرئيسية

  • يمكن حساب التغيُّر في إزاحة الجسم من منحنى السرعة-الزمن بجمع المساحات بين الخط المستقيم والمحور 𞸍 الموجودة فوق المحور 𞸍، وطرح المساحات الموجودة أسفل المحور 𞸍.
  • يمكن حساب المسافة التي يقطعها جسم من منحنى السرعة-الزمن الخاص به بجمع كل المساحات بين الخط المستقيم والمحور 𞸍.
  • عندما يكون الخط على منحنى السرعة-الزمن مستقيمًا فإنه يمكن إيجاد العجلة باستخدام الصيغة: 𞸢=Δ𞸏Δ𞸍.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.