في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد الجذور للأعداد الصحيحة؛ حيث عدد صحيح موجب أكبر من أو يساوي اثنين.
الجذر لعدد ما هو العملية العكسية لرفع هذا العدد إلى الأس ؛ لذلك، سنراجع أولًا كيفية إيجاد الأسس المختلفة لعدد ما.
نذكر أن أي عدد له الأس واحد يساوي نفس العدد. على سبيل المثال:
العدد الذي له الأس اثنان يساوي هذا العدد مضروبًا في نفسه. على سبيل المثال:
إيجاد الجذر التربيعي لعدد ما هو العملية العكسية لرفع العدد إلى الأس اثنين. يمكننا تعريف الجذر التربيعي لعدد ما باستخدام رمز الجذر .
تعريف: الجذر التربيعي لعدد ما
الجذر التربيعي لعدد ما، ، هو العدد ، حيث . والجذر التربيعي الموجب لـ يُكتب على الصورة:
وبالنظر إلى دالة الجذر التربيعي، ، نلاحظ أنها دالة تأخذ القيمة المدخلة الموجبة وتعطي القيمة الموجبة التي يتم تربيعها للحصول على . على سبيل المثال:
مع ذلك، من المهم أن نتذكر أنه يمكننا أيضًا تربيع القيمة لنحصل على ٢٥، كما يلي:
القيمة الموجبة للجذر هي عادة القيمة التي نفكر بها، ما لم يُطلب منا غير ذلك. وعندما يكون علينا التفكير في قيمتي الجذر التربيعي، الموجبة والسالبة، نشير إلى ذلك باستخدام الرمز . على سبيل المثال:
يمكننا الآن استكشاف ما يحدث عندما يكون أس عدد ما عددًا صحيحًا أكبر من ٢.
يمكننا كتابة أن:
وإذا كان الأس ٤ فسنحصل على:
العمليتان العكسيتان لهاتين القيمتين هما الجذران ، حيث يمثل قيمة الأس.
وبما أن: فإن الجذر الثالث لـ ١٢٥ سيكون عددًا يتم تكعيبه لنحصل على ١٢٥. يمكننا كتابة ذلك على صورة:
بالنسبة للقيمة، ، حيث الأس هو ٤، وبما أن: فإن الجذر الرابع للعدد ٢٥٦ يعطى بالصيغة:
لاحظ أن علامة الجذر تُستخدم أيضًا مع الجذور ، وحينئذٍ، تكون درجة علامة الجذر هي قيمة . مع ذلك، فعند إيجاد الجذر التربيعي، لا نحتاج إلى كتابة الدرجة، ٢، مع علامة الجذر. ويمكننا تعريف الجذر على النحو التالي:
تعريف: الجذر النوني لعدد
الجذر ، ، لكمية ما، ، هو قيمة حيث:
ومن ثَمَّ، فهو يمثل الدالة العكسية لرفع عدد ما إلى الأس . للإشارة إلى الجذر نستخدم الصيغة:
أما الجذر الثاني، فهو يسمى عادة بالجذر التربيعي. والجذر الثالث يسمى بالجذر التكعيبي. بعد ذلك، تسمى الجذور ببساطة الجذر ، على سبيل المثال، الجذر الخامس والجذر التاسع.
من المفيد عادة تدوين بعض الأسس الأولى للأعداد ٢، ٣، ٤، لمساعدتنا في إيجاد قيم الجذور بشكل أسرع.
الأسس الخمس الأولى للأعداد ٢، ٣، ٤
إن تعلُّم هذه القوى يساعدنا على التذكر بشكل أسرع ويفيدنا تحديدًا في إيجاد الجذور . على سبيل المثال، لإيجاد قيمة ، نستخدم حقيقة أن لنستنتج أن .
والآن، يمكننا أن نتناول بعض أمثلة الأسئلة حيث علينا إيجاد قيمة الجذور المختلفة.
مثال ١: إيجاد قيمة الجذر التربيعي
أوجد قيمة .
الحل
نذكر أنه عند إيجاد الجذر التربيعي، ليس علينا كتابة القيمة ٢ في الجذر التربيعي. على سبيل المثال، يكافئ . ومن ثم، إذا أشرنا إلى الجذر بالرمز ، فإن: وهو ما يعني أن:
إذن، أي قيمة موجبة لـ هي القيمة الصحيحة؟
إننا نتذكر أن:
إذن نستنتج أن:
سنرى الآن كيف يمكننا حساب الجذر الرابع لقيمة ما.
مثال ٢: إيجاد قيمة الجذر الرابع
أوجد قيمة .
الحل
الجذر ، ، لكمية ما ، هو قيمة حيث: ومن ثَمَّ، فهو يمثل الدالة العكسية لرفع عدد ما إلى الأس .
للإشارة إلى الجذر نستخدم الصيغة:
المطلوب منا هنا إيجاد ؛ ومن ثَمَّ، علينا إيجاد القيمة الموجبة لـ حيث:
إننا نتذكر أن:
إذن، ويمكننا كتابة:
في المثال التالي، سنوجد قيمة مجهولة جذرها التربيعي يساوي الجذر التكعيبي لعدد آخر.
مثال ٣: مساواة الجذور التكعيبية والجذور التربيعية
أكمل الآتي: .
الحل
سنوجد قيمة الطرف الأيمن من هذه المعادلة أولًا، .
الجذر ، ، لكمية ما ، هو قيمة حيث: إنه الدالة العكسية لرفع عدد ما إلى الأس .
وللإشارة إلى الجذر نستخدم الصيغة: في هذه الحالة، قيمة لأننا سنوجد الجذر الثالث.
إيجاد قيمة ، حيث ، يكافئ إيجاد قيمة حيث:
وبما أننا نعرف أن: يمكننا القول أيضًا أن: من المهم أن نلاحظ أن القيمة الناقصة في السؤال ليست ببساطة ٣.
وبدلاً من ذلك، لا بُد أن يساوي طرفا المعادلة ثلاثة:
لكي يساوي الطرف الأيسر من هذه المعادلة ثلاثة، علينا إيجاد القيمة الناقصة لنحصل على:
لعلنا نتذكر أن:
إذن:
إذن، القيمة الناقصة هي تسعة، والمعادلة كاملة هي:
في المثالين التاليين، سنرى كيف يمكن إيجاد عدد من الجذور المختلفة في معادلة واحدة.
مثال ٤: إيجاد متغير مجهول باستخدام الجذر النوني
إذا كان ، فأوجد .
الحل
لنوجد قيمة ، علينا إيجاد قيمة الجذور في هذه المعادلة.
الجذر ، ، لكمية ما، ، هو قيمة حيث: إنه الدالة العكسية لرفع عدد ما إلى الأس .
وللإشارة إلى الجذر نستخدم الصيغة: بداية من الحد الأول في الطرف الأيسر من هذه المعادلة، ، يمكننا كتابة على صورة . بعد ذلك، نوجد القيمة الموجبة لـ حيث . إذا اتبعنا أسلوب الحل بالتجربة والتحسين، وبما أن ٣٢ قيمة منخفضة نسبيًّا، فمن المنطقي أن نبدأ بقيمة منخفضة لـ .
نحن نتذكر أن أي أس صحيح للعدد ١ يساوي ١، ما يعني أن . لذا يمكننا استخدام ٢ كتجربة أولى لـ .
بما أن: إذن:
هذا يعني أن الجذر الخامس للعدد ٣٢ يساوي ٢؛ لذا يمكننا كتابة: يمكننا تطبيق الطريقة نفسها لإيجاد قيمة الحد التالي، .
علينا إيجاد القيمة الموجبة لـ حيث: أثناء الحل بأسلوب التجربة والتحسين، يمكننا تطبيق قليل من المنطق أيضًا. فأي عدد زوجي مرفوع لأي أس صحيح موجب يكون دائمًا عددًا زوجيًّا.
وبما أن ٦٢٥ عدد فردي، فهذا يعني أن قيمة لا بُد أن تكون أيضًا عددًا فرديًّا.
نعرف أن: بعد ذلك، يمكننا تجربة القيمة الفردية التالية، .
وهو ما يعطينا:
إذن:
وبالنسبة إلى الحد الأخير، ، فلعلنا نتذكر أنه بما أن: يمكننا كتابة:
يمكننا الآن التعويض عن القيم ، ، في المعادلة لإيجاد قيمة ، مع العلم أننا سنطرح الحد : بتبسيط هذا المقدار، نلاحظ أن هناك حدودًا يجب جمعها وطرحها.
نطبق ترتيب العمليات لتبسيط هذا المقدار؛ ما يعطينا:
سنتناول الآن كيفية إيجاد الجذور للقيم السالبة.
على سبيل المثال، هل هناك قيمة حقيقية لـ حيث:
نحن نعلم أنه يمكننا تربيع قيمة موجبة وسالبة في المثال التالي: لكن هاتين القيمتين ستعطياننا ٩، وليس .
لذلك، فإن ٣ و ليسا هما حل .
هل توجد قيمة حقيقية لـ حيث ؟ إذا كان قيمة موجبة، فإن سيكون قيمة موجبة مضروبة في قيمة موجبة؛ ما يعطينا قيمة موجبة.
إذن وليس .
وإذا كان قيمة سالبة، فإن سيكون قيمة سالبة مضروبة في قيمة سالبة، وهو ما يعطينا قيمة موجبة أيضًا وليس . وبناءً على ذلك، نستنج أنه لا توجد قيمة حقيقية لـ حيث ، ولا يوجد حل بالأعداد الحقيقية لـ .
بوجه عام، لا يوجد حل بالأعداد الحقيقية للجذر التربيعي لأي عدد سالب.
يمكننا أيضًا توسيع نطاق ذلك ليشمل أي قيمة موجبة زوجية لـ في الجذر لعدد سالب.
نحن نعرف أن: وأن:
إذن، هل من الممكن إذا تناولنا الجذر الرابع لـ ، أن نحصل على قيمة حقيقية لـ حيث:
الإجابة هي لا، لأن الحلين الوحيدين الُمحتَمَلين هما ، ، وكلاهما يعطينا القيمة الموجبة ٨١ عند رفعه إلى الأس الرابع.
في ما يلي، سنستكشف الحالات التي تتضمن الجذور للأعداد السالبة.
مثلاً، هل توجد أي قيم حقيقية لـ تعطينا:
يمكننا حساب أن:
إذن:
بتناول عملية حسابية مختلفة حيث يمكننا إيجاد قيمة: نعرف أن: في الحالتين أعلاه، توصلنا إلى حل بعدد حقيقي لجذر عدد سالب، حين كان الجذران ٣، ٥.
بوجه عام، يمكننا إيجاد حل بالأعداد الحقيقية للجذر لعدد سالب عندما يكون عددًا صحيحًا موجبًا فرديًّا.
يمكننا تلخيص النتائج في الجدول أدناه.
بالنسبة للمعادلة :
| عدد صحيح موجب زوجي | جذران حقيقيان، | ليست هناك جذور حقيقية |
|---|---|---|
| عدد صحيح موجب فردي | جذر واحد حقيقي، | |
سنرى كيف نطبق ذلك في المثال التالي.
مثال ٥: إيجاد متغير مجهول باستخدام الجذر النوني
إذا كان ، فأوجد .
الحل
لإيجاد قيمة ، علينا إيجاد الجذور في هذه المعادلة.
الجذر ، ، لكمية ما ، هو قيمة حيث: إنه الدالة العكسية لرفع عدد ما إلى الأس .
وللإشارة إلى الجذر نستخدم الصيغة:
بأخذ الحدود في الطرف الأيمن من المعادلة، نوجد قيمة بتحديد أي قيمة موجبة لـ تعطينا:
وبما أن: إذن:
كذلك، بما أن: يمكن أن نستنتج أن: علينا بعد ذلك إيجاد قيمة . لاحظ أنه عند إيجاد الجذور لقيمة ما، حيث عدد زوجي، لا يمكننا إيجاد حل بالأعداد الحقيقية للجذر لعدد سالب. على سبيل المثال، لعلنا نتذكر أنه لا يمكننا إيجاد حل بالأعداد الحقيقية للجذر التربيعي لعدد سالب.
مع ذلك، عندما تكون قيمة عددًا فرديًّا، يمكننا إيجاد حل بالأعداد الحقيقية للجذر لعدد سالب.
وبما أن: فإننا نعرف أن:
إذن: آخر حد نوجد قيمته هو .
أي قيمة موجبة لـ إذن تحل المعادلة ؟
يمكننا كتابة:
ومن ثَمَّ، نستنتج أن: يمكننا الآن حل المعادلة: باستخدام القيم ، ، ، .
بالتعويض عن هذه القيم في الحدود ثم التبسيط، نحصل على:
حل قيمة س هو ٦.
النقاط الرئيسية
- يُشار للجذر لقيمة ما بالصيغة . إنه العملية العكسية لرفع عدد ما إلى الأس ، ويمكننا التفكير فيها باعتبارها مكافئة لإيجاد قيمة ، حيث .
- يمكننا إيجاد حل بالأعداد الحقيقية للجذر لعدد سالب عندما يكون عددًا فرديًّا.
- لا يمكننا إيجاد حل بالأعداد الحقيقية للجذر لعدد سالب عندما يكون عددًا زوجيًّا.
