شارح الدرس: احتمال الأحداث البسيطة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: إيجاد الاحتمال النظري لحدثٍ ما

فصل به ١٨ ولدًا و٩ بنات. ما احتمال أن يكون الطالب الذي تمَّ اختياره عشوائيًّا بنتًا؟

الحل

يُمكننا أن نتذكَّر هنا أن احتمال وقوع حدثٍ بسيط يُمكن كتابته بالصورة: في هذه المسألة، علينا حساب احتمال اختيار بنت، وهو ما يُمكننا كتابته بالصورة: .

يُمكننا كتابة المعادلة:

وبما أن هناك ١٨ ولدًا و٩ بنات في الفصل، فلا بدَّ أن يكون إجمالي عدد الطلاب هو . وبالتعويض بالمُعطيات المذكورة في المسألة، وهي عدد البنات يساوي ٩، وإجمالي عدد الطلاب يساوي ٢٧ في المعادلة، نحصل على:

بتبسيط هذا الكسر نحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن احتمال أن يكون الطالب الذي اختير عشوائيًّا بنتًا هو .

مثال ٢: إيجاد احتمال وقوع حدثٍ يتضمَّن قرصًا دوَّارًا

ما احتمال أن يَقِف السهم على عدد زوجي، إذا أُدير القرص الموضَّح بالشكل؟

الحل

بما أن أجزاء هذا القرص متساوية الحجم، إذن هناك احتمال متساوٍ لوقوف المؤشر في كلِّ جزء، بافتراض أن القرص منتظِم.

نتذكَّر أن احتمال وقوع حدثٍ بسيط يتمثَّل بالمعادلة:

لإيجاد احتمال الوقوف على عدد زوجي، ، يُمكننا أن نكتب أن:

ننظر إلى القِيَم الزوجية والفردية الموجودة على القرص. الأعداد الزوجية هي الأعداد الصحيحة التي تقبل القسمة على ٢. والأعداد الفردية هي الأعداد الصحيحة التي لا تقبل القسمة على ٢. وبما أن ١٢ و١٤ هما فقط العددان الزوجيان على القرص الدوَّار، فإن عدد النواتج المُمكِنة لعدد زوجي هو ٢. وإجمالي عدد النواتج هو إجمالي عدد الأجزاء الموجودة على القرص الدوَّار، وهو ٨. يُمكننا التعويض بهذه القِيَم في المعادلة، وهو ما يُعطينا:

بتبسيط الكسر، نحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن احتمال وقوف السهم على عدد زوجي إذا أُدير القرص هو .

مثال ٣: إيجاد احتمال وقوع حدثٍ ما

مجموعة من البطاقات مرقَّمة من ١ إلى ٨١. إذا سُحبت بطاقة عشوائيًّا، فما احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة تحمل عددًا يقبل القسمة على ٥؟

الحل

يُمكننا التفكير في مجموعة البطاقات على النحو الآتي.

لإيجاد احتمال سحب بطاقة معيَّنة أو نوعًا معيَّنًا من البطاقات، علينا أن نتذكَّر أن احتمال وقوع حدثٍ بسيط يُمثَّل بالمعادلة:

بالنسبة إلى حدث سحب بطاقة تقبل القسمة على ٥، ، يُمكننا كتابة المعادلة:

نتذكَّر أن قبول القسمة يعني إمكانية القسمة على عدد ويكون الناتج عددًا صحيحًا. والأعداد التي تقبل القسمة على ٥ هي مضاعفات للعدد ٥. يُمكننا كتابة الأعداد التي تقبل القسمة على خمسة، بين ١ و٨١، كما يأتي: بما أن أعلى قيمة على البطاقات هي ٨١، إذن فلن تكون هناك قِيَم مُمكِنة أعلى. بعَدِّ هذه القِيَم، نجد أن عددها ١٦.

بعد ذلك، بما أن هناك ٨١ بطاقة، إذن إجمالي عدد البطاقات هو ٨١.

بالتعويض بهذه القِيَم في المعادلة السابقة نحصل على:

ولا يُمكننا تبسيط هذا الكسر أكثر من ذلك. ومن ثَمَّ، فإن احتمال سحب بطاقة تحمل عددًا يقبل القسمة على ٥ من مجموعة البطاقات هذه هو .

مثال ٤: استخدام الاحتمال النظري لحلِّ المسائل

يُوجَد ٢٨ شخصًا في اجتماع. احتمال أن يكون الشخص، الذي اختير عشوائيًّا، رجلًا هو . احسب عدد السيدات في الاجتماع.

الحل

يُخبرنا السؤال بأن قيمة احتمال اختيار رجل من إجمالي عدد الأشخاص الموجودين في غرفة الاجتماع هي . يُمكننا استخدام هذه المعلومة، بالإضافة إلى المعلومة الخاصة بإجمالي عدد الأشخاص، لإيجاد عدد الرجال في الغرفة.

تذكَّر أنَّنا نعبِّر عن احتمال وقوع حدثٍ بسيط بالمعادلة:

في هذا السيناريو، يُمكننا كتابة احتمال اختيار رجل، ، على الصورة:

إذا كان و، يُمكننا التعويض بهاتين القيمتين في المعادلة السابقة، وهو ما يُعطينا:

بضرب طرفَيْ هذه المعادلة في ٢٨، وتبسيطها، نحصل على:

وبما أن عدد الرجال في الاجتماع هو ١٤، إذن يُمكننا حساب عدد السيدات بطرح عدد الرجال، ١٤، من إجمالي عدد الأشخاص، وهو ٢٨. حيث إن:

إذن عدد السيدات في الاجتماع هو ١٤.

مثال ٥: إيجاد احتمال وقوع حدثٍ ما

إذا اختير رقم من العدد ٢٨٧ ٨٣٩ ٢٢٤ عشوائيًّا، فما احتمال أن يكون رقمًا زوجيًّا؟

الحل

تذكَّر أن احتمال وقوع حدث بسيط يتمثَّل بالمعادلة:

في هذا السؤال، يُمكن إيجاد احتمال اختيار رقم زوجي، ، بالمعادلة:

بالنظر إلى كل رقم على حِدَةٍ وتحديد إذا ما كان زوجيًّا أو فرديًّا، نجد أن:

بعَدِّ الأرقام الزوجية الموجودة، نجد أن هناك ٦ قِيَم زوجية. وإجمالي عدد الأرقام هو ٩. بالتعويض بهذه القِيَم في معادلة الاحتمال السابقة نحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن احتمال اختيار رقم زوجي من العدد ٢٢٤ ٨٣٩ ٢٨٧ هو .

مثال ٦: استخدام الاحتمال النظري لحلِّ المسائل

تحتوي حقيبة على ٢٤ كرة بيضاء وعددٍ غير معلوم من الكرات الحمراء. احتمال اختيار كرة حمراء عشوائيًّا هو . ما عدد الكرات الموجودة بالحقيبة؟

الحل

نعرف عدد الكرات البيضاء في الحقيبة، ونعرف أن احتمال اختيار إحدى الكرات الحمراء التي لا نعرف عددها هو . لإيجاد إجمالي عدد الكرات، يُمكننا تطبيق معادلة الاحتمال لإيجاد احتمال وقوع حدث بسيط:

لإيجاد عدد الكرات البيضاء، يُمكننا ملاحظة أنه نظرًا إلى وجود كرات حمراء وبيضاء فقط في الحقيبة، وأن مجموع جميع الاحتمالات يساوي واحدًا، فإن احتمال الحصول على كرة بيضاء، ، يمكن إيجاده بالمعادلة:

يُمكن إيجاد احتمال اختيار كرة بيضاء بالمعادلة:

وبالتعويض بالقِيَم نجد أن ، وعدد الكرات البيضاء يساوي ٢٤، فنحصل على:

بإعادة ترتيب المعادلة بضرب الكسرين تبادليًّا، نحصل على:

بقسمة طرفي المعادلة على ٢٤ نحصل على:

يُمكننا التحقُّق من الإجابة بحساب أن عدد الكرات الحمراء يجب أن يكون . ومن ثَمَّ، فإن احتمال اختيار كرة حمراء يساوي القيمة المُعطاة ؛ حيث إن:

وهذا يؤكِّد صحة الإجابة؛ وهي أن إجمالي عدد الكرات في الحقيبة يساوي ٣١.