تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: احتمال الأحداث البسيطة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد احتمال وقوع حدث بسيط.

الاحتمال إمكانية وقوع حدث.

عندما نناقش إمكانية وقوع حدث ما في الحياة اليومية، قد نستخدم بعض الكلمات الشائعة لوصْف هذه الإمكانية، مثل: «مؤكَّد» أو «مُحتمَل»، أو «غير مُحتمَل» أو «مُستحيل». وفي الرياضيات، يُمكننا تحديد قيمة عددية للاحتمال. فاحتمال وقوع الأحداث المُستحيلة هو صفر، واحتمال وقوع الأحداث المؤكَّدة هو ١. يُمكن كتابة الأحداث المتساوية الاحتمال بالقيمة ٠٫٥، أو ١٢.

مجموع احتمالات وقوع كلِّ النواتج المُمكِنة يساوي ١. على سبيل المثال، عند إلْقاء عملة معدنية، يكون مجموع احتمال الحصول على صورة زائد احتمال الحصول على كتابة هو واحدًا. وهذا لأن احتمال الحصول على أحد الوجهين، الصورة أو الكتابة مؤكَّد؛ أيْ إن الاحتمال يساوي ١.

في مصطلحات الاحتمال، يُشير الحدث البسيط إلى حدثٍ له ناتج واحد، على سبيل المثال، الحصول على «صورة» برمْية واحدة لعملة معدنية، أو الحصول على ٤ على حجر نرد.

علينا أيضًا أن نضع «الانتظام» في الاعتبار عند مناقشة الاحتمال.

تعريف: تجارب منتظِمة

تُعتبَر تجربة الاحتمال منتظِمة إذا كانت جميع النواتج متساوية الاحتمال.

وتُسمَّى التجربة التي تكون فيها النواتج غير متساوية الاحتمال بالتجربة غير المنتظِمة أو المتحيِّزة.

فكِّر في تجربة إلْقاء عملة معدنية منتظِمة. يُمكن وصْفها بأنها منتظِمة؛ لأن النواتج متساوية الاحتمال. وإذا كان للعملة وجهان «صورة» و«كتابة»، فإن ناتج الحصول على «كتابة» سيكون ناتجًا واحدًا من أصل ناتجين مُحتمَلين. ويُمكننا كتابة ذلك في صورة كسر؛ أيْ ١٢.

تعريف: احتمال وقوع حدثٍ بسيط

إن احتمال وقوع حدثٍ بسيط هو: الوعاثدااثإدااا=.

من الشائع في الاحتمالات أنَّنا قد نَستخدِم الرمز 𞸋()ث لتمثيل احتمال وقوع حدثٍ ما. على سبيل المثال، عند اختيار كرة خضراء أو زرقاء من حقيبة، يُمكن استخدام 𞸋󰁓󰁒اء لتمثيل احتمال اختيار كرة خضراء.

يُمكننا الآن معرفة كيفية تطبيق هذه المعلومات على عدد من الأمثلة المختلفة.

مثال ١: إيجاد الاحتمال النظري لحدثٍ ما

فصل به ١٨ ولدًا و٩ بنات. ما احتمال أن يكون الطالب الذي تمَّ اختياره عشوائيًّا بنتًا؟

الحل

يُمكننا أن نتذكَّر هنا أن احتمال وقوع حدثٍ بسيط يُمكن كتابته بالصورة: الوعاثدااثإدااا=. في هذه المسألة، علينا حساب احتمال اختيار بنت، وهو ما يُمكننا كتابته بالصورة: 𞸋().

يُمكننا كتابة المعادلة: 𞸋()=.داتإداب

وبما أن هناك ١٨ ولدًا و٩ بنات في الفصل، فلا بدَّ أن يكون إجمالي عدد الطلاب هو ٨١+٩=٧٢. وبالتعويض بالمُعطيات المذكورة في المسألة، وهي عدد البنات يساوي ٩، وإجمالي عدد الطلاب يساوي ٢٧ في المعادلة، نحصل على: 𞸋()=٩٧٢.

بتبسيط هذا الكسر نحصل على: 𞸋()=١٣.

ومن ثَمَّ، فإن احتمال أن يكون الطالب الذي اختير عشوائيًّا بنتًا هو ١٣.

في المثال الآتي، سنرى أنَّنا قد نحتاج في كثير من الأحيان إلى استخدام المعلومات المادية عن شيء ما لمعرفة إمكانية وقوع حدثٍ ما، على سبيل المثال، من خلال فحْص أجزاء قرص دوَّار.

مثال ٢: إيجاد احتمال وقوع حدثٍ يتضمَّن قرصًا دوَّارًا

ما احتمال أن يَقِف السهم على عدد زوجي، إذا أُدير القرص الموضَّح بالشكل؟

الحل

بما أن أجزاء هذا القرص متساوية الحجم، إذن هناك احتمال متساوٍ لوقوف المؤشر في كلِّ جزء، بافتراض أن القرص منتظِم.

نتذكَّر أن احتمال وقوع حدثٍ بسيط يتمثَّل بالمعادلة: الوعاثدااثإدااا=.

لإيجاد احتمال الوقوف على عدد زوجي، 𞸋󰂔󰂓زو، يُمكننا أن نكتب أن: 𞸋󰂔󰂓=.زوإدااءادةاصاوارإدااءادةاصاوار

ننظر إلى القِيَم الزوجية والفردية الموجودة على القرص. الأعداد الزوجية هي الأعداد الصحيحة التي تقبل القسمة على ٢. والأعداد الفردية هي الأعداد الصحيحة التي لا تقبل القسمة على ٢. وبما أن ١٢ و١٤ هما فقط العددان الزوجيان على القرص الدوَّار، فإن عدد النواتج المُمكِنة لعدد زوجي هو ٢. وإجمالي عدد النواتج هو إجمالي عدد الأجزاء الموجودة على القرص الدوَّار، وهو ٨. يُمكننا التعويض بهذه القِيَم في المعادلة، وهو ما يُعطينا: 𞸋󰂔󰂓=٢٨.زو

بتبسيط الكسر، نحصل على: 𞸋󰂔󰂓=١٤.زو

ومن ثَمَّ، فإن احتمال وقوف السهم على عدد زوجي إذا أُدير القرص هو ١٤.

لنتناول مثالًا آخَر.

مثال ٣: إيجاد احتمال وقوع حدثٍ ما

مجموعة من البطاقات مرقَّمة من ١ إلى ٨١. إذا سُحبت بطاقة عشوائيًّا، فما احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة تحمل عددًا يقبل القسمة على ٥؟

الحل

يُمكننا التفكير في مجموعة البطاقات على النحو الآتي.

لإيجاد احتمال سحب بطاقة معيَّنة أو نوعًا معيَّنًا من البطاقات، علينا أن نتذكَّر أن احتمال وقوع حدثٍ بسيط يُمثَّل بالمعادلة: الوعاثدااثإدااا=.

بالنسبة إلى حدث سحب بطاقة تقبل القسمة على ٥، 𞸋󰁓٥󰁒دا، يُمكننا كتابة المعادلة: 𞸋󰁓٥󰁒=٥.داداَِااإدات

نتذكَّر أن قبول القسمة يعني إمكانية القسمة على عدد ويكون الناتج عددًا صحيحًا. والأعداد التي تقبل القسمة على ٥ هي مضاعفات للعدد ٥. يُمكننا كتابة الأعداد التي تقبل القسمة على خمسة، بين ١ و٨١، كما يأتي: ٥،٠١،٥١،٠٢،٥٢،٠٣،٥٣،٠٤،٥٤،٠٥،٥٥،٠٦،٥٦،٠٧،٥٧،٠٨.، بما أن أعلى قيمة على البطاقات هي ٨١، إذن فلن تكون هناك قِيَم مُمكِنة أعلى. بعَدِّ هذه القِيَم، نجد أن عددها ١٦.

بعد ذلك، بما أن هناك ٨١ بطاقة، إذن إجمالي عدد البطاقات هو ٨١.

بالتعويض بهذه القِيَم في المعادلة السابقة نحصل على: 𞸋󰁓٥󰁒=٦١١٨.دا

ولا يُمكننا تبسيط هذا الكسر أكثر من ذلك. ومن ثَمَّ، فإن احتمال سحب بطاقة تحمل عددًا يقبل القسمة على ٥ من مجموعة البطاقات هذه هو ٦١١٨.

سنتناول الآن مثالًا لدينا فيه مُعطيات عن إجمالي عدد النواتج، واحتمال وقوع حدثٍ ما لإيجاد عدد نواتج حدثٍ معيَّن.

مثال ٤: استخدام الاحتمال النظري لحلِّ المسائل

يُوجَد ٢٨ شخصًا في اجتماع. احتمال أن يكون الشخص، الذي اختير عشوائيًّا، رجلًا هو ١٢. احسب عدد السيدات في الاجتماع.

الحل

يُخبرنا السؤال بأن قيمة احتمال اختيار رجل من إجمالي عدد الأشخاص الموجودين في غرفة الاجتماع هي ١٢. يُمكننا استخدام هذه المعلومة، بالإضافة إلى المعلومة الخاصة بإجمالي عدد الأشخاص، لإيجاد عدد الرجال في الغرفة.

تذكَّر أنَّنا نعبِّر عن احتمال وقوع حدثٍ بسيط بالمعادلة: الوعاثدااثإدااا=.

في هذا السيناريو، يُمكننا كتابة احتمال اختيار رجل، 𞸋󰁓󰁒ر، على الصورة: 𞸋󰁓󰁒=.ردالاعإداصاع

إذا كان 𞸋󰁓󰁒=١٢ر وإداصاع=٨٢، يُمكننا التعويض بهاتين القيمتين في المعادلة السابقة، وهو ما يُعطينا: ١٢=٨٢.دال

بضرب طرفَيْ هذه المعادلة في ٢٨، وتبسيطها، نحصل على: ٨٢×󰂔١٢󰂓=٤١=.دالدال

وبما أن عدد الرجال في الاجتماع هو ١٤، إذن يُمكننا حساب عدد السيدات بطرح عدد الرجال، ١٤، من إجمالي عدد الأشخاص، وهو ٢٨. حيث إن: ٨٢٤١=٤١،

إذن عدد السيدات في الاجتماع هو ١٤.

سنتناول الآن مثالًا نُوجِد فيه احتمال اختيار رقم زوجي من عدد معيَّن.

مثال ٥: إيجاد احتمال وقوع حدثٍ ما

إذا اختير رقم من العدد ٢٨٧ ٨٣٩ ٢٢٤ عشوائيًّا، فما احتمال أن يكون رقمًا زوجيًّا؟

الحل

تذكَّر أن احتمال وقوع حدث بسيط يتمثَّل بالمعادلة: الوعاثدااثإدااا=.

في هذا السؤال، يُمكن إيجاد احتمال اختيار رقم زوجي، 𞸋󰂔󰂓رزو، بالمعادلة: 𞸋󰂔󰂓=.رزودارماوإدارم

بالنظر إلى كل رقم على حِدَةٍ وتحديد إذا ما كان زوجيًّا أو فرديًّا، نجد أن:

بعَدِّ الأرقام الزوجية الموجودة، نجد أن هناك ٦ قِيَم زوجية. وإجمالي عدد الأرقام هو ٩. بالتعويض بهذه القِيَم في معادلة الاحتمال السابقة نحصل على: 𞸋󰂔󰂓=٦٩=٢٣.رزو

ومن ثَمَّ، فإن احتمال اختيار رقم زوجي من العدد ٢٢٤ ٨٣٩ ٢٨٧ هو ٢٣.

في المثال الأخير، سنستخدم احتمالًا معلومًا ومعلومات حول عدد محدَّد لأحد النواتج، لإيجاد إجمالي عدد النواتج.

مثال ٦: استخدام الاحتمال النظري لحلِّ المسائل

تحتوي حقيبة على ٢٤ كرة بيضاء وعددٍ غير معلوم من الكرات الحمراء. احتمال اختيار كرة حمراء عشوائيًّا هو ٧١٣. ما عدد الكرات الموجودة بالحقيبة؟

الحل

نعرف عدد الكرات البيضاء في الحقيبة، ونعرف أن احتمال اختيار إحدى الكرات الحمراء التي لا نعرف عددها هو ٧١٣. لإيجاد إجمالي عدد الكرات، يُمكننا تطبيق معادلة الاحتمال لإيجاد احتمال وقوع حدث بسيط: الوعاثدااثإدااا=.

لإيجاد عدد الكرات البيضاء، يُمكننا ملاحظة أنه نظرًا إلى وجود كرات حمراء وبيضاء فقط في الحقيبة، وأن مجموع جميع الاحتمالات يساوي واحدًا، فإن احتمال الحصول على كرة بيضاء، 𞸋()ء، يمكن إيجاده بالمعادلة: 𞸋()=١𞸋󰁓󰁒=١٧١٣=٤٢١٣.ءاء

يُمكن إيجاد احتمال اختيار كرة بيضاء بالمعادلة: 𞸋()=.ءدااتاءإداات

وبالتعويض بالقِيَم نجد أن 𞸋()=٤٢١٣ء، وعدد الكرات البيضاء يساوي ٢٤، فنحصل على: ٤٢١٣=٤٢.إداات

بإعادة ترتيب المعادلة بضرب الكسرين تبادليًّا، نحصل على: ٤٢×=١٣×٤٢.إداات

بقسمة طرفي المعادلة على ٢٤ نحصل على: إداات=١٣.

يُمكننا التحقُّق من الإجابة بحساب أن عدد الكرات الحمراء يجب أن يكون ١٣٤٢=٧. ومن ثَمَّ، فإن احتمال اختيار كرة حمراء يساوي القيمة المُعطاة ٧١٣؛ حيث إن: 𞸋󰁓󰁒==٧١٣.اءدااتااءإداات

وهذا يؤكِّد صحة الإجابة؛ وهي أن إجمالي عدد الكرات في الحقيبة يساوي ٣١.

سنلخِّص الآن النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • الاحتمال إمكانية وقوع حدثٍ.
  • مجموع احتمالات جميع النواتج المُمكِنة يساوي ١.
  • تُعتبَر تجربة الاحتمال منتظِمة إذا كانت جميع النواتج متساوية الاحتمال. وعادة ما يُشار إلى التجارب غير المنتظِمة بأنها متحيِّزة.
  • الحدث البسيط حدثٌ له ناتج واحد.
  • احتمال وقوع حدث بسيط، 𞸋()ث، هو: 𞸋()=.ثدااثإدااا

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.