Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les racines -ièmes de nombres entiers, où est un entier supérieur ou égal à 2.
Prendre la racine -ième d’un nombre revient à faire l’opération inverse de l’élévation d’un nombre à la puissance , nous allons donc d’abord étudier comment calculer les différentes puissances d’un nombre.
On peut rappeler qu’un nombre élevé à la puissance 1 est égal au nombre lui-même ; par exemple,
Un nombre élevé à la puissance 2 est égal à ce nombre multiplié par lui-même ; par exemple,
Prendre la racine carrée d’un nombre est l’opération inverse de l’élévation de ce nombre à la puissance 2. On peut définir la racine carrée d’un nombre en utilisant le symbole racine .
Définition : Racine carrée d’un nombre
La racine carrée de est le nombre positif , tel que . On désigne la racine carrée de par la notation suivante
La fonction racine carrée est définie pour tout positif et renvoie toujours une image positive dont le carré est égal à . Par exemple,
Toutefois, il est important de rappeler que le carré de est aussi égal à 25, puisque
Sauf indication contraire, nous considérons généralement la valeur positive de la racine. Lorsque nous devons considérer à la fois les valeurs des racines carrées positive et négative, nous pouvons l’indiquer en utilisant le symbole . Par exemple,
Étudions à présent ce qui se passe lorsqu’on élève un nombre à une puissance strictement supérieure à 2.
On pourrait écrire
Et, en élevant à la puissance 4, on a
Les opérations inverses de ces deux exponentiations sont les racines -ième, où est la valeur de l’exposant.
Puisque alors la racine cubique de 125 est un nombre dont le cube est égal à 125, et nous savons que ce nombre est 5. Nous pouvons écrire cela de la façon suivante
Pour le nombre , avec un exposant égal à 4 donc, puisque la racine quatrième de 625 est donnée par
Notez que le symbole racine est également utilisé pour les racines -ièmes, en indiquant comme degré sur le symbole racine. Lorsque l’on prend la racine carrée, il n’est pas nécessaire d’indiquer le degré 2 sur le symbole racine. On peut définir la racine -ième d’un nombre comme suit.
Définition : Racine n-ième d’un nombre
Une racine -ième, d’un nombre est une solution de l’équation
Il s’agit donc de la fonction inverse de la fonction d’élévation à la puissance . On note la racine -ième de la sorte :
La racine deuxième est généralement appelée la racine carrée. La racine troisième est souvent appelée la racine cubique. Au-delà de 3, les racines sont simplement appelées les racines -ième, par exemple, la racine cinquième ou la racine neuvième.
Il est souvent utile des connaitre quelques-unes des premières puissances des entiers 2, 3 et 4 afin de calculer plus rapidement les racines -ièmes de ces nombres.
Les cinq premières puissances de 2, 3 et 4
La connaissance de ces puissances permet de les calculer plus vite et aide particulièrement lors de calcul de racines -ièmes. Par exemple, si nous devions calculer , en sachant que , on a directement .
Etudions à présent des exemples où nous devons calculer diverses racines -ièmes.
Exemple 1: Calcul d’une racine carrée
Calculez .
Réponse
Rappelons que, lors du calcul d’une racine carrée, il n’est pas nécessaire d’écrire le degré 2 sur le symbole racine. Par exemple, l’écriture est équivalente à . Donc, en désignant par la racine carrée, on a et donc
Quel nombre positif est solution de cette équation ? Rappelons que
Par conséquent,
Voyons à présent comment calculer une racine quatrième.
Exemple 2: Calcul d’une racine quatrième
Calculez .
Réponse
La racine -ième, notée, , d’un nombre est une solution de l’équation
Il s’agit donc de la fonction inverse de la fonction d’élévation à la puissance . On désigne la racine -ième par la notation
Ici, on doit calculer ; par conséquent, nous devons calculer le nombre positif tel que
Nous rappelons que
Par conséquent, , et on peut écrire
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer un nombre dont la racine carrée est égale à la racine cubique d’un autre nombre.
Exemple 3: Égalités entre racines cubiques et racines carrées
Complétez l’expression suivante : .
Réponse
On peut d’abord évaluer le membre de gauche de cette équation, . Une racine -ième, notée , d’un nombre est une solution de l’équation
Il s’agit de la fonction inverse de la fonction d’élévation à la puissance . On désigne la racine -ième par la notation
Ici, on a puisque l’on recherche la racine cubique. Déterminer le nombre tel que , revient à résoudre en l’équation
Puisque l’on sait que on a donc
On attire l’attention sur le fait que la valeur manquante dans notre expression n’est pas simplement 3. En effet, au lieu de cela, les deux membres de l’équation sont égaux à 3 :
Pour que le membre de droite de cette équation soit égal à 3, nous devons déterminer la valeur manquante telle que
Nous rappelons que
Par conséquent,
Ainsi, le nombre recherché est 9 et l’équation, une fois complétée, devient
Dans les deux exemples suivants, nous verrons comment évaluer un certain nombre de racines différentes dans une équation.
Exemple 4: Calcul d’une inconnue en utilisant les racines n-ièmes
Sachant que , calculez .
Réponse
Afin de déterminer la valeur de , nous devrons évaluer les racines -ièmes dans cette équation.
Une racine -ième, notée , d’un nombre est un nombre tel que
Il s’agit de l’inverse de la fonction d’élévation à la puissance . On note la racine -ième par
En commençant par le premier terme du membre de droite de cette équation, , on peut écrire comme . On calcule ensuite le nombre positif tel que . Si on cherche une solution en tâtonnant, puisque 32 est un nombre relativement petit, il serait judicieux de commencer avec une petite valeur pour . On rappelle que toute puissance de 1 est égale à 1 ; c’est-à-dire ; ainsi, nous pouvons commencer à chercher en posant 2 comme première valeur de .
Puisque on a
Ainsi, 2 est la racine cinquième de 32, ce que l’on peut réécrire comme
On peut appliquer la même méthode pour déterminer la valeur du prochain terme, . Nous devrons déterminer le nombre positif tel que
Nous pouvons améliorer notre recherche par tâtonnement en raisonnant un peu. Toute puissance d’un nombre pair est paire. Sachant que 625 est un nombre impair, le nombre doit nécessairement être un lui aussi un nombre impair.
Nous pouvons établir que
Par suite, on peut tester la prochaine valeur impaire . Cela nous donne
Par conséquent,
Pour le dernier terme, , on rappelle que et on peut donc écrire
On peut maintenant substituer les valeurs , , et dans l’équation pour calculer , en remarquant que l’on soustrait par le terme , et on obtient :
On remarque que, pour simplifier cette expression, il faut calculer une somme et une différence. On respecte l’ordre de priorité des opérations pour calculer cette expression, ce qui nous donne
Nous allons maintenant étudier le cas des racines -ièmes de nombres strictement négatifs.
Par exemple, existe-t-il un nombre réel tel que
On sait élever au carré des nombres réels, aussi bien positifs que négatifs, comme dans l’exemple suivant :
Cependant, les deux donnent un résultat égal à 9, pas à . Donc, ni 3 ni ne sont solutions de .
Existe-t-il un nombre réel tel que ?
Si est positif, alors est le produit de deux nombres positifs, et est donc positif. Ainsi, on a et donc différent de .
Si est un nombre négatif, alors est un produit de deux nombres négatifs, et est donc positif et, par conséquent, différent de .
Ainsi, il n’existe aucun nombre réel tel que , et aucune solution réelle pour . En général, il n’existe aucune solution réelle pour la racine carrée d’un nombre négatif.
Nous pouvons étendre ce résultat à tout entier positif pair, lorsqu’on prend la racine -ième d’un nombre négatif.
Par exemple, on a et
Par conséquent, si l’on considère la racine quatrième de , existe-t-il un nombre réel tel que
La réponse est non, car les deux seules solutions possibles, et , sont toutes deux égales à 81 lorsqu’élevées à la puissance 4.
Ensuite, nous pouvons examiner les situations où il existe bien des racines -ièmes de nombres négatifs.
Par exemple, existe-t-il des nombres réels tels que
On peut faire le calcul suivant
Par conséquent,
En faisant un calcul différent, puisque l’on peut évaluer on sait que
Dans les deux cas ci-dessus, nous avons trouvé une solution réelle pour la racine d’un nombre négatif, lorsque les racines étaient cubiques ou cinquièmes. De manière générale, on peut trouver une racine -ième réelle d’un nombre strictement négatif dès lors que est un entier positif et impair.
Nous pouvons résumer les résultats dans le tableau ci-dessous.
Pour l’équation ,
| est un entier positif pair | Deux racines réelles, | Aucune racine réelle |
|---|---|---|
| est un entier positif impair | Une racine réelle, | |
Nous allons en voir un exemple d’application dans l’exemple suivant.
Exemple 5: Calcul d’une inconnue en utilisant les racines n-ièmes
Sachant que , calculez .
Réponse
Pour pouvoir trouver la valeur de nous allons devoir calculer les racines -ièmes dans cette équation.
Une racine -ième, notée , d’un nombre est un nombre tel que
Il s’agit de l’inverse de la fonction d’élévation à la puissance . La racine -ième est notée
En prenant un à un les termes du membre de droite de l’équation, on peut calculer en déterminant quelle valeur de satisfait
Puisque et, par conséquent
Puisque on peut conclure que
Nous devons ensuite évaluer . Notez que lors de la recherche de racines -ièmes, lorsque est un nombre pair, on ne peut pas trouver de racine -ième réelle d’un nombre négatif. Par exemple, nous rappelons qu’un nombre strictement négatif n’a pas de racine carrée réelle. Cependant, lorsque est un nombre impair, on peut trouver une racine -ième réelle d’un nombre strictement négatif.
Puisque nous avons on sait que
Par conséquent,
Le dernier terme à évaluer est . Alors, quelle valeur de est solution de l’équation ?
On a l’égalité
Par conséquent,
Nous pouvons maintenant résoudre l’équation en utilisant les valeurs , , , et . En substituant ces valeurs dans l’équation, puis en simplifiant l’expression obtenue, on a
Le nombre est donc égal à 6.
Points clés
- La racine -ième d’un nombre est désignée par . Il s’agit de l’inverse de la fonction d’élévation à la puissance , et appliquer cette racine revient à déterminer la valeur de solution de .
- Nous pouvons trouver la racine -ième réelle d’un nombre strictement négatif lorsque est impair.
- Un nombre strictement négatif n’admet pas de racine -ième dès lors que est pair.
