شارح الدرس: الجذور النونية: الأعداد الصحيحة | نجوى شارح الدرس: الجذور النونية: الأعداد الصحيحة | نجوى

شارح الدرس: الجذور النونية: الأعداد الصحيحة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد الجذور ا للأعداد الصحيحة؛ حيث 𞸍 عدد صحيح موجب أكبر من أو يساوي اثنين.

الجذر ا لعدد ما هو العملية العكسية لرفع هذا العدد إلى الأس ا؛ لذلك، سنراجع أولًا كيفية إيجاد الأسس المختلفة لعدد ما.

نذكر أن أي عدد له الأس واحد يساوي نفس العدد. على سبيل المثال: ٥=٥.١

العدد الذي له الأس اثنان يساوي هذا العدد مضروبًا في نفسه. على سبيل المثال: ٥=٥×٥=٥٢.٢

إيجاد الجذر التربيعي لعدد ما هو العملية العكسية لرفع العدد إلى الأس اثنين. يمكننا تعريف الجذر التربيعي لعدد ما باستخدام رمز الجذر 󰂔󰋴󰂓.

تعريف: الجذر التربيعي لعدد ما

الجذر التربيعي لعدد ما، 𞸎، هو العدد 𞸑، حيث 𞸑=𞸎٢. والجذر التربيعي الموجب لـ 𞸎 يُكتب على الصورة: 󰋴𞸎=𞸑.

وبالنظر إلى دالة الجذر التربيعي، 󰋴𞸎=𞸑، نلاحظ أنها دالة تأخذ القيمة المدخلة الموجبة 𞸎 وتعطي القيمة الموجبة 𞸑 التي يتم تربيعها للحصول على 𞸎. على سبيل المثال: 󰋴٥٢=٥.

مع ذلك، من المهم أن نتذكر أنه يمكننا أيضًا تربيع القيمة ٥ لنحصل على ٢٥، كما يلي: ٥×٥=٥٢.

القيمة الموجبة للجذر هي عادة القيمة التي نفكر بها، ما لم يُطلب منا غير ذلك. وعندما يكون علينا التفكير في قيمتي الجذر التربيعي، الموجبة والسالبة، نشير إلى ذلك باستخدام الرمز ±. على سبيل المثال: ±󰋴٥٢=±٥.

يمكننا الآن استكشاف ما يحدث عندما يكون أس عدد ما عددًا صحيحًا أكبر من ٢.

يمكننا كتابة أن: ٥=٥×٥×٥=٥٢١.٣

وإذا كان الأس ٤ فسنحصل على: ٥=٥×٥×٥×٥=٥٢٦.٤

العمليتان العكسيتان لهاتين القيمتين هما الجذران ان، حيث 𞸍 يمثل قيمة الأس.

وبما أن: ٥=٥٢١،٣ فإن الجذر الثالث لـ ١٢٥ سيكون عددًا يتم تكعيبه لنحصل على ١٢٥. يمكننا كتابة ذلك على صورة: ٣󰋴٥٢١=٥.

بالنسبة للقيمة، ٥٤، حيث الأس هو ٤، وبما أن: ٥=٥٢١،٤ فإن الجذر الرابع للعدد ٢٥٦ يعطى بالصيغة: ٤󰋴٥٢١=٥.

لاحظ أن علامة الجذر 󰂔󰋴󰂓 تُستخدم أيضًا مع الجذور ا، وحينئذٍ، تكون درجة علامة الجذر هي قيمة 𞸍. مع ذلك، فعند إيجاد الجذر التربيعي، لا نحتاج إلى كتابة الدرجة، ٢، مع علامة الجذر. ويمكننا تعريف الجذر ا على النحو التالي:

تعريف: الجذر النوني لعدد

الجذر ا، 𞸓، لكمية ما، 𞸏، هو قيمة حيث: 𞸏=𞸓.𞸍

ومن ثَمَّ، فهو يمثل الدالة العكسية لرفع عدد ما إلى الأس ا. للإشارة إلى الجذر ا نستخدم الصيغة: 𞸓=󰋴𞸏.𞸍

أما الجذر الثاني، فهو يسمى عادة بالجذر التربيعي. والجذر الثالث يسمى بالجذر التكعيبي. بعد ذلك، تسمى الجذور ببساطة الجذر ا، على سبيل المثال، الجذر الخامس والجذر التاسع.

من المفيد عادة تدوين بعض الأسس الأولى للأعداد ٢، ٣، ٤، لمساعدتنا في إيجاد قيم الجذور ا بشكل أسرع.

الأسس الخمس الأولى للأعداد ٢، ٣، ٤

٤=٤٣=٣٢=٢٤=٦١٣=٩٢=٤٤=٤٦٣=٧٢٢=٨٤=٦٥٢٣=١٨٢=٦١٤=٤٢٠١٣=٣٤٢٢=٢٣١١١٢٢٢٣٣٣٤٤٤٥٥٥

إن تعلُّم هذه القوى يساعدنا على التذكر بشكل أسرع ويفيدنا تحديدًا في إيجاد الجذور ا. على سبيل المثال، لإيجاد قيمة ٥󰋴٣٤٢، نستخدم حقيقة أن ٣=٣٤٢٥ لنستنتج أن ٥󰋴٣٤٢=٣.

والآن، يمكننا أن نتناول بعض أمثلة الأسئلة حيث علينا إيجاد قيمة الجذور ا المختلفة.

مثال ١: إيجاد قيمة الجذر التربيعي

أوجد قيمة 󰋴٤.

الحل

نذكر أنه عند إيجاد الجذر التربيعي، ليس علينا كتابة القيمة ٢ في الجذر التربيعي. على سبيل المثال، 󰋴٤ يكافئ ٢󰋴٤. ومن ثم، إذا أشرنا إلى الجذر بالرمز 𞸓، فإن: ٢󰋴٤=𞸓، وهو ما يعني أن: 𞸓×𞸓=𞸓=٤.٢

إذن، أي قيمة موجبة لـ 𞸓 هي القيمة الصحيحة؟

إننا نتذكر أن: ٢×٢=٤.

إذن نستنتج أن: 󰋴٤=٢.

سنرى الآن كيف يمكننا حساب الجذر الرابع لقيمة ما.

مثال ٢: إيجاد قيمة الجذر الرابع

أوجد قيمة ٤󰋴١٨.

الحل

الجذر ا، 𞸓، لكمية ما 𞸏، هو قيمة حيث: 𞸏=𞸓.𞸍 ومن ثَمَّ، فهو يمثل الدالة العكسية لرفع عدد ما إلى الأس ا.

للإشارة إلى الجذر ا نستخدم الصيغة: 𞸓=󰋴𞸏.𞸍

المطلوب منا هنا إيجاد ٤󰋴١٨؛ ومن ثَمَّ، علينا إيجاد القيمة الموجبة لـ 𞸓 حيث: ١٨=𞸓.٤

إننا نتذكر أن: ٣=٣×٣×٣×٣=١٨.٤

إذن، 𞸓=٣ ويمكننا كتابة: ٤󰋴١٨=٣.

في المثال التالي، سنوجد قيمة مجهولة جذرها التربيعي يساوي الجذر التكعيبي لعدد آخر.

مثال ٣: مساواة الجذور التكعيبية والجذور التربيعية

أكمل الآتي: ٣󰋴٧٢=󰋴.

الحل

سنوجد قيمة الطرف الأيمن من هذه المعادلة أولًا، ٣󰋴٧٢.

الجذر ا، 𞸓، لكمية ما 𞸏، هو قيمة حيث: 𞸏=𞸓.𞸍 إنه الدالة العكسية لرفع عدد ما إلى الأس ا.

وللإشارة إلى الجذر ا نستخدم الصيغة: 𞸓=󰋴𞸏.𞸍 في هذه الحالة، قيمة 𞸍=٣ لأننا سنوجد الجذر الثالث.

إيجاد قيمة 𞸓، حيث 𞸓=󰋴٧٢٣، يكافئ إيجاد قيمة 𞸓 حيث: ٧٢=𞸓.٣

وبما أننا نعرف أن: ٧٢=٣،٣ يمكننا القول أيضًا أن: ٣󰋴٧٢=٣. من المهم أن نلاحظ أن القيمة الناقصة في السؤال ليست ببساطة ٣.

وبدلاً من ذلك، لا بُد أن يساوي طرفا المعادلة ثلاثة: ٣󰋴٧٢󰂰=󰋴󰄲󰄳󰄶󰄳󰄿.٣٣

لكي يساوي الطرف الأيسر من هذه المعادلة ثلاثة، علينا إيجاد القيمة الناقصة لنحصل على: 󰋴=٣.

لعلنا نتذكر أن: ٣×٣=٩.

إذن: 󰋴٩=٣.

إذن، القيمة الناقصة هي تسعة، والمعادلة كاملة هي: ٣󰋴٧٢=󰋴٩.

في المثالين التاليين، سنرى كيف يمكن إيجاد عدد من الجذور المختلفة في معادلة واحدة.

مثال ٤: إيجاد متغير مجهول باستخدام الجذر النوني

إذا كان 𞸎=󰋴٢٣󰋴٥٢٦+󰋴٤٦٥٤، فأوجد 𞸎.

الحل

لنوجد قيمة 𞸎، علينا إيجاد قيمة الجذور ا في هذه المعادلة.

الجذر ا، 𞸓، لكمية ما، 𞸏، هو قيمة حيث: 𞸏=𞸓.𞸍 إنه الدالة العكسية لرفع عدد ما إلى الأس ا.

وللإشارة إلى الجذر ا نستخدم الصيغة: 𞸓=󰋴𞸏.𞸍 بداية من الحد الأول في الطرف الأيسر من هذه المعادلة، ٥󰋴٢٣، يمكننا كتابة 𞸓=󰋴𞸏𞸍 على صورة 𞸓=󰋴٢٣٥. بعد ذلك، نوجد القيمة الموجبة لـ 𞸓 حيث ٢٣=𞸓٥. إذا اتبعنا أسلوب الحل بالتجربة والتحسين، وبما أن ٣٢ قيمة منخفضة نسبيًّا، فمن المنطقي أن نبدأ بقيمة منخفضة لـ 𞸓.

نحن نتذكر أن أي أس صحيح للعدد ١ يساوي ١، ما يعني أن ١=١𞸎. لذا يمكننا استخدام ٢ كتجربة أولى لـ 𞸓.

بما أن: ٢×٢×٢×٢×٢=٢٣، إذن: ٢=٢٣.٥

هذا يعني أن الجذر الخامس للعدد ٣٢ يساوي ٢؛ لذا يمكننا كتابة: ٥󰋴٢٣=٢. يمكننا تطبيق الطريقة نفسها لإيجاد قيمة الحد التالي، ٤󰋴٥٢٦.

علينا إيجاد القيمة الموجبة لـ 𞸓 حيث: ٥٢٦=𞸓.٤ أثناء الحل بأسلوب التجربة والتحسين، يمكننا تطبيق قليل من المنطق أيضًا. فأي عدد زوجي مرفوع لأي أس صحيح موجب يكون دائمًا عددًا زوجيًّا.

وبما أن ٦٢٥ عدد فردي، فهذا يعني أن قيمة 𞸓 لا بُد أن تكون أيضًا عددًا فرديًّا.

نعرف أن: ٣=١٨،𞸓٣.٤و،ن بعد ذلك، يمكننا تجربة القيمة الفردية التالية، 𞸓=٥.

وهو ما يعطينا: ٥=٥٢٦،𞸓=٥.٤و،ن

إذن: ٤󰋴٥٢٦=٥.

وبالنسبة إلى الحد الأخير، 󰋴٤٦، فلعلنا نتذكر أنه بما أن: ٨×٨=٤٦، يمكننا كتابة: 󰋴٤٦=٨.

يمكننا الآن التعويض عن القيم ٥󰋴٢٣=٢، ٤󰋴٥٢٦=٥، 󰋴٤٦=٨ في المعادلة لإيجاد قيمة 𞸎، مع العلم أننا سنطرح الحد ٤󰋴٥٢٦: 𞸎=󰋴٢٣󰋴٥٢٦+󰋴٤٦𞸎=٢٥+٨.٥٤ بتبسيط هذا المقدار، نلاحظ أن هناك حدودًا يجب جمعها وطرحها.

نطبق ترتيب العمليات لتبسيط هذا المقدار؛ ما يعطينا: 𞸎=٥.

سنتناول الآن كيفية إيجاد الجذور ا للقيم السالبة.

على سبيل المثال، هل هناك قيمة حقيقية لـ 𞸎 حيث: 󰋴٩=𞸎؟

نحن نعلم أنه يمكننا تربيع قيمة موجبة وسالبة في المثال التالي: ٣=٩(٣)=٩.٢٢، لكن هاتين القيمتين ستعطياننا ٩، وليس ٩.

لذلك، فإن ٣ و٣ ليسا هما حل 󰋴٩.

هل توجد قيمة حقيقية لـ 𞸓 حيث 𞸓=٩٢؟ إذا كان 𞸓 قيمة موجبة، فإن 𞸓=𞸓×𞸓٢ سيكون قيمة موجبة مضروبة في قيمة موجبة؛ ما يعطينا قيمة موجبة.

إذن 𞸓>٠٢ وليس ٩.

وإذا كان 𞸓 قيمة سالبة، فإن 𞸓=𞸓×𞸓٢ سيكون قيمة سالبة مضروبة في قيمة سالبة، وهو ما يعطينا قيمة موجبة أيضًا وليس ٩. وبناءً على ذلك، نستنج أنه لا توجد قيمة حقيقية لـ 𞸎 حيث 𞸎=٩٢، ولا يوجد حل بالأعداد الحقيقية لـ 󰋴٩.

بوجه عام، لا يوجد حل بالأعداد الحقيقية للجذر التربيعي لأي عدد سالب.

يمكننا أيضًا توسيع نطاق ذلك ليشمل أي قيمة موجبة زوجية لـ 𞸍 في الجذر ا لعدد سالب.

نحن نعرف أن: ٣=٣×٣×٣×٣=١٨،٤ وأن: (٣)=٣×٣󰄲󰄳󰄶󰄳󰄿×٣×٣󰄲󰄳󰄶󰄳󰄿=١٨.٤٩٩

إذن، هل من الممكن إذا تناولنا الجذر الرابع لـ ١٨، أن نحصل على قيمة حقيقية لـ 𞸎 حيث: 𞸎=١٨󰋴١٨=𞸎٤،؟٤

الإجابة هي لا، لأن الحلين الوحيدين الُمحتَمَلين هما 𞸎=٣، 𞸎=٣، وكلاهما يعطينا القيمة الموجبة ٨١ عند رفعه إلى الأس الرابع.

في ما يلي، سنستكشف الحالات التي تتضمن الجذور ا للأعداد السالبة.

مثلاً، هل توجد أي قيم حقيقية لـ 𞸎 تعطينا: 𞸎=󰋴٨٣؟

يمكننا حساب أن: (٢)=٢×٢×٢=٨.٣

إذن: ٣󰋴٨=٢.

بتناول عملية حسابية مختلفة حيث يمكننا إيجاد قيمة: (٣)=٣٤٢،٥ نعرف أن: ٥󰋴٣٤٢=٣. في الحالتين أعلاه، توصلنا إلى حل بعدد حقيقي لجذر عدد سالب، حين كان الجذران ٣، ٥.

بوجه عام، يمكننا إيجاد حل بالأعداد الحقيقية للجذر ا لعدد سالب عندما يكون 𞸍 عددًا صحيحًا موجبًا فرديًّا.

يمكننا تلخيص النتائج في الجدول أدناه.

بالنسبة للمعادلة 𞸏=𞸓𞸍:

𞸏>٠𞸏<٠
𞸍 عدد صحيح موجب زوجيجذران حقيقيان، ±󰋴𞸏𞸍ليست هناك جذور حقيقية
𞸍 عدد صحيح موجب فرديجذر واحد حقيقي، 𞸍󰋴𞸏

سنرى كيف نطبق ذلك في المثال التالي.

مثال ٥: إيجاد متغير مجهول باستخدام الجذر النوني

إذا كان 𞸎=󰋴٤٦+󰋴١٨+󰋴٧٢󰋴٦١٦٣٤، فأوجد 𞸎.

الحل

لإيجاد قيمة 𞸎، علينا إيجاد الجذور ا في هذه المعادلة.

الجذر ا، 𞸓، لكمية ما 𞸏، هو قيمة حيث: 𞸏=𞸓.𞸍 إنه الدالة العكسية لرفع عدد ما إلى الأس ا.

وللإشارة إلى الجذر ا نستخدم الصيغة: 𞸓=󰋴𞸏.𞸍

بأخذ الحدود في الطرف الأيمن من المعادلة، نوجد قيمة ٦󰋴٤٦ بتحديد أي قيمة موجبة لـ 𞸓 تعطينا: ٤٦=𞸓.٦

وبما أن: ٢=٤٦،𞸓=٢،٦أن إذن: ٦󰋴٤٦=٢.

كذلك، بما أن: ١٨=٩×٩، يمكن أن نستنتج أن: 󰋴١٨=٩. علينا بعد ذلك إيجاد قيمة ٣󰋴٧٢. لاحظ أنه عند إيجاد الجذور ا لقيمة ما، حيث 𞸍 عدد زوجي، لا يمكننا إيجاد حل بالأعداد الحقيقية للجذر ا لعدد سالب. على سبيل المثال، لعلنا نتذكر أنه لا يمكننا إيجاد حل بالأعداد الحقيقية للجذر التربيعي لعدد سالب.

مع ذلك، عندما تكون قيمة 𞸍 عددًا فرديًّا، يمكننا إيجاد حل بالأعداد الحقيقية للجذر ا لعدد سالب.

وبما أن: ٣×٣×٣=٣=٧٢،٣ فإننا نعرف أن: ٣×٣×٣=(٣)=٧٢.٣

إذن: ٣󰋴٧٢=٣. آخر حد نوجد قيمته هو ٤󰋴٦١.

أي قيمة موجبة لـ 𞸓 إذن تحل المعادلة 𞸓=٦١٤؟

يمكننا كتابة: ٢=٦١.٤

ومن ثَمَّ، نستنتج أن: ٤󰋴٦١=٢. يمكننا الآن حل المعادلة: 𞸎=󰋴٤٦+󰋴١٨+󰋴٧٢󰋴٦١،٦٣٤ باستخدام القيم ٦󰋴٤٦=٢، 󰋴١٨=٩، ٣󰋴٧٢=٣، ٤󰋴٦١=٢.

بالتعويض عن هذه القيم في الحدود ثم التبسيط، نحصل على: 𞸎=󰋴٤٦+󰋴١٨+󰋴٧٢󰋴٦١𞸎=٢+٩+(٣)٢𞸎=٦.٦٣٤

حل قيمة س هو ٦.

النقاط الرئيسية

  • يُشار للجذر ا لقيمة ما بالصيغة 𞸓=󰋴𞸏𞸍. إنه العملية العكسية لرفع عدد ما إلى الأس ا، ويمكننا التفكير فيها باعتبارها مكافئة لإيجاد قيمة 𞸓، حيث 𞸏=𞸓𞸍.
  • يمكننا إيجاد حل بالأعداد الحقيقية للجذر ا لعدد سالب عندما يكون 𞸍 عددًا فرديًّا.
  • لا يمكننا إيجاد حل بالأعداد الحقيقية للجذر ا لعدد سالب عندما يكون 𞸍 عددًا زوجيًّا.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية